Congruum

редактировать
В теории чисел расстояние между тремя равными друг другу квадратными числами Два прямоугольных треугольника с ножкой а гипотенуза (7,13) и (13,17) имеют равные третьи стороны длины √120. Квадрат этой стороны, 120, является конгруумом: это разница между последовательными значениями в арифметической прогрессии квадратов 7, 13, 17. Эквивалентно, два кольца между три желтых круга имеют равные площади, в π умноженное на конгруум.

В теории чисел, конгруум (множественное число конгруа) - это разница между последовательными квадратные числа в арифметической прогрессии из трех квадратов. То есть, если x, y и z (для целых чисел x, y и z) - три квадратных числа, которые расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, то расстояние между ними, z - y = y - x, называется конгруум.

Задача совпадения - это проблема нахождения квадратов в арифметической прогрессии и связанных с ними совпадений. Его можно формализовать как диофантово уравнение : найдите целые числа x, y и z такие, что

y 2 - x 2 = z 2 - y 2. {\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = z ^ {2} -y ^ {2}.}y ^ { 2} -x ^ {2} = z ^ {2} -y ^ {2}.

Когда это уравнение удовлетворяется, обе стороны уравнения равны конгрууму.

Фибоначчи решил проблему конгруума, найдя параметризованную формулу для генерации всех конгруа вместе с соответствующими арифметическими прогрессиями. Согласно этой формуле, каждое конгруум в четыре раза больше площади треугольника Пифагора. Конгруа также тесно связаны с конгруэнтными числами : каждое конгруэнтное число является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является конгруэнтом, умноженным на квадрат рационального числа.

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 История
  • 3 Параметризованное решение
  • 4 Связь с конгруэнтными числами
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Примеры

В качестве примера, число 96 является конгруумом, потому что это разница между соседними квадратами в последовательности 4, 100 и 196 (квадраты 2, 10 и 14 соответственно).

Первые несколько совпадений:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (последовательность A256418 в OEIS ).

История

Проблема конгруума была первоначально поставлена ​​в 1225 году в рамках математического турнира, проводимого Фридрихом II, императором Священной Римской империи, и на этот раз правильно ответил Фибоначчи, который записал свою работу по этой проблеме в своей Книге квадратов.

, Фибоначчи уже знал, что конгруум сам по себе не может быть квадратом, но не дал удовлетворительного доказательства этого факта. С геометрической точки зрения это означает, что пара катетов пифагорова треугольника не может быть катетом и гипотенузой другого треугольника Пифагора. Доказательство в конечном итоге было дано Пьером де Ферма, и результат теперь известна как теорема Ферма о прямоугольном треугольнике. Ферма также предположил, а Леонард Эйлер доказал, что в арифметической прогрессии нет последовательности из четырех квадратов.

Параметризованное решение n

Проблема конгруума может быть решена путем выбора двух различных положительных целых чисел m и n (при m>n); тогда число 4mn (m - n) является конгруумом. Средний квадрат соответствующей арифметической прогрессии квадратов равен (m + n), а два других квадрата могут быть найдены путем сложения или вычитания конгруума. Кроме того, умножение конгруума на квадратное число дает другое сравнение, прогрессия квадратов которого умножается на тот же коэффициент. Все решения возникают одним из этих двух способов. Например, сравнение 96 может быть построено по этим формулам с m = 3 и n = 1, тогда как сравнение 216 получается путем умножения меньшего сравнения 24 на квадратный номер 9.

Эквивалентная формулировка этого Решение, данное Бернаром Френклем де Бесси, состоит в том, что для трех квадратов в арифметической прогрессии x, y и z среднее число y является гипотенузой пифагорейской формулы . треугольник и два других числа x и z являются соответственно разностью и суммой двух катетов треугольника. Само конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника Пифагора. Пример арифметической прогрессии со сравнением 96 может быть получен таким образом из прямоугольного треугольника с длинами сторон и гипотенузы 6, 8 и 10.

Связь с конгруэнтными числами

A конгруэнтное число определяется как площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Поскольку каждое сравнение может быть получено (используя параметризованное решение) как площадь треугольника Пифагора, отсюда следует, что каждое сравнение является конгруэнтным. И наоборот, каждое конгруэнтное число - это конгруум, умноженный на квадрат рационального числа. Однако проверить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем проверить, конгруэнтно ли число. Для задачи сравнения параметризованное решение сводит эту задачу тестирования к проверке конечного набора значений параметров. Напротив, для проблемы конгруэнтных чисел процедура конечной проверки известна только предположительно, через теорему Таннелла, при условии, что гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера верна.>

См. Также

  • Автомедианный треугольник, треугольник, квадраты на трех сторонах которого образуют арифметическую прогрессию
  • Спираль Теодора, образованную прямоугольными треугольниками, стороны которых (не целые) при возведении в квадрат образуют бесконечную арифметическую прогрессию

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 09:36:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте