Войти
В математика, поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) F - это конечная степень (и, следовательно, алгебраическое ) расширение поля поля поле из рациональных чисел Q. Таким образом, F - это поле, которое содержит Q и имеет конечную размерность, если рассматривать его как векторное пространство над Q.
Изучение полей алгебраических чисел и т. Д. Как правило, алгебраические расширения поля рациональных чисел являются центральной темой теории алгебраических чисел.
Понятие поля алгебраических чисел основывается на концепции поля . Поле состоит из набора элементов вместе с двумя операциями, а именно сложением и умножением, а также некоторыми предположениями о распределении. Ярким примером поля является поле рациональных чисел, обычно обозначаемое Q, вместе с его обычными операциями сложения и умножения.
Еще одно понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел - это векторные пространства. В необходимой степени векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежей )
, элементы которых являются элементами фиксированного поля., например, поле Q . Любые две такие последовательности можно добавить, добавляя записи по одной. Кроме того, любую последовательность можно умножить на единственный элемент c фиксированного поля. Эти две операции, известные как сложение векторов и скалярное умножение, удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть «бесконечномерными», то есть последовательности, составляющие векторные пространства, имеют бесконечную длину. Если, однако, векторное пространство состоит из конечных последовательностей
, говорят, что векторное пространство имеет конечную размерность, n.
Поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) является полем с конечной степенью расширение поля рациональных чисел. Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над Q.
Обычно в абстрактной алгебре расширение поля F / E является алгебраическим, если каждый элемент f большего поля F является нулем полином с коэффициентами e 0,..., e m в E:
Каждое расширение поля конечного степень является алгебраической. (Доказательство: для x в F просто рассмотрим 1, x, x, x,... - мы получим линейную зависимость, то есть многочлен, корнем которого является x.) В частности, это относится к полям алгебраических чисел, поэтому любые элемент f поля алгебраических чисел F можно записать как нуль многочлена с рациональными коэффициентами. Поэтому элементы F также называют алгебраическими числами. Для заданного многочлена p, такого что p (f) = 0, он может быть устроен так, чтобы старший коэффициент e m был равен единице, путем деления на него всех коэффициентов, если необходимо. Многочлен с этим свойством известен как монический многочлен . Как правило, у него будут рациональные коэффициенты. Однако, если все его коэффициенты на самом деле целые числа, f называется целым алгебраическим числом. Любое (обычное) целое число z ∈ Z является целым алгебраическим числом, так как оно является нулем линейного монического многочлена:
Можно показать, что любое алгебраическое целое число, которое также является рациональным числом, должно быть фактически целым числом, отсюда и название «алгебраическое целое число». Снова используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порожденного модуля, можно показать, что сумма и произведение любых двух алгебраических целых чисел по-прежнему является целым алгебраическим числом. Отсюда следует, что алгебраические целые числа в F образуют кольцо , обозначенное O F, называемое кольцом целых чисел F. Это подкольцо (то есть кольцо, содержащееся в) F. Поле не содержит делителей нуля, и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел F является целостная область. Поле F является полем дробей области целостности O F. Таким образом можно переключаться между полем алгебраических чисел F и его кольцом целых чисел O F. Кольца алгебраических целых чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, O F является областью целостности, которая целиком замкнута в своем поле дробей F. Во-вторых, O F является нётеровым кольцом. Наконец, каждый ненулевой простой идеал кольца O F является максимальным или, что то же самое, размерность Крулля этого кольца равна единице. Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется Дедекиндовым кольцом (или Дедекиндовым доменом) в честь Ричарда Дедекинда, который провел глубокое изучение колец алгебраических целых чисел.
Для общих колец Дедекинда, в частности колец целых чисел, существует уникальная факторизация идеалов в произведение главные идеалы. Например, идеал (6) в Z [√ − 5] делится на простые идеалы как
Однако, в отличие от Z как кольца целых чисел Q, кольцо целые числа надлежащего расширения Q не должны допускать уникальной факторизации чисел в произведение простых чисел или, точнее, простых элементов. Это происходит уже для целых квадратичных чисел, например, в O Q(√ − 5) = Z[√ − 5] уникальность факторизации не выполняется:
Используя norm, можно показать, что эти две факторизации фактически неэквивалентны в том смысле, что множители различаются не только на единица в O Q(√ − 5). Евклидовы домены - уникальные домены факторизации; например, Z [i], кольцо целых гауссовских чисел и Z [ω], кольцо целых чисел Эйзенштейна, где ω - кубический корень из единицы (не равный 1), обладают этим свойством.
Неудача уникальной факторизации измеряется номер класса, обычно обозначаемый h, мощность так называемой группы идеальных классов. Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел O F обладает уникальной факторизацией тогда и только тогда, когда оно является главным кольцом или, что эквивалентно, если F имеет номер класса 1. Учитывая числовое поле, номер класса часто бывает трудно вычислить. Проблема числа классов , восходящая к Гауссу, связана с существованием полей мнимых квадратичных чисел (т. Е. Q (√ − d), d ≥ 1) с установленным номером класса. Формула числа классов связывает h с другими фундаментальными инвариантами F. Она включает в себя дзета-функцию Дедекинда ζF(s), функцию комплексной переменной s, определяемую как
.(произведение берется за все простые идеалы O F, 
Формула номера класса утверждает, что ζ F (s) имеет простой полюс при s = 1, и в этой точке остаток равен задается формулой
Здесь r 1 и r 2 классически обозначают количество реальных вложений и пар сложных вложений F соответственно. Кроме того, Reg является регулятором функции F, w количество корней из единицы в F, а D является дискриминантом F.
L-функции Дирихле L ( χ, s) - более тонкий вариант ζ (s). Оба типа функций кодируют арифметическое поведение Q и F соответственно. Например, теорема Дирихле утверждает, что в любой арифметической прогрессии
с взаимно простыми a и m, простых чисел бесконечно много. Эта теорема подразумевается тем фактом, что L-функция Дирихле отлична от нуля при s = 1. Используя гораздо более продвинутые методы, включая алгебраическую K-теорию и меры Тамагавы, современная теория чисел имеет дело с описанием, если в значительной степени предположительным (см. гипотеза числа Тамагавы ), значений более общих L-функций.
Целочисленный базис для числового поля F степени n - это набор
из n целых алгебраических чисел в F так, что каждый элемент кольца целых чисел O F из F может быть записан однозначно как Z -линейная комбинация элементов из B; то есть для любого x в O F мы имеем
, где m i - (обычные) целые числа. Тогда также верно, что любой элемент F может быть записан однозначно как
, где теперь m i - рациональные числа. Алгебраические целые числа F - это в точности те элементы F, где m i - все целые числа.
Работая локально и используя такие инструменты, как карта Фробениуса, всегда можно явно вычислить такую основу, и теперь это стандарт для компьютера системы алгебры иметь для этого встроенные программы.
Пусть F - числовое поле степени n. Среди всех возможных оснований F (рассматриваемых как Q -векторное пространство) есть частные, известные как степенные основания, которые являются основаниями формы
для некоторого элемента x ∈ F. По теореме о примитивном элементе существует такой x, называемый примитивным элементом . Если x можно выбрать в O F и так, что B x является основой O F как свободного Z -модуля, тогда B x называется базисом интеграла мощности, а поле F называется моногенным полем. Пример числового поля, которое не является моногенным, впервые был дан Дедекиндом. Его примером является поле, полученное путем присоединения корня многочлена x - x - 2x - 8.
Используя умножение в F, элементы поля F может быть представлен матрицей размером n на n
, требуя
Здесь e 1,..., e n - фиксированный базис для F, рассматриваемый как Q -векторное пространство. Рациональные числа a ij однозначно определяются x и выбором базиса, поскольку любой элемент F может быть однозначно представлен как линейная комбинация базовых элементов. Этот способ привязки матрицы к любому элемент поля F называется регулярным представлением. Квадратная матрица A представляет эффект умножения на x в данном базисе. Отсюда следует, что если элемент y поля F представлен матрицей B, то пиар oduct xy представлен матричным продуктом BA. Инварианты матриц, такие как след, определитель и характеристический многочлен, зависят исключительно от элемента поля x, а не от основание. В частности, след матрицы A (x) называется след элемента поля x и обозначается Tr (x), а определитель называется norm x и обозначается N (x).
По определению стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr (x) - это линейная функция от x, выраженная как Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y), Tr (λx) = λ Tr (x), а норма - мультипликативная однородная функция степени n: N (xy) = N (x) N (y), N (λx) = λ N (x). Здесь λ - рациональное число, а x, y - любые два элемента F.
Полученная форма следа представляет собой билинейную форму , определенную посредством следа., как Tr (xy). Интегральная форма следа, целочисленная симметричная матрица определяется как t ij = Tr (b ibj), где b 1,..., b n является интегральным базисом для F. Дискриминант F определяется как det (t). Это целое число, инвариантное свойство поля F, не зависящее от выбора интегрального базиса.
Матрица, связанная с элементом x из F, также может использоваться для предоставления других эквивалентных описаний алгебраических целых чисел. Элемент x из F является алгебраическим целым числом тогда и только тогда, когда характеристический многочлен p A матрицы A, связанной с x, является моническим многочленом с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица A, представляющая элемент x, имеет целые элементы в некотором базисе e. По теореме Кэли – Гамильтона p A (A) = 0, и отсюда p A (x) = 0, так что x является алгебраическое целое число. И наоборот, если x является элементом F, который является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то то же свойство имеет место для соответствующей матрицы A. В этом случае можно доказать, что A является целочисленной матрицей в подходящем базисе F. Свойство быть алгебраическим целым числом определяется способом, который не зависит от выбора базиса в F.
Рассмотрим F = Q (x), где x удовлетворяет x - 11x + x + 1 = 0. Тогда интегральный базис равен [1, x, 1/2 (x + 1)], а соответствующая интегральная форма следа
Цифра 3 в верхнем левом углу этой матрицы - это след матрицы заданной карты первым базисным элементом (1) в регулярном представлении F на F. Этот базисный элемент индуцирует тождественное отображение в 3-мерном векторном пространстве F. След матрицы тождественного отображения в 3-мерном векторном пространстве равно 3.
Определитель этого равен 1304 = 2 · 163, дискриминант поля; для сравнения, корневой дискриминант, или дискриминант полинома, равен 5216 = 2 · 163.
Математики девятнадцатого века считали алгебраические числа разновидностью комплексных чисел. Ситуация изменилась с открытием p-адических чисел Гензелем в 1897 г.; и теперь принято рассматривать сразу все различные возможные вложения числового поля F в его различные топологические пополнения.
A место числового поля F является классом эквивалентности абсолютных значений на F. По сути, абсолютное значение - это понятие для измерения размера элементов f поля F. Два таких абсолютных значения считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). В целом они делятся на три режима. Во-первых (и в основном это не имеет значения) тривиальное абсолютное значение | | 0, который принимает значение 1 на всех ненулевых f в F. Второй и третий классы - это места Архимеда и неархимедовы (или ультраметрические) места. Завершение F относительно места дается в обоих случаях путем взятия последовательностей Коши в F и деления нулевых последовательностей, то есть последовательностей (x n)n ∈ Nтакое, что | x n | стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности. Это может быть снова показано как поле, так называемое завершение F в данном месте.
Для F = Q возникают следующие нетривиальные нормы (теорема Островского ): (обычное) абсолютное значение, которое приводит к полному топологическое поле вещественных чисел R . С другой стороны, для любого простого числа p абсолютные значения p-адического определяются как
В отличие от обычного абсолютного значения, p-адическая норма становится меньше при умножении q на p, что приводит к совершенно иному поведению Qpпо сравнению с R.
Стандартные обозначения r 1 и r 2 для количество реальных и сложные вложения, соответственно (см. ниже).
Вычисление архимедовых позиций F выполняется следующим образом: пусть x будет примитивным элементом F с минимальным многочленом f (над Q ). При R f обычно больше не будет неприводимым, но его неприводимые (действительные) множители имеют степень один или два. Поскольку нет повторяющихся корней, нет повторяющихся факторов. Корни r множителей первой степени обязательно действительны, и замена x на r дает вложение F в R ; количество таких вложений равно количеству действительных корней f. Ограничение стандартного абсолютного значения на R до F дает архимедово абсолютное значение на F; такое абсолютное значение также упоминается как реальное место F. С другой стороны, корни множителей степени два являются парами сопряженных комплексных чисел, что позволяет выполнять два сопряженных вложения в С . Любое из этих вложений может использоваться для определения абсолютного значения на F, которое одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены. Это абсолютное значение называется комплексным местом F.
Если все корни f выше действительные (соответственно, комплексные) или, что то же самое, любое возможное вложение F ⊂ C фактически вынуждено быть внутри R (соотв. C ), F называется полностью реальным (соотв. полностью сложным ).
Чтобы найти неархимедовы места, пусть снова f и x будут такими, как указано выше. В Qpf делится на множители различной степени, ни один из которых не повторяется, и степени которых в сумме дают n - степень f. Для каждого из этих p-адически неприводимых факторов t мы можем предположить, что x удовлетворяет t, и получить вложение F в алгебраическое расширение конечной степени над Qp. Такое локальное поле ведет себя во многом как числовое поле, и p-адические числа могут аналогичным образом играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем точно таким же образом определить норму и трассировку, теперь предоставляя функции, отображаемые в Qp. Используя этоотображение p-адической нормы Ntдля места t, мы можем определить абсолютное значение, соответствующее данному p-адически несократимому множителю t степени m по формуле | θ | t = | Nt(θ) | р. Такое абсолютное значение называется ультраметрическим, неархимедовым или административным местом F.
Для любого ультраметрического места мы имеем, что | х | v ≤ 1 для любого x из O F, поскольку у него минимальный многочлен для x имеет целочисленные множители, и, следовательно, его p-адическая факторизация имеет множители в Zp. Следовательно, стандартный член (постоянный член) для каждого фактора является единичным целым, используемым для определения абсолютного значения для v.
Для ультраметрическая точка v, подмножество О F, определяемое | х | v< 1 is an идеалом P из O F. Это зависит от ультраметричности v: если x и y в P, то
Фактически, P является даже простым идеалом.
. И наоборот, этот простой идеал P, равный O F, дискретную точность можно определить, задав v P (x) = n, где n - наибольшее целое число, такое что x ∈ P, n- Эту формулу можно превратить в ультразвуковое. Z (который обязательно из одного простого числа) соответствует неархимедово месту и наоборот.
Еще один, эквивалентный способ описания ультраметрических мест, более сложный, как будет объяснено ниже. - с помощью локализации O F. Использование данной локализации в числовом поле F, c или соответствующей локализации - это подкольцо кольца T всех элементов x таких, что | х | v ≤ 1. По ультраметрическому свойству T - кольцо. Кроме того, он содержит O F. Для каждого элемента x из F по крайней мере одно из x или x содержится в T. Фактически, поскольку можно показать, что F / T изоморфна целым числам, T является кольцом дискретной оценки, в частности локальное кольцо. Фактически, T - это просто локализация O F на первичном идеале P. И наоборот, P - максимальный идеал T.
В целом, трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простые идеалы и локализации в числовом поле.
Схематическое изображение ветвления: почти всех точек в Y состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, утвержденных точками, где волокна из одной и двух точек (отмечены черным цветом) соответственно. Отображение f называется разветвленным в этихках Y. Ветвление, вообще говоря, геометрическое явление, которое может происходить с однозначными отображениями (то есть такими что прообразы всех) Точек y в Y состоят только из конечного числа точек): мощность волокон f (y) обычно будет иметь такое же количество точек, но это происходит что в особых точках y это число падает. Например, карта
имеет n точек в каждом слое над t, а именно n (комплексных) корней t, за исключением t = 0, где слой состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленного покрытия римановых поверхностей. Эта интуиция также служит для определения разветвления в алгебраической теории чисел. Данное (обязательно конечное) расширение числовых полей F / E, простой идеал поля O E порождает идеал pO F поля O F. Этот идеал может быть, а может и не быть простым идеалом, но, согласно теореме Ласкера - Нётер (см. Выше), всегда формулой
с однозначно определенно простыми идеалами q i из O F и числа (называемые индексами ветвления) e i. Каждый раз, когда один индекс ветвления больше единицы, говорят, что простое число p разветвляется в F.
Связь между этим определением и геометрической ситуацией доставляется картой спектров колец Spec O F → Спецификация O E. Фактически, неразветвленные морфизмы схем в алгебраической геометрии основной обобщением неразветвленных расширений числовых полей.
Ветвление является чисто локальным своимством, т.е. зависит только от дополнений вокруг простых чисел p и q i. Группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в некотором месте и группой Галуа задействованных конечных полей вычетов.
Следующий пример иллюстрирует понятие, введенные выше. Чтобы вычислить индекс ветвления Q (x), где
в 23, достаточно рассмотреть расширение поля Q23(х) / Q23. До 529 = 23 (т. Е. по модулю 529) f можно разложить на множители как
Подстановка x = y + 10 в первом множителе g по модулю 529 дает y + 191, поэтому оценка | y | g для y, заданного g, равно | −191 | 23 = 1. С другой стороны, такая же подстановка в h дает y - 161y - 161 по модулю 529. Времена 161 = 7 × 23,
Индекс неверного значения квадратного корня из 23, индекс ветвления увеличения поля в 23 равен двум.
Оценки любого элемента F могут быть вычислены таким образом, используя результирующие. Если, например, y = x - x - 1, использование результирующего для исключения x между этим использованием и f = x - x - 1 = 0 дает y - 5y + 4y - 1 = 0. Если вместо этого мы исключаем по отношению к множители g и h для f, мы получаем соответствующие множители для полинома для y, а затем 23-адическая оценка, примененная к константе (норме), позволяет нам вычислить оценку y для g и h (которые равны 1 в данном случае.)
Большая часть значений дискриминанта заключается в том, что разветвленные ультраметрические позиции - это все места, полученные из факторизации в Qp, где p делит дискриминант. Это верно даже для полиномиального дискриминанта; однако верно и обратное: если простое число p делит дискриминант, то существует p-место, которое разветвляется. Для этого нужен дискриминант поля. Это дискриминантная теорема Дедекинда . В приведенном выше примере дискриминант числового поля Q (x) с x - x - 1 = 0 равенство −23, и, как мы видели, 23-адический разряд разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это делает это единственное ультраметрическое место. Другое разветвленное место происходит от абсолютного значения комплексного вложения F.
Как правило, абстрактной алгебре расширения полей F / E можно изучить, исследуя Группа Галуа Gal (F / E), состоящая из полевых автоморфизмов F, оставляющих E поэлементно фиксированным. Например, группа Галуа Gal (Q(ζn) / Q ) расширения кругового поля степени n (см. Выше) задается как (Z/nZ), группа обратимых элементов в Z/nZ. Это первый шаг к теории Ивасавы.
