Войти
Два завершения рациональных чисел, диадических чисел (здесь показаны только двоичные целые числа) и вещественных чисел. Теорема Хассе-Минковского устанавливает связь между квадратичными формами в числовом поле и пополнениями числового поля. Теорема Хассе-Минковского является фундаментальным результатом теории чисел, который утверждает, что две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах, т. е. эквивалентно для каждого завершения поля (которое может быть вещественным, комплексным или p-адическим ). Связанный результат состоит в том, что квадратное пространство над числовым полем является изотропным тогда и только тогда, когда оно изотропно локально всюду, или, что эквивалентно, квадратичная форма над числовым полем нетривиально представляет ноль тогда и только тогда, когда это верно для всех пополнений поля. Теорема была доказана в случае поля рациональных чисел Германом Минковским и обобщена на числовые поля Гельмутом Хассе. То же самое утверждение справедливо даже для всех глобальных полей.
Важность теоремы Хассе-Минковского заключается в новой парадигме, которую она представила для ответа на арифметические вопросы: чтобы определить, является ли Если уравнение определенного типа имеет решение в рациональных числах, достаточно проверить, есть ли у него решения над полными полями действительных и p-адических чисел, где аналитические соображения, такие как метод Ньютона и его p- адический аналог, лемма Гензеля, применима. Это воплощено в идее локально-глобального принципа, который является одним из наиболее фундаментальных методов арифметической геометрии.
Теорема Хассе – Минковского сводит проблему классификации квадратичных форм над числовым полем K до эквивалентности к множеству аналогичных, но гораздо более простых вопросов над локальными полями. Основными инвариантами неособой квадратичной формы являются ее размерность, которая является положительным целым числом, и ее дискриминант по модулю квадратов в K, который является элементом мультипликативная группа K/K. Кроме того, для каждого разряда v из K существует инвариант, полученный из завершения Kv. В зависимости от выбора v, это завершение может быть полем вещественных чисел R, комплексных чисел Cили поля p-адических чисел, каждое из которых имеет разные виды инвариантов:
Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: соотношению четности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения ( локально-глобальное отношение). Наоборот, для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим соотношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.
