Теорема Фальтингса

Теорема Фальтингса

Герд Фальтингс
Поле	Арифметическая геометрия
Предполагается	Луи Морделл
Предполагается в	1922 г.
Первое доказательство	Герд Фальтингс
Первое доказательство в	1983 г.
Обобщения	Гипотеза Бомбьери – Ланга Гипотеза Морделла – Ланга
Последствия	Теорема Зигеля о целых точках

В арифметической геометрии, то гипотеза Морделла является гипотеза сделана Луи Морделл, что кривая рода больше 1 над полем Q из рациональных чисел имеет лишь конечное число рациональных точек. В 1983 году она была доказана Гердом Фалтингсом, и теперь она известна как теорема Фалтингса. Позднее гипотеза была обобщена заменой Q любым числовым полем.

• 1 Справочная информация
• 2 Доказательства
  • 2.1 Более поздние доказательства
• 3 Последствия
• 4 Обобщения
• 5 Примечания
• 6 цитат
• 7 ссылки

Пусть С быть несингулярным алгебраической кривым родом г над Q. Тогда множество рациональных точек на C можно определить следующим образом:

• Случай g = 0: точек нет или бесконечно много; C обрабатывается как коническая секция.
• Случай g = 1: нет точек, или C - эллиптическая кривая и ее рациональные точки образуют конечно порожденную абелеву группу ( теорема Морделла, позже обобщенная до теоремы Морделла – Вейля ). Более того, теорема Мазура о кручении ограничивает структуру подгруппы кручения.
• Случай g gt; 1: согласно гипотезе Морделла, теперь теореме Фалтингса, C имеет только конечное число рациональных точек.

Игорь Шафаревич предположил, что существует только конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошей редукцией вне фиксированного конечного множества мест. Алексей Паршин показал, что из гипотезы Шафаревича о конечности следует гипотеза Морделла, используя то, что сейчас называется трюком Паршина.

Герд Фалтингс доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известную редукцию к случаю гипотезы Тейта, а также инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона. Основная идея доказательства Фальтингса - это сравнение высот Фальтингса и наивных высот с помощью модульных разновидностей Зигеля.

Более поздние доказательства

• Поль Войта дал доказательство, основанное на диофантовом приближении. Энрико Бомбьери нашел более элементарный вариант доказательства Войты.
• Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш дали доказательство, основанное на p -адической теории Ходжа, позаимствовав также некоторые из более простых компонентов исходного доказательства Фалтингса.

Статья Фалтингса от 1983 г. повлекла за собой ряд утверждений, о которых ранее предполагалось:

• Гипотеза Морделла о том, что кривая рода больше 1 над числовым полем имеет только конечное число рациональных точек;
• Теорема изогении о том, что абелевы многообразия с изоморфными модулями Тейта (как Q ℓ -модули с действием Галуа) изогенны.

Примером применения теоремы Фальтингса является слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого фиксированного n ≥ 4 существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно взаимно простых решений) для a ⁿ  +  b ⁿ  =  c ⁿ, поскольку для таких n кривой Ферма х ^п  +  у ^п  = 1 имеет род больше 1.

Из-за теоремы Морделла-Вейля, теорема Фалтингсом можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой С с конечным числом образующих подгруппы Г абелева многообразия A. Обобщение путем замены A на полуабелево многообразие, C на произвольное подмногообразие в A и Γ на произвольную подгруппу конечного ранга в A приводит к гипотезе Морделла – Ланга, которая была доказана в 1995 г. МакКвилланом после работ Лорана, Рейно, Хиндри, Войта и Фалтингс.

Другое многомерное обобщение теоремы Фалтингса является Бомбьери-Lang предположения, что если X является псевдо-каноническим многообразием (т.е. многообразие общего типа) над числовым полем к, то X ( к) не Зариская плотный в X. Еще более общие предположения были высказаны Полом Войтой.

Гипотеза Морделла для функциональных полей была доказана Юрием Ивановичем Маниным и Хансом Грауэртом. В 1990 году Роберт Ф. Коулман обнаружил и исправил пробел в доказательстве Манина.

