Модульная форма Зигеля

редактировать

Основной тип автоморфной формы в математике

В математике, Сигел модульные формы являются основным типом автоморфной формы. Они обобщают обычные эллиптические модульные формы, которые тесно связаны с эллиптическими кривыми. Комплексные многообразия, построенные в теории модулярных форм Зигеля, - это модульные многообразия Зигеля, которые являются основными моделями того, что пространство модулей для абелевых многообразий (с некоторой дополнительной структурой уровня ) должны быть построены как частные верхнего полупространства Зигеля, а не верхней полуплоскости посредством дискретных групп.

модульных форм Зигеля голоморфные функции на множестве симметричных матриц размером n × n с положительно определенной мнимой частью; формы должны удовлетворять условию автоморфности. Модульные формы Зигеля можно рассматривать как модульные формы с несколькими переменными, т.е. как специальные функции от нескольких комплексных переменных.

Модульные формы Зигеля впервые были исследованы Карлом Людвигом Зигелем (1939) с целью аналитического изучения квадратичных форм. В первую очередь они возникают в различных разделах теории чисел, таких как арифметическая геометрия и эллиптические когомологии. Модульные формы Зигеля также использовались в некоторых областях физики, таких как конформная теория поля и термодинамика черных дыр в теории струн.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Предварительные сведения
- 1.2 Модульная форма Siegel
2 Примеры
- 2.1 Уровень 1, малая степень
- 2.2 Уровень 1, малый вес
- 2.3 Таблица размеров пространств уровень 1 модульные формы Зигеля
3 Принцип Кохера
4 Приложения к физике
5 Ссылки

Определение

Предварительные сведения

Пусть $g, N ∈ N { \ displaystyle g, N \ in \ mathbb {N}}$ $g, N \ in {\ mathbb {N}}$ и определим

H g = {τ ∈ M g × g (C) | τ T знак равно τ, Im (τ) положительно определенный}, {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {g} = \ left \ {\ tau \ in M_ {g \ times g} (\ mathbb {C}) \ {\ big |} \ \ tau ^ {\ mathrm {T}} = \ tau, {\ textrm {Im}} (\ tau) {\ text {положительно определенный}} \ right \},}

{\ mathcal {H}} _ {g} = \ left \ {\ tau \ in M ​​_ {{g \ times g}} ({\ mathbb {C}}) \ {\ big |} \ \ tau ^ {{{\ mathrm {T}}}} = \ tau, {\ textrm {Im}} (\ tau) {\ text {положительно определенный}} \ right \},

Верхнее полупространство Зигеля. Определите симплектическую группу уровня $N {\ displaystyle N}$ $N$ , обозначенную $Γ g (N), {\ displaystyle \ Gamma _ {g} (N),}$ $\ Gamma _ {g } (N),$ при

Γ g (N) = {γ ∈ GL 2 g (Z) | γ T (0 I g - I g 0) γ знак равно (0 I g - I g 0), γ ≡ I 2 g mod N}, {\ displaystyle \ Gamma _ {g} (N) = \ left \ {\ гамма \ в GL_ {2g} (\ mathbb {Z}) \ {\ big |} \ \ gamma ^ {\ mathrm {T}} {\ begin {pmatrix} 0 I_ {g} \\ - I_ {g} 0 \ end {pmatrix}} \ gamma = {\ begin {pmatrix} 0 I_ {g} \\ - I_ {g} 0 \ end {pmatrix}}, \ \ gamma \ Equiv I_ {2g} \ mod N \ right \}, }

\ Gamma _ {g} (N) = \ left \ {\ gamma \ in GL _ {{2g}} ({\ mathbb {Z}}) \ {\ big |} \ \ gamma ^ {{{\ mathrm {T}} }} {\ begin {pmatrix} 0 I_ {g} \\ - I_ {g} 0 \ end {pmatrix}} \ gamma = {\ begin {pmatrix} 0 I_ {g} \\ - I_ {g} 0 \ end { pmatrix}}, \ \ gamma \ Equiv I _ {{2g}} \ mod N \ right \},

где $I g {\ displaystyle I_ {g}}$ $I_ {g}$ - это $g × g {\ displaystyle g \ times g}$ $g \ times g$ единичная матрица. Наконец, пусть

ρ: GL g (C) → GL (V) {\ displaystyle \ rho: {\ textrm {GL}} _ {g} (\ mathbb {C}) \ rightarrow {\ textrm {GL} } (V)}

\ rho: {\ textrm {GL}} _ {g} ({\ mathbb {C}}) \ rightarrow {\ textrm {GL}} (V)

быть рациональным представлением, где $V {\ displaystyle V}$ $V$ - конечномерное комплексное векторное пространство.

