Несколько сложных переменных

редактировать

Функции нескольких переменных, которые являются комплексными числами

Теория функций of несколько комплексных переменных - это раздел математики, имеющий дело с комплексными функциями

f (z 1, z 2,…, zn) {\ displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n})}

f (z_1, z_2, \ ldots, z_n)

в пространстве C наборов комплексных чисел из n элементов. Как и в комплексном анализе, где n = 1, но с отдельным символом, это не просто какие-либо функции: они должны быть голоморфными или комплексный аналитический, так что локально они являются степенным рядом по переменным z i.

. Эквивалентно, как оказывается, они локально однородные пределы многочлены ; или локальные решения n-мерных уравнений Коши – Римана.

Содержание

1 Историческая перспектива
2 Голоморфные функции
3 Пример аналитического продолжения
4 C пробел
5 См. Также
6 Сноски
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Историческая перспектива

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века: абелевы функции, тета-функции и некоторые гипергеометрические ряды. Естественно, кандидатом также является любая функция одной переменной, которая зависит от некоторого сложного параметра . Однако теория на долгие годы так и не стала полноценной областью математического анализа, поскольку не были раскрыты ее характерные явления. Подготовительная теорема Вейерштрасса теперь будет классифицироваться как коммутативная алгебра ; он действительно оправдал локальную картину, разветвление, которая обращается к обобщению точек ветвления теории римановой поверхности.

С работами Фридриха Хартогса и Киёси Ока в 1930-х годах начала возникать общая теория; в то время в этом районе работали Генрих Бенке, Питер Таллен и Карл Штайн. Хартогс доказал некоторые основные результаты, например, каждая изолированная особенность устранима для любой аналитической функции

f: C n ⟶ C {\ displaystyle f: \ mathbf {C} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbf {C}}

f: \ mathbf {C} ^ n \ longrightarrow \ mathbf {C}

всякий раз, когда n>1. Естественно, с аналогами контурных интегралов будет сложнее работать: когда n = 2, интеграл, окружающий точку, должен находиться над трехмерным многообразием (поскольку мы находимся в четырех реальных измерениях), при повторении контурных (линейных) интегралов по двум отдельным комплексным переменным должен приходиться двойной интеграл по двумерной поверхности. Это означает, что исчисление остатков должно будет иметь совершенно другой характер.

После 1945 года важная работа во Франции, на семинаре Анри Картана и в Германии с Хансом Грауэртом и Рейнхольдом Реммертом, быстро изменила картина теории. Был прояснен ряд вопросов, в частности, проблема аналитического продолжения. Здесь основное различие очевидно из теории одной переменной: в то время как для любого открытого связного множества D в C мы можем найти функцию, которая нигде не будет аналитически продолжаться через границу, этого нельзя сказать для n>1.. На самом деле D такого рода имеют особый характер (состояние, называемое псевдовыпуклостью ). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна, и их природа заключалась в том, чтобы обращать в нуль группы когомологий пучков. Фактически именно необходимость (в частности) поставить работу Оки на более ясную основу, быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (с большими последствиями для алгебраической геометрии, в частное из работы Грауэрта).

С этого момента существовала основополагающая теория, которую можно было применить к аналитической геометрии (название, принятое, как ни странно, для геометрии нулей аналитических функций: это не аналитическая геометрия учился в школе), автоморфные формы нескольких переменных и уравнения в частных производных. Теория деформации сложных структур и комплексных многообразий была описана в общих чертах Кунихико Кодаира и Д. К. Спенсер. Знаменитая статья GAGA из Серра зафиксировала точку перехода от géometrie analytique к géometrie algébrique.

С. Л. Сигел жаловался, что новая теория функций нескольких комплексных переменных содержит мало функций, а это означает, что часть теории специальных функций подчинена пучкам. Интерес для теории чисел, безусловно, заключается в конкретных обобщениях модульных форм. Классическими кандидатами являются модульные формы Гильберта и модульные формы Зигеля. В наши дни они связаны с алгебраическими группами (соответственно, ограничение Вейля из поля полностью вещественных чисел в GL (2), и симплектическая группа ), для которой бывает, что автоморфные представления могут быть получены из аналитических функций. В каком-то смысле это не противоречит Зигелю; современная теория имеет свои разные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункций и теорему о крае клина, оба из которых были в некоторой степени вдохновлены квантовой теорией поля. Есть ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры, которые опираются на несколько сложных переменных.

