Глобальное поле

В математике глобальное поле является полем это либо:

• поле алгебраических чисел, т. е. конечное расширение Q, или
• a поле глобальной функции, т. е., функциональное поле алгебраической кривой над конечным полем, что эквивалентно конечному расширению Fq(T), поля рациональных функций в одна переменная над конечным полем с q элементами.

Аксиоматическая характеристика этих полей с помощью теории оценки была дана Эмилем Артином и в 1940-х годах.

• 1 Формальные определения
• 2 Аналогии между двумя классами полей
• 3 Теоремы
  • 3.1 Теорема Хассе – Минковского
  • 3.2 Закон взаимности Артина
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Глобальное поле - одно из следующих:

Поле алгебраических чисел

Поле алгебраических чисел F является конечным (и, следовательно, алгебраическим ) расширение поля поля поля из рациональных чисел Q. Таким образом, F - это поле, которое содержит Q и имеет конечную размерность, если рассматривать его как векторное пространство над Q.

Функциональное поле алгебраической кривой над конечным field

Функциональное поле разнообразия - это набор всех рациональных функций на этом разнообразии. На алгебраической кривой (т.е. одномерном многообразии V) над конечным полем мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U, и что рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые согласованы на пересечениях открытых аффинных функций. Это технически определяет рациональные функции на V как поле дробей аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Между двумя типами полей существует ряд формальных сходств. Поле любого типа обладает тем свойством, что все его дополнения являются локально компактными полями (см. локальные поля ). Каждое поле любого типа может быть реализовано как поле дробей из области Дедекинда, в которой каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае имеется формула произведения для ненулевых элементов x:

$\prod \; v\; |\; х\; |\; v\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{v\}\; |\; x\; |\; \_\; \{v\}\; =\; 1.\; \backslash \}$

Аналогия между двумя видами полей была сильной движущей силой в теории алгебраических чисел. Идея аналогии между числовыми полями и римановыми поверхностями восходит к Ричарду Дедекинду и Генриху М. Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия, выраженная идеей `` глобального поля '', в которой аспект римановой поверхности как алгебраической кривой отображается на кривые, определенные над конечным полем, была построена в течение 1930-х годов, что привело к гипотезе Римана для кривых над конечные поля установлены Андре Вейлем в 1940 году. Терминология может быть обязана Вейлю, который написал свою Основную теорию чисел (1967) отчасти для выработки параллелизма.

Обычно проще работать со случаем функционального поля, а затем попытаться разработать параллельные методы на стороне числового поля. Ярким примером является развитие теории Аракелова и ее использование Гердом Фальтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла. Аналогия также повлияла на развитие теории Ивасавы и главной гипотезы. Доказательство фундаментальной леммы в программе Ленглендса также использовало методы, которые сводили случай числового поля к случаю функционального поля.

Теорема Хассе – Минковского

Теорема Хассе – Минковского является фундаментальным результатом теории чисел, который утверждает, что две квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах, т. е. эквивалентны для каждого завершения поля.

Закон взаимности Артина

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K, которая основана на локально-глобальный принцип Хассе. Его можно описать в терминах когомологий следующим образом:

Пусть L v⁄Kvбудет расширением Галуа локальных полей с группой Галуа G. локальный закон взаимности описывает канонический изоморфизм

$\theta \; v:\; K\; v\; \times \; /\; NL\; v\; /\; K\; v\; (L\; v\; \times )\; \to \; G\; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{v\}:\; K\_\; \{v\}\; ^\; \{\; \backslash \; times\}\; /\; N\_\; \{L\_\; \{v\}\; /\; K\_\; \{v\}\}\; (L\_\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; times\})\; \backslash \; to\; G\; ^\; \{\backslash \; text\; \{ab\}\},\}$

называется местным Артином символ, локальная карта взаимности или символ нормального остатка .

Пусть L⁄K будет расширением Галуа глобальных полей и C L обозначают группу idèle классов L. Карты θ v для разных мест v из K могут быть собраны в единую глобальную карту символов путем умножения локальные компоненты idèle класса. Одно из положений закона взаимности Артина заключается в том, что это приводит к каноническому изоморфизму

1. ^Artin Whaples 1945 и Artin Whaples 1946
2. ^Серр (1967) с.140
3. ^Серр (1979) с.197
4. ^Нойкирх (1999) с.391
5. ^Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992, с. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.

• Артин, Эмиль ; (1945), «Аксиоматическая характеристика полей формулой произведения для оценок», Bull. Амер. Математика. Soc., 51: 469–492, doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08383-9, MR 0013145
• Артин, Эмиль ; (1946), «Заметка об аксиоматической характеризации полей», Бюл. Амер. Математика. Soc., 52 : 245–247, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08549-3, MR 0015382
• J.W.S. Касселс, «Глобальные поля», в J.W.S. Касселс и А. Frohlich (ред.), Алгебраическая теория чисел, Academic Press, 1973. Chap.II, pp. 45–84.
• J.W.S. Касселс, «Местные поля», Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5. С.56.
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, Zbl 1136.11001