Siegel модульная форма

Дано

γ = (ABCD) {\ displaystyle \ gamma = {\ begin {pmatrix} AB \\ CD \ end {pmatrix}}}

\ gamma = {\ begin {pmatrix} AB \ CD \ end {pmatrix}}

γ ∈ Γ g (N), {\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N),}

\ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N),

определяют обозначение

(f | γ) (τ) = (ρ (C τ + D)) - 1 f (γ τ). {\ Displaystyle (е {\ большой |} \ гамма) (\ тау) = (\ ро (С \ тау + D)) ^ {- 1} е (\ гамма \ тау).}

(f {\ big |} \ gamma) (\ tau) = (\ rho (C \ tau + D)) ^ {{- 1}} f (\ gamma \ tau).

Тогда a голоморфная функция

f: H g → V {\ displaystyle f: {\ mathcal {H}} _ {g} \ rightarrow V}

f: {\ mathcal {H}} _ {g} \ rightarrow V

- модульная форма Зигеля степени $g {\ displaystyle g }$ $g$ (иногда называемый родом), вес $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и уровень $N {\ displaystyle N}$ $N$ , если

(е | γ) = е {\ displaystyle (f {\ big |} \ gamma) = f}

{\ displaystyle (f {\ big |} \ gamma) = f}

для всех $γ ∈ Γ g (N) {\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N)}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N)}$ . В случае, если $g = 1 {\ displaystyle g = 1}$ $g = 1$ , мы дополнительно требуем, чтобы $f {\ displaystyle f}$ $f$ был голоморфным «на бесконечности». Это предположение не обязательно для $g>1 {\ displaystyle g>1}$ $g>1$ из-за принципа Кохера, описанного ниже. Обозначьте пространство веса $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , градус $g {\ displaystyle g}$ $g$ и уровень $N {\ displaystyle N}$ $N$ модульные формы Зигеля на

M ρ (Γ g (N)). { \ displaystyle M _ {\ rho} (\ Gamma _ {g} (N)).}

M _ {{\ rho}} (\ Gamma _ {g} (N)).

Примеры

Некоторые методы построения модульных форм Зигеля включают:

серию Эйзенштейна
Тета-функции решеток (возможно, с плюригармоническим многочленом)
Лифт Сайто – Курокавы для степени 2
Лифт Икеда
Лифт Мияваки
Произведения модульных форм Зигеля.

Уровень 1, малая степень

Для степени 1 модульные формы Зигеля уровня 1 такие же, как модульные формы уровня 1. Кольцо таких форм представляет собой кольцо многочленов C[E4,E6] в (степени 1) Ряды Эйзенштейна E 4 и E 6.

Для степени 2 (Игуса 1962, 1967) показали, что кольцо модульных форм Зигеля уровня 1 генерируется ряды Эйзенштейна (степени 2) E 4 и E 6 и еще 3 формы весов 10, 12 и 35. Идеал отношений между ними порождается квадратом вес 35 формы минус один полином в других.

Для степени 3 Цуюмин (1986) описал кольцо модульных форм Зигеля 1 уровня, давая набор из 34 генераторов.

Для степени 4 были найдены модульные формы малых весов Зигеля 1-го уровня. Не существует куспид-форм веса 2, 4 или 6. Пространство куспид-форм веса 8 одномерно, натянуто на форму Шоттки. Пространство куспид-форм веса 10 имеет размерность 1, пространство куспид-форм веса 12 имеет размерность 2, пространство куспид-форм веса 14 имеет размерность 3, а пространство куспид-форм веса 16 имеет размерность 7 (Poor Yuen 2007) ошибка harv: нет цели: CITEREFPoorYuen2007 (help ).

Для степени 5 пространство форм куспида имеет размерность 0 для веса 10, размерность 2 для веса 12. Пространство форм веса 12 имеет размерность 5.

Для степени 6 существует не являются куспидами весов 0, 2, 4, 6, 8. Пространство модульных форм Зигеля веса 2 имеет размерность 0, а пространства весов 4 или 6 имеют размерность 1.

Уровень 1, малый вес

Для малых весов и уровня 1 Duke Imamoḡlu (1998) дает следующие результаты (для любой положительной степени):

Вес 0: пространство между формами равно 1 -размерный, охватываемый 1.
Вес 1: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Weight 2: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Weight 3: Единственной модульной формой Зигеля является 0.
Вес 4: Для любой степени пространство форм веса 4 является одномерным, охватываемым тета-функцией решетки E 8 ( соответствующей степени). Единственная форма куспида - 0.
Вес 5: Единственная модульная форма Зигеля - 0.
Вес 6: Пространство форм веса 6 имеет размерность 1, если степень не выше 8, и размерность 0, если степень не менее 9. Единственная форма куспида - 0.
Вес 7: пространство форм куспида исчезает, если степень равна 4 или 7.
Вес 8 : В роде 4 пространство куспид-форм одномерно, натянуто на форму Шоттки, а пространство форм двумерно. Формы возврата отсутствуют, если род равен 8.
Формы возврата отсутствуют, если вес рода превышает удвоенный вес.