. Чтобы включить все возможные расширения, обладающие определенными свойствами, концепцию группы Галуа обычно используется к (бесконечному) расширению поля F / F алгебраического замыкания , что приводит к абсолютной группе Галуа G: = Gal ( F / F) или просто Gal (F) и к расширению F / Q . Фундаментальная теорема теории Галуа связывает поля между F и его алгебраическим замыканием и замкнутыми подгруппами в Gal (F). Например, абелианизация (наибольшее абелево частное) G группы G соответствует полю, называемому максимальным абелевым расширением F (называемым так, поскольку любое дальнейшее расширение не является абелевым, т. Е., не имеет абелевой группы Галуа). По теореме Кронекера - Вебера максимальное абелево расширение Q расширением, порожденным всеми корнями из единицы. Для более общих числовых полей теория классов, в частности взаимности Артина, дает ответ, описывая G в терминах закон группы классов иделей. Также следует отметить поле классов Гильберта, максимальное абелево неразветвленное расширение поля F. Можно показать, что оно конечно над F, его группа Галуа над F изоморфна группа классов F, в частности ее степень соответствует номеру класса h F (см. выше).
В определенных ситуациях группауа Галактика на другие математические объекты, например группа. Тогда такую группу также называют модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal (F), также известную как когомологии Галуа, которые в первую очередь измеряют неточность взятия Gal (F) -инварианты, но также предлагает более глубокое понимание (и вопросы). Например, группа Галуа G расширения поля L / F действует на L, ненулевые элементы L. Этот модуль Галуа играет важную роль во многих арифметических двойственностях, таких как Пуату-Тейт. двойственность. Группа Брауэра группы F, первоначально задуманная для классификации алгебр с делением над F, может быть преобразована в группу когомологий, а именно H (Gal (F), F).
Вообще говоря, термин «от локального к глобальному» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что имеет тенденцию упрощать вопросы. Затем, конечно, информацию, полученную в ходе локального анализа, необходимо собрать воедино, чтобы вернуться к некоторому глобальному утверждению. Например, понятие пучков воплощает эту идею в топологии и геометрии.
Числовые поля имеют много общего. с другим классом полей, широко используемым в алгебраической геометрии, известным как функциональные поля алгебраических кривых над конечными полями. Пример: Fp(T). Они схожи во многих отношениях, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координатные кольца (поля частных которых являются рассматриваемым функциональным полем) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальными полями. В соответствии с изложенной выше философией, они могут быть изучены сначала на локальном уровне, то есть путем просмотра соответствующих локальных полей. Для числовых полей F локальные поля являются дополнениями F во всех местах, включая архимедовы (см. локальный анализ ). Для функциональных полей локальные поля - это пополнения локальных колец во всех точках кривой для функциональных полей.
Многие результаты, действительные для функциональных полей, также верны, по крайней мере, при правильной переформулировке, для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто вызывает трудности и явления, не встречающиеся в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуитивного понимания того, чего следует ожидать в случае числовых полей.
Типичный вопрос, поставленный на глобальном уровне, заключается в том, имеет ли какое-либо полиномиальное уравнение решение в F. Если это так, это решение также является решением во всех завершениях.. локально-глобальный принцип или принцип Хассе утверждает, что для квадратных уравнений справедливо и обратное. Таким образом, проверка того, имеет ли такое уравнение решение, может быть выполнена для всех дополнений F, что часто проще, поскольку аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в местах архимеда и p-адический анализ в неархимедовых местах). Однако это утверждение неверно для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной в теории полей классов, например, где локальная теория поля классов используется для получения глобальных идей, упомянутых выше. Это также связано с тем фактом, что группы Галуа пополнений F v могут быть определены явно, тогда как группы Галуа глобальных полей, даже Q, гораздо менее понятны.
Чтобы собрать локальные данные, относящиеся ко всем локальным полям, присоединенным к F, устанавливается кольцо аделей. Мультипликативный вариант называется иделами.
Тогда для Дедекинда поля были подмножества комплексных чисел.
Эмпиризм возник из взглядов XIX века на математику как на почти совпадающую с теоретической физикой.
