Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Задача Клея о множестве рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическую кривую

In математика, гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера описывает набор рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическую кривую. Это открытая проблема в области теории чисел, которая широко известна как одна из самых сложных математических проблем. Гипотеза была выбрана в качестве одной из семи Задач Премии тысячелетия, перечисленных Математическим институтом Клея, который предложил приз в размере 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство. Он назван в честь математиков Брайана Берча и Питера Суиннертона-Дайера, которые разработали гипотезу в первой половине 1960-х годов с помощью машинных вычислений. По состоянию на 2019 год доказаны только частные случаи гипотезы.

Современная формулировка гипотезы связывает арифметические данные, связанные с эллиптической кривой E над числовым полем K, с поведением L-функции Хассе – Вейля L (E, s) точки E при s = 1. Более конкретно, предполагается, что ранг абелевой группы E (K) точек E является порядком нуль L (E, s) при s = 1, а первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора L (E, s) при s = 1 дается более точными арифметическими данными, прикрепленными к E над K (Wiles 2006).

• 1 Предпосылки
• 2 История
• 3 Текущее состояние
• 4 Последствия
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Mordell ( 1922) доказал теорему Морделла : группа рациональных точек на эллиптической кривой имеет конечный базис. Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которых могут быть созданы все дальнейшие рациональные точки.

Если количество рациональных точек на кривой бесконечно, то некоторая точка в конечном базисе должна иметь бесконечный порядок. Число независимых базисных точек с бесконечным порядком называется рангом кривой и является важным инвариантным свойством эллиптической кривой.

Если ранг эллиптической кривой равен 0, то кривая имеет только конечное число рациональных точек. С другой стороны, если ранг кривой больше 0, то кривая имеет бесконечное количество рациональных точек.

Хотя теорема Морделла показывает, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, она не дает эффективного метода для вычисления ранга каждой кривой. Ранг некоторых эллиптических кривых можно вычислить с помощью численных методов, но (в текущем уровне знаний) неизвестно, обрабатывают ли эти методы все кривые.

L-функция L (E, s) может быть определена для эллиптической кривой E путем построения произведения Эйлера из числа точек на кривой по модулю каждое простое п. Эта L-функция аналогична дзета-функции Римана и L-серии Дирихле, которая определена для двоичной квадратичной формы. Это частный случай L-функции Хассе – Вейля.

Естественное определение L (E, s) сходится только для значений s на комплексной плоскости с Re (s)>3/2. Хельмут Хассе предположил, что L (E, s) может быть продолжено аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость. Эта гипотеза была впервые доказана Дойрингом (1941) для эллиптических кривых с комплексным умножением. Впоследствии было показано, что это верно для всех эллиптических кривых над Q, как следствие теоремы модулярности.

Нахождение рациональных точек на общей эллиптической кривой является сложной задачей. Нахождение точек эллиптической кривой по модулю данного простого числа p концептуально несложно, так как существует только конечное число возможностей для проверки. Однако для больших простых чисел это требует больших вычислительных ресурсов.

В начале 1960-х Питер Суиннертон-Дайер использовал компьютер EDSAC-2 в компьютерной лаборатории Кембриджского университета для вычисления количества точек по модулю p (обозначенного N p) для большого числа простых чисел p на эллиптических кривых, ранг которых был известен. На основе этих численных результатов Берч и Суиннертон-Дайер (1965) предположили, что N p для кривой E ранга r подчиняется асимптотическому закону

$\prod \; p\; \le \; x\; N\; pp\; \approx \; C\; журнал\; \; (Икс)\; р\; как\; Икс\; \to \; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{p\}\}\; \{p\}\}\; \backslash \; приблизительно\; C\; \backslash \; log\; (x)\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$

где C - постоянная.

Первоначально это было основано на несколько слабых тенденциях в графических графиках; это вызвало некоторую долю скептицизма у J. У. С. Касселс (советник Берча). Со временем численные доказательства накапливались.

Это, в свою очередь, привело их к общей гипотезе о поведении L-функции кривой L (E, s) при s = 1, а именно, что в этой точке у нее будет ноль порядка r. Для того времени это было дальновидным предположением, учитывая, что аналитическое продолжение L (E, s) было установлено только для кривых с комплексным умножением, которые также были основным источником численных примеров. (Обратите внимание, что , обратный L-функции, с некоторых точек зрения является более естественным объектом исследования; иногда это означает, что следует рассматривать полюсы, а не нули.)