Голоморфные функции

Функция $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ , определенная в области $U ⊂ C n {\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ $U \ subset \ mathbb {C} ^ {n}$ называется голоморфным, если $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ удовлетворяет одному из следующих условий два условия.

(i) Для каждой точки

a = (a 1,…, an) ∈ U ⊂ C n {\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in U \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in U \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}

f (z) {\ displaystyle f (z)}

f (z)

выражается как расширение степенного ряда, сходящееся на

U {\ displaystyle U}

U

е (z) = ∑ К 1,…, kn = 0 ∞ ck 1,…, kn (z 1 - a 1) k 1 ⋯ (zn - an) kn, {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k_ {1}, \ dots, k_ {n} = 0} ^ {\ infty} c_ {k_ {1}, \ dots, k_ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (z_ {n} -a_ {n}) ^ {k_ {n}} \,}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k_ {1}, \ dots, k_ {n} = 0} ^ {\ infty} c_ {k_ {1}, \ dots, k_ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (z_ {n} -a_ {n}) ^ {k_ {n}} \,}

(1)

, что явилось источником аналитических методов Вейерштрасса.

(ii) Если

f (z) {\ displaystyle f (z)}

f (z)

является непрерывным на

U {\ displaystyle U}

U

, и для каждого переменная

z λ {\ displaystyle z _ {\ lambda}}

{\ displaystyle z _ {\ lambda}}

f (z) {\ displaystyle f (z)}

f (z)

голоморфна, а именно,

∂ f ∂ z ¯ λ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} = 0}

(2)

, который является обобщением Уравнения Коши – Римана (с использованием частного производного уравнения Виртингера vative ), и берет начало в методах дифференциального уравнения Римана. (Используя теорему Хартогса о продолжении, непрерывность в (ii) не требуется.)

Для каждого индекса λ пусть

z λ = x λ + iy λ, f (z 1,…, zn) = u (x 1,…, xn, y 1,…, yn) + iv (x 1,…, xn, y 1,… yn), {\ displaystyle z _ {\ lambda} = x _ {\ lambda} + iy _ {\ lambda}, \ quad f (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) = u (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, y_ {1}, \ dots, y_ { n}) + iv (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, y_ {1}, \ dots y_ {n}),}

{\ displaystyle z _ {\ lambda} = x _ {\ lambda} + iy _ {\ lambda}, \ quad f (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) = u (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, y_ {1}, \ dots, y_ { n}) + iv (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, y_ {1}, \ dots y_ {n}),}

и обобщить обычное уравнение Коши – Римана для одной переменной для каждого индекса λ, тогда мы получаем

∂ u ∂ x λ = ∂ v ∂ y λ, ∂ u ∂ y λ = - ∂ v ∂ x λ {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x _ {\ lambda }}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y _ {\ lambda}}}, \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial u} {\ partial y _ {\ lambda}}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x _ {\ lambda}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x _ {\ lambda}}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y _ {\ lambda}}}, \ \ \ \ {\ frac {\ partial u} {\ partial y _ {\ lambda}}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x _ {\ lambda}}}}

(3)

Пусть

dz λ = dx λ + idy λ, dz ¯ λ = dx λ - idy λ ∂ ∂ z λ знак равно 1 2 (∂ ∂ x λ - я ∂ ∂ y λ), ∂ ∂ z ¯ λ = 1 2 (∂ ∂ x λ + я ∂ ∂ y λ) {\ displaystyle {\ begin {align} dz _ {\ lambda } = dx _ {\ lambda} + idy _ {\ lambda}, d {\ bar {z}} _ {\ lambda} = dx _ {\ lambda} -idy _ {\ lambda} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z _ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {2}} {\ biggl ( } {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ lambda}}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y _ {\ lambda}}} {\ biggr)}, {\ frac {\ partial } {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {2}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ lambda} }} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y _ {\ lambda}}} {\ biggr)} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} dz _ {\ lambda} = dx _ {\ lambda} + idy _ {\ lambda}, d {\ bar {z} } _ {\ lambda} = dx _ {\ lambda} -idy _ {\ lambda} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z _ {\ lambda}} } = {\ frac {1} {2}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ lambda}}} - i {\ frac {\ partial} {\ partial y _ {\ лямбда}}} {\ biggr)}, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {2}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ lambda}}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y _ {\ lambda}}} {\ biggr)} \ end {выровнено}}}

через

Re (∂ f ∂ z ¯ λ) = ∂ u ∂ x λ - ∂ v ∂ y λ = 0, Im (∂ f ∂ z ¯ λ) = ∂ u ∂ y λ + ∂ v ∂ x λ = 0 {\ displaystyle {\ text {Re}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} {\ biggr)} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x _ {\ lambda}} } - {\ frac {\ partial v} {\ partial y _ {\ lambda}}} = 0, \ \ \ \ {\ text {Im}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} {\ biggr)} = {\ frac {\ partial u} {\ partial y _ {\ lambda}}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x _ {\ lambda}}} = 0}

{\ displaystyle {\ text {Re}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda }}} {\ biggr)} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x _ {\ lambda}}} - {\ frac {\ partial v} {\ partial y _ {\ lambda}}} = 0, \ \ \ \ {\ text {Im}} {\ biggl (} {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}} _ {\ lambda}}} {\ biggr)} = {\ frac { \ partial u} {\ partial y _ {\ lambda}}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x _ {\ lambda}}} = 0}

приведенные выше уравнения (2) и (3) оказываются эквивалентными.

Чтобы показать, что два вышеуказанных условия (i) и (ii) эквивалентны, легко доказать (i) → (ii). Для доказательства (ii) → (i) используется интегральная формула Коши на n-кратном круге для нескольких комплексных переменных

f (z 1,…, zn) = (1 2 π i) n ∫ | w 1 - z 1 | = r 1 ⋯ ∫ | ш н - г н | знак равно rnf (вес 1,…, wn) (вес 1 - z 1) ⋯ (wn - zn) dw 1 ⋯ dwn {\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) = {\ biggl ( } {\ frac {1} {2 \ pi i}} {\ biggr)} ^ {n} \ int _ {| w_ {1} -z_ {1} | = r_ {1}} \ cdots \ int _ { | w_ {n} -z_ {n} | = r_ {n}} {\ frac {f (w_ {1}, \ dots, w_ {n})} {(w_ {1} -z_ {1}) \ cdots (w_ {n} -z_ {n})}} dw_ {1} \ cdots dw_ {n}}

{\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) = {\ biggl (} {\ frac {1 } {2 \ pi i}} {\ biggr)} ^ {n} \ int _ {| w_ {1} -z_ {1} | = r_ {1}} \ cdots \ int _ {| w_ {n} - z_ {n} | = r_ {n}} {\ frac {f (w_ {1}, \ dots, w_ {n})} {(w_ {1} -z_ {1}) \ cdots (w_ {n} -z_ {n})}} dw_ {1} \ cdots dw_ {n}}

(4)

, а затем оценивает коэффициенты разложения степенного ряда $ck 1, …, Kn {\ displaystyle c_ {k_ {1}, \ dots, k_ {n}}}$ $c_ {k_1, \ dots, k_n}$ в (1). Если в одном переменном случае интегральная формула Коши представляет собой интеграл по окружности диска с некоторым радиусом r, в случае нескольких переменных по поверхности многодискового с радиусами $ri {\ displaystyle r_ {i}}$ $r_ {i}$ как в (4).

Как и в случае с одной переменной, теорема тождества выполняется благодаря свойствам серии Лорана, которые справедливы в случае с несколькими переменными.

Пусть

G 1, G 2 ⊂ C {\ displaystyle G_ {1}, G_ {2} \ subset \ mathbb {C}}

G_1, G_2 \ subset \ mathbb {C}

некоторые домены,

G 1 ∩ G 2 {\ displaystyle G_ {1} \ cap G_ {2}}

G_1 \ cap G_2

connected,

f 1 {\ displaystyle f_ {1}}

f_ {1}

f 2 { \ displaystyle f_ {2}}

f_ {2}

голоморфные функции на

G 1, G 2 {\ displaystyle G_ {1}, G_ {2}}

G_ {1}, G_ {2}

соответственно и

z 0 знак равно x 0 + iy 0 ∈ G 1 ∩ G 2 {\ displaystyle z ^ {0} = x ^ {0} + iy ^ {0} \ in G_ {1} \ cap G_ {2}}

z ^ 0 = x ^ 0 + iy ^ 0 \ in G_1 \ cap G_2

Если

f 1 = f 2 {\ displaystyle f_ {1} = f_ {2}}

f_1 = f_2

на

{(z) j = 1 n | | z j - z j 0 | < r j, z 0 = ( z 0) j = 1 n, 1 ≤ j ≤ n } {\displaystyle \{(z)_{j=1}^{n}{\bigl |}|z_{j}-z_{j}^{0}|