• Бомбьери, Энрико (1990). «Повторное рассмотрение гипотезы Морделла». Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci. 17 (4): 615–640. Руководство по ремонту   1093712.
• Коулман, Роберт Ф. (1990). «Доказательство Манина гипотезы Морделла над функциональными полями». L'Enseignement Mathématique. 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN   0013-8584. Руководство по ремонту   1096426. Архивировано из оригинала на 2011-10-02.
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х., ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады с конференции, состоявшейся в Университете штата Коннектикут, Сторрс, штат Коннектикут, 30 июля - 10 августа 1984 года. Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-8655-1. ISBN   0-387-96311-1. Руководство по ремонту   0861969. → Содержит английский перевод Faltings (1983)
• Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F. DOI : 10.1007 / BF01388432. Руководство по ремонту   0718935.
• Фальтингс, Герд (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. DOI : 10.1007 / BF01388572. Руководство по ремонту   0732554.
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анна. математики. 133 (3): 549–576. DOI : 10.2307 / 2944319. JSTOR   2944319. Руководство по ремонту   1109353.
• Фальтингс, Герд (1994). «Общий случай гипотезы С. Ланга». В Кристанте, Валентино; Мессинг, Уильям (ред.). Симпозиум Барсотти по алгебраической геометрии. Документы от симпозиума, состоявшегося в Абано - Терме, 24-27 июня 1991 года. Перспективы в математике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc. ISBN   0-12-197270-4. Руководство по ремонту   1307396.
• Грауэрт, Ганс (1965). "Mordells Vermutung über рациональное обоснование Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 25 (25): 131–149. DOI : 10.1007 / BF02684399. ISSN   1618-1913. Руководство по ремонту   0222087.
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия. Тексты для выпускников по математике. 201. Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1210-2. ISBN   0-387-98981-1. Руководство по ремонту   1745599. → Дает доказательство Войты теоремы Фальтингса.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. стр.  101 -122. ISBN   3-540-61223-8.
• Лоуренс, Брайан; Венкатеш, Акшай (2020). «Диофантовы проблемы и отображения p -адических периодов». Изобретать. Математика. 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721. DOI : 10.1007 / s00222-020-00966-7.
• Манин, Ю. И. (1963). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 27: 1395–1440. ISSN   0373-2436. Руководство по ремонту   0157971. (Перевод: Манин Ю. (1966). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Переводы Американского математического общества. Серия 2. 59: 189–234. Doi : 10.1090 / trans2 / 050/11. ISBN   9780821817506. ISSN   0065-9290. )
• Маккуиллан, Майкл (1995). «Пункты деления на полуабелевых многообразиях». Изобретать. Математика. 120 (1): 143–159. DOI : 10.1007 / BF01241125.
• Морделл, Луи Дж. (1922). «О рациональных решениях неопределенного уравнения третьей и четвертой степеней». Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192.
• Паршин, АН (1970). "Quelques гипотезы де конечности en géométrie diophantienne" (PDF). Actes du Congrès International des Mathématiciens. Том 1. Ницца: Готье-Виллар (опубликовано в 1971 г.). С. 467–471. Руководство по ремонту   0427323. Архивировано из оригинального (PDF) 24 сентября 2016 года. Проверено 11 июня 2016.
• Паршин, А. Н. (2001) [1994], "Гипотеза Морделла", Энциклопедия математики, EMS Press
• Паршин, АН (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I». Изв. Акад. Наук. СССР сер. Математика. 32 (5): 1191–1219. Bibcode : 1968IzMat... 2.1145P. DOI : 10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723.
• Шафаревич И. Р. (1963). «Поля алгебраических чисел». Труды Международного конгресса математиков: 163–176.
• Войта, Пол (1991). «Теорема Зигеля в компактном случае». Анна. математики. 133 (3): 509–548. DOI : 10.2307 / 2944318. JSTOR   2944318. Руководство по ремонту   1109352.