Гипотеза была впоследствии расширена, чтобы включить предсказание точного ведущего коэффициента Тейлора L-функции при s = 1. Это предположительно дается как

$L\; (r)\; (E,\; 1)\; r!\; =\; \#\; S\; h\; a\; (E)\; \Omega \; E\; R\; E\; \prod \; p\; |\; N\; cp\; (\#\; ET\; или)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{(r)\}\; (E,\; 1)\}\; \{r!\}\}\; =\; \{\backslash \; Frac\; \{\backslash \; \#\; \backslash \; mathrm\; \{Sha\}\; (E)\; \backslash \; Omega\; \_\; \{E\}\; R\_\; \{E\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; |\; N\}\; c\_\; \{p\}\}\; \{(\backslash \; \#\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Tor\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где величины справа стороны являются инвариантами кривой, изученными Касселсом, Тэйтом, Шафаревичем и другими: они включают порядок торсионной группы, порядок группа Тейта – Шафаревича и канонические высоты основы рациональных точек (Wiles 2006).

График $\prod \; p\; \le \; XN\; pp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; X\}\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{p\}\}\; \{p\}\}\}$для кривой y = x - 5x, поскольку X изменяется в пределах первых 100000 простых чисел. Ось X представляет собой логарифм (log (X)), а ось Y находится в логарифмическом масштабе, поэтому гипотеза предсказывает, что данные должны образовывать линию наклона, равную рангу кривой, который в данном случае равен 1. Для сравнения на графике красным цветом нарисована линия наклона 1.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера была доказана только в частных случаях:

1. Coates Wiles (1977) доказали, что если E - кривая над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K номер класса 1, F = K или Q, и L (E, 1) не 0, то E (F) конечная группа. Это было распространено на случай, когда F является любым конечным абелевым расширением поля K Arthaud (1978).
2. Gross Zagier (1986), показали, что если модульный эллиптический кривая имеет нуль первого порядка при s = 1, тогда у нее есть рациональная точка бесконечного порядка; см. Теорема Гросса – Загьера.
3. Колывагин (1989) показал, что модулярная эллиптическая кривая E, для которой L (E, 1) не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая E, для которой L ( E, 1) имеет нуль первого порядка при s = 1 и имеет ранг 1.
4. Рубин (1991) показал, что для эллиптических кривых, определенных над мнимым квадратичным полем K с комплексным умножением на K, если L- Если ряд эллиптической кривой отличался от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта – Шафаревича имела порядок, предсказанный гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел p>7.
5. Breuil et al.. (2001), расширяя работу Wiles (1995), доказал, что все эллиптические кривые, определенные над рациональными числами, являются модульными, что распространяет результаты №2 и №3 на все эллиптических кривых над рациональными числами, и показывает, что L-функции всех эллиптических кривых над Q определены при s = 1.
6. Bhargava Shankar (2015) доказали, что средний ранг группа Морделла – Вейля эллиптической кривой над Q ограничена сверху числом 7/6. Объединяя это с Нековарж (2009) и Докчицер и Докчицер (2010) и с доказательством основной гипотезы теории Ивасавы для GL (2) по Скиннер и Урбан (2014), они пришли к выводу, что положительная часть эллиптических кривых на Q имеет аналитический ранг ноль, и, следовательно, по Колывагиным (1989), удовлетворяют гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера.

Ничего не было доказано для кривых с рангом выше 1, хотя есть обширные численные доказательства истинности гипотезы.

Подобно гипотезе Римана, эта гипотеза имеет несколько следствий, включая следующие два:

• Пусть n будет нечетным целым числом без квадратов. Предполагая гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера, n - это площадь прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон (конгруэнтное число ) тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел (x, y, z), удовлетворяющих 2x + y + 8z = n в два раза больше числа троек, удовлетворяющих 2x + y + 32z = n. Это утверждение, согласно теореме Таннелла (Tunnell 1983), связано с тем фактом, что n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая y = x - nx имеет рациональную точка бесконечного порядка (таким образом, согласно гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера, его L-функция имеет нуль в 1). Интерес в этом утверждении состоит в том, что условие легко проверить.
• В другом направлении, некоторые аналитические методы позволяют оценить порядок нуля в центре критической полосы семейства L-функций. С учетом гипотезы BSD эти оценки соответствуют информации о ранге рассматриваемых семейств эллиптических кривых. Например: предположим, что обобщенная гипотеза Римана и гипотеза BSD, средний ранг кривых, заданный формулой y = x + ax + b, меньше 2.

• Вайсштейн, Эрик У. «Гипотеза Суиннертона-Дайера». MathWorld.
• «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера». PlanetMath.
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера : Интервью с профессором Анри Дармон Агнес Ф. Бодри
• Что такое гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера? лекция Манджула Бхаргавы (сентябрь 2016 г.), прочитанная во время конференции по исследованию глины в Оксфордском университете