Конгруэнтное число

редактировать

Треугольник с площадью 6, конгруэнтное число.

В математике конгруэнтное число - положительное целое число, которое представляет собой площадь прямоугольного треугольника с тремя сторонами рациональное число. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством.

Последовательность (целых) конгруэнтных чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120,... (последовательность A003273 в OEIS )

Таблица конгруэнтных чисел: n ≤ 120

Таблица конгруэнтных чисел: n ≤ 120. -: нет -Конгруэнтное число. C: конгруэнтное число без квадратов. S: конгруэнтное число с квадратным фактором
n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Например mple, 5 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Точно так же 6 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (3,4,5). 3 и 4 не совпадают.

Если q - конгруэнтное число, то sq также конгруэнтное число для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его остатка в группе

Q ∗ / Q ∗ 2 {\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*} / \ mathbb {Q} ^ {* 2}}

\ mathbb {Q} ^ {*} / \ mathbb {Q} ^ {* 2 }

Каждый класс остатков в этой группе содержит ровно одно целое число без квадратов, и поэтому обычно рассматривают только положительные целые числа без квадратов, когда говоря о конгруэнтных числах.

Содержание

1 Проблема с конгруэнтным числом
2 Решения
3 Связь с эллиптическими кривыми
4 Наименьшие решения
5 Текущий прогресс
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Проблема конгруэнтного числа

Вопрос о том, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблемой конгруэнтного числа . Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Туннелла предоставляет легко проверяемый критерий для определения конгруэнтности числа; но его результат основан на гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, которая до сих пор не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пьера де Ферма, утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным числом. Однако в форме, в которой каждое congruum (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) не является квадратом, это уже было известно (без доказательства) Фибоначчи. Каждое конгруэнтное число является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является произведением конгруэнтного числа и квадрата рационального числа. Однако определить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, потому что существует параметризованная формула для конгруа, для которой необходимо проверить только конечное число значений параметров.

Решения

n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда

$x 2 + nt 2 = y 2 {\ displaystyle x ^ {2} + nt ^ {2} = y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + nt ^ {2} = y ^ {2}}$ , $x 2 - nt 2 = z 2 {\ displaystyle x ^ {2} -nt ^ {2} = z ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -nt ^ {2} = z ^ {2}}$

имеет решения (если да, то это уравнение имеет бесконечно много решений, например уравнение Пелла ).

Учитывая решения {x, y, z, t}, можно получить {a, b, c} такие, что

$a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ { 2} = c ^ {2}}$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ и $ab 2 = n {\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$ ${\ displaystyle {\ frac {ab} {2} } = n}$

из

$a = y - zt {\ displaystyle a = {\ frac {yz} {t}}}$ ${\ displaystyle a = {\ frac {yz} {t}}}$ , $b = y + zt {\ displaystyle b = {\ frac {y + z} {t}}}$ ${\ displaystyle b = {\ frac {y + z} {t} }}$ , $c = 2 xt. {\ displaystyle c = {\ frac {2x} {t}}.}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {2x} {t}}. }$

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос о том, конгруэнтно ли данное число, оказывается эквивалентным t o условие, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг. Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (по сути, его также можно найти во введении к статье Таннелла).

Предположим, что a, b, c - числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

a 2 + b 2 = c 2, 1 2 a b = n. {\ displaystyle {\ begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}, \\ {\ tfrac {1} {2}} ab = n. \ end {matrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2 } = c ^ {2}, \\ {\ tfrac {1} {2}} ab = n. \ end {matrix}}}

Затем установите x = n (a + c) / b и y = 2n (a + c) / b. Вычисление показывает

y 2 = x 3 - n 2 x {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}

и y не равен 0 (если y = 0 тогда a = -c, поэтому b = 0, но (⁄ 2) ab = n не равно нулю, противоречие).

И наоборот, если x и y являются числами, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, а y не равен 0, установите a = (x - n) / y, b = 2nx / y и c = (x + n) / г. Расчет показывает, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям для a, b и c выше.

Эти два соответствия между (a, b, c) и (x, y) являются обратными друг другу, поэтому у нас есть взаимно однозначное соответствие между любым решением двух уравнений в a, b, и c и любое решение уравнения относительно x и y с y ненулевым. В частности, из формул в двух соответствиях для рационального n мы видим, что a, b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (У нас также есть, что a, b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны; из уравнения y = x - xn = x (x - n) мы видим, что если x и y положительны, то x - n должно быть положительным, поэтому формула для a выше положительна.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнение y = x - nx имеет рациональную точку с y, не равным 0. Можно показать (как применение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что единственные точки кручения на этой эллиптической кривой - это те, у которых y равно 0, следовательно существование рациональной точки с отличным от нуля y равносильно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

. Другой подход к решению - начать с целочисленного значения n, обозначенного как N, и решить

N 2 = ed 2 + e 2 {\ displaystyle N ^ {2} = ed ^ {2} + e ^ {2 }}

{\ displaystyle N ^ {2} = ed ^ {2} + e ^ {2}}

где

c = n 2 / e + ea = 2 nb = n 2 / e - e {\ displaystyle {\ begin {matrix} c = n ^ {2} / e + e \\ a = 2n \\ b = n ^ {2} / ee \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} c = n ^ {2 } / e + e \\ a = 2n \\ b = n ^ {2} / ee \ end {matrix}}}

Наименьшие решения

Ниже приводится список рациональных решений для $a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ и $ab 2 = n {\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$ ${\ displaystyle {\ frac {ab} {2} } = n}$ с равным числом n и наименьшим числителем для c. (мы позволяем a < b, note that a cannot be = b, because if so, then $c = 2 a {\ displaystyle c = {\ sqrt {2}} a}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {2}} a}$ , но $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} }$ ${\ sqrt { 2}}$ не является рациональным числом, поэтому c и a не могут быть одновременно рациональными числами).

n	a	b	c
5	$3 2 {\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$ ${\ frac {3} {2}}$	$20 3 {\ displaystyle {\ frac {20} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {20} {3}}}$	$41 6 {\ displaystyle {\ frac {41} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {41} {6}}}$
6	3	4	5
7	$35 12 {\ displaystyle {\ frac {35} {12}}}$ ${\ displaystyle { \ frac {35} {12}}}$	$24 5 {\ displaystyle {\ frac {24} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {24} {5}}}$	$337 60 {\ displaystyle {\ frac {337} {60}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {337} {60}}}$
13	$780 323 {\ displaystyle {\ frac { 780} {323}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {780} {323}}}$	$323 30 {\ displaystyle {\ frac {323} {30}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {323} {30}}}$	$106921 9690 {\ displaystyle {\ frac {106921} {9690}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {106921} {9690}}}$
14	$8 3 {\ displaystyle {\ frac {8} {3}}}$ ${\ frac {8} {3}}$	$21 2 {\ displaystyle {\ frac {21} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {21} {2}}}$	$65 6 {\ displaystyle {\ frac {65 } {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {65} {6}}}$
15	4	$15 2 {\ displaystyle {\ frac {15} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {15} {2}}}$	$17 2 {\ displaystyle {\ frac {17} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {17} {2}}}$
20	3	$40 3 {\ displaystyle {\ frac {40} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ fr ac {40} {3}}}$	$41 3 {\ displaystyle {\ frac {41} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {41} {3}}}$
21	$7 2 { \ displaystyle {\ frac {7} {2}}}$ ${\ frac {7 } {2}}$	12	$25 2 {\ displaystyle {\ fr ac {25} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {25} {2}}}$
22	$33 35 {\ displaystyle {\ frac {33} {35}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {33} {35}}}$	$140 3 {\ displaystyle {\ frac {140} {3}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {140} {3}}}$	$4901 105 {\ displaystyle {\ frac {4901} {105}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4901} {105}}}$
23	$80155 20748 {\ displaystyle {\ frac {80155} {20748}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {80155} {20748}}}$	$41496 3485 {\ displaystyle {\ frac {41496} {3485}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {41496} {3485}}}$	$905141617 72306780 {\ displaystyle {\ frac {905141617} {72306780}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {905141617} {72306780}}}$
24	6	8	10
28	$35 6 {\ displaystyle {\ frac {35} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {35} { 6}}}$	$48 5 {\ displaystyle {\ frac {48} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {48} {5}}}$	$337 30 {\ displaystyle {\ frac {337} {30}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {337} {30}}}$
29	$99 910 {\ displaystyle {\ frac {99} {910}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {99} {910}}}$	$52780 99 {\ displaystyle {\ frac {52780} {99}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {52780} {99}}}$	$48029801 90090 {\ displaystyle {\ frac {48029801} {90090}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {48029801} {90090}}}$
30	5	12	13
31	$720 287 {\ displaystyle {\ frac {720} {287}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {720} {287}}}$	$8897 360 {\ displaystyle {\ frac {8897} {360}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {8897} {360}}}$	$2566561 103320 {\ displaystyle {\ frac {2566561} {103320}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2566561} {103320}}}$
34	$17 6 {\ displaystyle { \ frac {17} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {17} {6}}}$	24	$145 6 {\ displaystyle {\ frac {145} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {145} {6}}}$
37	$450660 777923 {\ displ aystyle {\ frac {450660} {777923}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {450660} {777923}}}$	$777923 6090 {\ displaystyle {\ frac {777923} {6090}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {777923} {6090}}}$	$605170417321 4737551070 {\ displaystyle {\ frac {605170417321} {4737551070}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {605170417321} {4737551070}}}$
38	$1700 279 {\ displaystyle {\ frac {1700} {279}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1700} {279}}}$	$5301 425 {\ displaystyle {\ frac {5301} {425}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {5301} {425}}}$	$1646021 118575 {\ displaystyle {\ frac {1646021} {118575}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1646021} {118575}}}$
39	$5 2 {\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$ $\ frac {5} {2}$	$156 5 {\ displaystyle {\ frac {156} {5 }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {156} {5}}}$	$313 10 {\ displaystyle {\ frac {313} {10}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {313} {10}}}$
41	$3280 1023 {\ displaystyle {\ frac {3280} {1023}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3280} {1023}}}$	$1023 40 {\ displaystyle {\ frac {1023} {40}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1023} {40}}}$	$1054721 40920 {\ displaystyle {\ frac {1054721} {40920}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1054721} {40920}}}$
45	$9 2 {\ displaystyle {\ frac {9 } {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {9} {2}}}$	20	$41 2 {\ displaystyle {\ frac {41} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {41} {2}}}$
46	$253 42 {\ displaystyle {\ frac {253} {42} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {253} {42}}}$	$168 11 {\ displaystyle {\ frac {168} {11}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {168} {11}}}$	$7585 462 {\ displaystyle {\ frac {7585} {462}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {7585} {462}}}$
47	$11547216 2097655 { \ displaystyle {\ frac {11547216} {2097655}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {11547216} {2097655}}}$	$98589785 5773608 {\ отображает Тайл {\ frac {98589785} {5773608}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {98589785} {5773608}}}$	$217287944875297 12111037689240 {\ displaystyle {\ frac {217287944875297} {12111037689240}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {217287944875297} {12111037689240}}}$
52	$1560 323 {\ displaystyle {\ frac {1560} 323}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1560} {323}}}$	$323 15 {\ displaystyle {\ frac {323} {15}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {323} {15}}}$	$106921 4845 {\ displaystyle {\ frac {106921} {4845}}}$ ${\ displaystyle} {106921} \ frac$
53	$1472112483 202332130 {\ displaystyle {\ frac {1472112483} {202332130}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1472112483} {202332130}}}$	$21447205780 1472112483 {\ displaystyle {\ frac {21447205780} {1472112483}}$ ${\ displaystyle {\ frac {21447205780} {1472112483}} }$	$4850493897329785961 29785561 \ frac2849750961 2978556542842849750961 2978556542849749748878559042849750961 }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4850493897329785961} {297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	$1100 117 {\ displaystyle {\ frac {1100} {117}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1100} {117}}}$	$117 10 {\ displaystyle { \ frac {117} {10}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {117} {10}}}$	$17561 1170 {\ displaystyle {\ frac {17561} {1170}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {17561} { 1170}}}$
56	$16 3 {\ displaystyle {\ frac {16} {3} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {16} {3}}}$	21	$65 3 {\ displaystyle {\ frac {65} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {65} {3}}}$
60	8	15	17
61	$6428003 1423110 { \ displaystyle {\ frac {6428003} {1423110}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6428003} {1423110}}}$	$173619420 6428003 {\ displaystyle {\ frac {17361942 0} {6428003}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {173619420} {6428003}}}$	$250510625883241 9147755349330 {\ displaystyle {\ frac {250510625883241} {9147755349330}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {250510625883241} {9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	$267980280100 44538033219 {\ displaystyle {\ frac {267980280100} {44538033219}}}$ ${\ displaystyle {\ f rac {267980280100} {44538033219}}}$	$44538033219 1326635050 {\ displaystyle {\ frac {44538033219} {1326635050}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {44538033219} {1326635050}}}$	$2015242462949760001961 59085715926389725950 {\ displaystyle {\ frac {2015242462949760001961} {59085715926389725950}}}$ ${\ displaystyle { \ frac {2015242462949760001961} {59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	$411340519227716149383203 +21666555693714761309610 {\ displaystyle {\ гидроразрыва {411340519227716149383203} {+21666555693714761309610}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}$	$6803298487826435051217540 411340519227716149383203 {\ displaystyle {\ гидроразрыва {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$	$224403517704336969924557513090674863160948472041 8912332268928859588025535178967163570016480830 {\ displaystyle {\ frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$ ${\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}$

C Текущий прогресс

Была проделана большая работа по классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно, что для простого числа p выполняется следующее:

если p ≡ 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным числом, но 2p - конгруэнтное число.
если p ≡ 5 (mod 8), то p - конгруэнтное число.
если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2p - конгруэнтные числа

Также известно, что в каждом из классов сравнения 5, 6, 7 (mod 8) для любого заданного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k простыми множителями.

Примечания

Ссылки

(1980), «Проблема конгруэнтных чисел», American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 87 (1): 43– 45, doi : 10.2307 / 2320381, JSTOR 2320381
Чандрасекар В. (1998), «Проблема конгруэнтного числа « (PDF), Resonance, 3 (8): 33–45, doi : 10.1007 / BF02837344
Диксон, Леонард Юджин ( 2005), «Глава XVI», История теории чисел, Dover Books on Mathematics, Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486 -44233-4 - см. Историю проблемы.
Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Проблемные книги по математике (Книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 - Многие ссылки даны в.
Таннелл, Джеррольд Б. (1983), «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2», Inventiones Mathematicae, 72(2): 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T, doi : 10.1007 / BF01389327, hdl : 10338.dmlcz / 137483

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Конгруэнтное число». MathWorld.
Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со множеством ссылок можно найти в Алисе Сильверберг Открытые вопросы в арифметической алгебраической геометрии (Postscript).
Триллион треугольников - математики разрешили первый триллион случаев (при условии гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера ).

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S