Таблица размеров пространств модульных форм Зигеля уровня 1

В следующей таблице приведенные выше результаты объединены с информацией из Poor Yuen (2006) harvtxt error: no target: CITEREFPoorYuen2006 (help ) и Chenevier Lannes (2014) и Taïbi (2014).

Размеры пространств первого уровня куспид-форм Зигеля: модульные формы Зигеля
Вес	степень 0	степень 1	степень 2	степень 3	степень 4	степень 5	степень 6	степень 7	степень 8	степень 9	степень 10	степень 11	степень 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0 : 1	0: 1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2
10	1: 1	0: 1	1: 2	0: 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3: 6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83: 143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4: 8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486: 595
22	1: 1	1: 2	4: 6	9 : 15	38:53	186: 239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7: 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34 : 45

Принцип Кохера

Теорема, известная как принцип Кохера, утверждает, что если $f {\ displaystyle f}$ $f$ является модульной формой Зигеля с весом $ρ { \ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , уровень 1 и степень $g>1 {\ displaystyle g>1}$ $g>1$ , затем $f {\ displaystyle f}$ $f$ ограничен подмножествами $H g {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {g}}$ ${\ mathcal {H}} _ {g}$ для m

{τ ∈ H g | Im (τ)>ϵ I g}, {\ displaystyle \ left \ {\ tau \ in {\ mathcal {H}} _ {g} \ | {\ textrm {Im}} (\ tau)>\ epsilon I_ { g} \ right \},}

\left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau)>\ epsilon I_ {g} \ right \},

где $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\ epsilon>0$ . Следствием этой теоремы является тот факт, что модульные формы Зигеля степени $g>1 {\ displaystyle g>1}$ $g>1$ имеют расширения Фурье и, таким образом, голоморфны в бесконечности.

Приложения к физике 178>

В системе D1D5P суперсимметричных черных дыр в теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры, является модульной формой Зигеля. В общем, модульные формы Зигеля описываются как обладающие потенциалом для описания черных дыр или других гравитационных систем.

Модульные формы Зигеля также используются в качестве производящих функций для семейств CFT2 с увеличивающимся центральным зарядом в конформной теории поля, особенно в гипотетической Соответствие AdS / CFT.

Ссылки

^Это было доказано Максом Кохером, Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I, Mathe матиш. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Соответствующий принцип для модульных форм Гильберта был, по-видимому, известен ранее, после Фрица Гоцки, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher, Math. Аня. 100 (1928), стр. 411-37
^ Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры». Журнал физики высоких энергий. 2017 (4). arXiv : 1611.04588. doi : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057.
^Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодульные формы Зигеля и разреженность в AdS3 / CFT2». Журнал физики высоких энергий. 2018 (11). arXiv : 1805.09336. doi : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037.

Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier, arXiv : 1409.7616, Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
Duke, W.; Имамоглу, Ö. (1998), "Модульные формы Зигеля малой массы", Матем. Ann., 310 (1): 73–82, doi : 10.1007 / s002080050137, MR 1600030
Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 254. Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-68649-8, ISBN 978 -3-540-11661-5, MR 0871067
van der Geer, Gerard (2008), «Модульные формы Siegel и их приложения», Модульные формы 1-2-3, 181–245, Universitext, Berlin : Springer, pp. 181–245, arXiv : math / 0605346, doi : 10.1007 / 978-3-540-74119-0_3, ISBN 978-3-540-74117-6, MR 2409679
Игуса, Джун-ичи (1962), "О модульных формах Зигеля второго рода", Amer. J. Math., 84 (1): 175–200, doi : 10.2307 / 2372812, JSTOR 2372812, MR 0141643
Клинген, Хельмут (2003), Вводные лекции по модульным формам Зигеля, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
Сигель, Карл Людвиг (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Math. Ann., 116 : 617–657, doi : 10.1007 / bf01597381, MR 0001251
Тайби, Оливье (2014), Размеры пространств автоморфных пространств первого уровня формы для разделенных классических групп с использованием формулы следа, arXiv : 1406.4247, Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
Tsuyumine, Shigeaki (1986), «О модульных формах Зигеля третьей степени», амер. J. Math., 108 (4): 755–862, doi : 10.2307 / 2374517, JSTOR 2374517, MR 0853217

Последняя правка сделана 2021-06-08 08:13:24

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте