Принцип Хассе

редактировать

В математике локально-глобальный принцип Хельмута Хассе, также известный как принцип Хассе, заключается в том, что можно найти целочисленное решение уравнения, используя китайскую теорему об остатках, чтобы соединить вместе решения по модулю степени каждого разного простого числа. Это обрабатывается путем изучения уравнения в дополнениях рациональных чисел : действительных чисел и p-адических чисел. Более формальная версия принципа Хассе гласит, что определенные типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p-адических числах для каждое простое число p.

Содержание

1 Интуиция
2 Формы, представляющие 0
- 2.1 Квадратичные формы
- 2.2 Кубические формы
- 2.3 Формы высшей степени
3 Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер
4 Принцип Хассе для алгебраических групп
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Интуиция

Дано полиномиальное уравнение с рациональными коэффициентами, если оно имеет рациональное решение, то это также дает реальное решение и p-адическое решение, поскольку рациональные числа вкладываются в действительные и p-адические числа: глобальное решение дает локальные решения для каждого простого числа. Принцип Хассе спрашивает, когда можно сделать обратное, или, скорее, спрашивает, что является препятствием: когда вы можете соединить вместе решения по действительным и p-адическим числам, чтобы получить решение по рациональным числам: когда можно объединить локальные решения, чтобы сформировать глобальное решение?

Это можно задать для других колец или полей: например, целых чисел или числовых полей. Для числовых полей вместо действительных чисел и p-адиков используются сложные вложения и $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak p$ -adics для простых идеалов $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $\ mathfrak p$ .

Формы, представляющие 0

Квадратичные формы

Теорема Хассе – Минковского утверждает, что локальная –Глобальный принцип справедлив для задачи квадратичных форм над рациональными числами (что является результатом Минковского ); и в более общем смысле над любым числовым полем (как доказано Хассе), когда используются все соответствующие условия локального поля. Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что локально-глобальный принцип применяется к условию относительной нормы для циклического расширения числовых полей.

Кубические формы

Контрпример, сделанный Эрнстом С. Сельмером, показывает, что теорема Хассе – Минковского не может быть расширена до форм степени 3: кубическое уравнение 3x + 4y + 5z = 0 имеет решение в действительных числах и во всех p-адических полях, но не имеет нетривиального решения, в котором все x, y и z являются рациональными числами.

Роджер Хит-Браун показал, что каждое кубическая форма над целыми числами по крайней мере в 14 переменных представляет 0, улучшая предыдущие результаты Davenport. Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами с как минимум десятью переменными представляет 0, локально-глобальный принцип тривиально выполняется для кубических форм над рациональными числами как минимум от 14 переменных.

Ограничиваясь неособыми формами, можно добиться большего успеха, чем это: Хит-Браун доказал, что каждая неособая кубическая форма над рациональными числами по крайней мере от 10 переменных представляет 0, таким образом тривиально установив принцип Хассе для этот класс форм. Известно, что результат Хита-Брауна является наилучшим в том смысле, что существуют неособые кубические формы над рациональными числами от 9 переменных, которые не представляют ноль. Однако Хули показал, что принцип Хассе верен для представления 0 неособыми кубическими формами над рациональными числами по крайней мере от девяти переменных. Давенпорт, Хит-Браун и Хули использовали круговой метод Харди – Литтлвуда в своих доказательствах. Согласно идее Манина, препятствия к применению принципа Хассе для кубических форм могут быть связаны с теорией группы Брауэра ; это препятствие Брауэра – Манина, которое полностью объясняет несостоятельность принципа Хассе для некоторых классов разнообразия. Однако Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра – Манина не может объяснить все неудачи принципа Хассе.

Формы более высокой степени

Контрпримеры Фудзивары и показать, что теорема Хассе – Минковского не расширяется до форм степени 10n + 5, где n - неотрицательное целое число.

С другой стороны, теорема Берча показывает что если d - любое нечетное натуральное число, то существует такое число N (d), что любая форма степени d в более чем N (d) переменных представляет 0: принцип Хассе тривиально выполняется.

Теорема Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер

Теорема Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер устанавливает локально-глобальный принцип расщепления центра простая алгебра A над полем алгебраических чисел K. В нем говорится, что если A разбивается по каждому завершению Kv, то он изоморфен матричной алгебре над K.

Принцип Хассе для алгебраических групп

Принцип Хассе для алгебраических групп утверждает, что если G - односвязная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем k, то отображение из

H 1 (k, G) → ∏ s ЧАС 1 (ks, G) {\ displaystyle H ^ {1} (k, G) \ rightarrow \ prod _ {s} H ^ {1} (k_ {s}, G)}

H ^ {1} (k, G) \ rightarrow \ prod _ {s} H ^ {1} (k_ {s}, G)

инъективно, где произведение находится по всем точкам s из k.

Принцип Хассе для ортогональных групп тесно связан с принципом Хассе для соответствующих квадратичных форм.

Кнезер (1966) и несколько других проверяли принцип Хассе индивидуальными доказательствами для каждой группы. Последним случаем была группа E 8, которую дополнил только Черноусов (1989) через много лет после других дел.

Принцип Хассе для алгебраических групп использовался в доказательствах гипотезы Вейля для чисел Тамагавы и теоремы о сильной аппроксимации.

См. Также

Примечания

^Эрнст С. Сельмер (1951). «Диофантово уравнение ax + by + cz = 0». Acta Mathematica. 85 : 203–362. doi : 10.1007 / BF02395746.
^ D.R. Хит-Браун (2007). «Кубические формы от 14 переменных». Изобретать. Математика. 170 (1): 199–230. Bibcode : 2007InMat.170..199H. doi : 10.1007 / s00222-007-0062-1.
^H. Давенпорт (1963). «Кубические формы от шестнадцати переменных». Труды Королевского общества A. 272 (1350): 285–303. Bibcode : 1963RSPSA.272..285D. doi : 10.1098 / rspa.1963.0054.
^D. Р. Хит-Браун (1983). «Кубические формы от десяти переменных». Труды Лондонского математического общества. 47 (2): 225–257. doi : 10.1112 / plms / s3-47.2.225.
^L. Дж. Морделл (1937). «Замечание о неопределенных уравнениях многих переменных». Журнал Лондонского математического общества. 12 (2): 127–129. doi : 10.1112 / jlms / s1-12.1.127.
^C. Хули (1988). «О неарных кубических формах». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 386 : 32–98.
^Алексей Н. Скоробогатов (1999). «За преградой Манина». Изобретать. Математика. 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom / 9711006. Bibcode : 1999InMat.135..399S. doi : 10.1007 / s002220050291.
^М. Фудзивара ; (1976). «Некоторые формы нечетной степени, для которых принцип Хассе не работает». Тихоокеанский математический журнал. 67 (1): 161–169. doi : 10.2140 / pjm.1976.67.161.

Литература

Черноусов В. И. (1989), «Принцип Хассе для групп типа E8», Советская математика. Докл., 39 : 592–596, MR 1014762
Кнезер, Мартин (1966), «Принцип Хассе для H¹ односвязных групп», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, RI: Американское математическое общество, стр. 159–163, MR 0220736
Serge Lang (1997). Обзор диофантовой геометрии. Спрингер-Верлаг. Стр. 250 –258. ISBN 3-540-61223-8.
Алексей Скоробогатов (2001). Торсоры и рациональные точки. Кембриджские трактаты по математике. 144 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 1–7, 112. ISBN 0-521-80237-7.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Статья о PlanetMath
Суиннертон-Дайер, Диофантовы уравнения: прогресс и проблемы, онлайн-заметки
Дж. Франклин, Глобальный и локальный, Mathematical Intelligencer 36 (4) (декабрь 2014 г.), 4–9.