{\ displaystyle \ {(z) _ {j = 1} ^ {n} {\ bigl |} | z_ {j} -z_ {j} ^ {0} | <r_ {j}, z ^ {0} = (z ^ { 0}) _ {j = 1} ^ {n}, 1 \ leq j \ leq n \}}

тогда существует уникальная голоморфная функция

f {\ displaystyle f}

f

на

G 1 ∪ G 2 {\ displaystyle G_ {1} \ cup G_ {2}}

G_1 \ cup G_2

так, что

f = f 1 {\ displaystyle f = f_ {1}}

f = f_1

на

G 1 {\ displaystyle G_ {1}}

G_{1}

f = f 2 {\ displaystyle f = f_ {2}}

f = f_2

на

G 2 {\ displaystyle G_ {2}}

G_ {2}

Следовательно, теорема Лиувилля для целых функций и принцип максимума для нескольких переменных. Кроме того, теорема об обратной функции и теорема о неявной функции остаются в силе, как и в случае одной переменной.

Пример аналитического продолжения

Как описано в предыдущем, есть аналогичные результаты в случае нескольких переменных как в случае одной переменной. Однако есть очень разные аспекты в нескольких переменных случаях. Например, теорема об отображении Римана, теорема Миттаг-Леффлера, теорема Вейерштрасса, теорема Рунге и т. Д. Не могут применяться к нескольким регистр переменных, как и регистр одной переменной. Следующий пример аналитического продолжения по двум переменным показывает эти различия, которые были одной из мотиваций к комплексному анализу по нескольким переменным.

В нескольких переменных аналитическое продолжение определяется так же, как и в случае одной переменной. А именно, пусть $U, V {\ displaystyle U, V}$ $U, V$ будут открытыми подмножествами в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ , $f ∈ O (U) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} (U)}$ $f \ in \ mathcal {O} (U)$ и $g ∈ O (V) {\ displaystyle g \ in {\ mathcal {O}} ( V)}$ $g \ в \ mathcal {O} (V)$ . Предположим, что $U ∩ V ≠ ∅ {\ displaystyle U \ cap V \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle U \ cap V \ neq \ varnothing}$ и $W {\ displaystyle W}$ $W$ подключен к компонент из $U ∩ V {\ displaystyle U \ cap V}$ $U \ cap V$ . Если $f | W = g | W {\ displaystyle f | _ {W} = g | _ {W}}$ $f | _W = г | _W$ , тогда $h {\ displaystyle h}$ $h$ определяется как

h (z) = {f (z) z ∈ U, g (z) z ∈ V. {\ displaystyle h (z) = {\ begin {cases} f (z) z \ in U, \\ g (z) z \ in V. \ end {cases}}}

h (z) = \ begin {cases} f (z) z \ in U, \\ g (z) z \ in V. \ end {case}

$h {\ displaystyle h}$ $h$ называется аналитическим продолжением $f {\ displaystyle f}$ $f$ или $g {\ displaystyle g}$ $g$ . Обратите внимание, что $h {\ displaystyle h}$ $h$ однозначно определяется теоремой об идентичности, но может быть многозначным.

В случае одной переменной $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , для любого открытого домена $U ⫋ C {\ displaystyle U \ varsubsetneqq \ mathbb {C}}$ $U \ varsubsetneqq \ mathbb {C}$ существует голоморфная функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ на $U {\ displaystyle U}$ $U$ , которое нельзя аналитически продолжить за пределами $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Это потому, что для любого $a ∈ ∂ U {\ displaystyle a \ in \ partial U}$ $a \ in \ partial U$ , $f = 1 z - a {\ displaystyle f = {\ frac {1} {za}}}$ $f = \ frac {1} {za}$ нельзя аналитически продолжить за пределами $a {\ textstyle a}$ ${\ textstyle a}$ . Однако в случае нескольких переменных $n ≥ 2 {\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ может оказаться, что существует открытая область строго большего размера $U ~ ⫌ U {\ displaystyle { \ widetilde {U}} \ varsupsetneqq U}$ $\ widetilde {U} \ varsupsetneqq U$ такие, что все $f ∈ O (U) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} (U)}$ $f \ in \ mathcal {O} (U)$ можно аналитически продолжить до $f ~ ∈ U ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}} \ in {\ widetilde {U}}}$ $\ tilde {f} \ in \ widetilde {U}$ . Это явление называется феноменом Хартогса.

Пространство C

Простейшее многообразие Штейна - это пространство C (комплексное n-пространство), который состоит из n- кортежей комплексных чисел. Его можно рассматривать как n- размерное векторное пространство над комплексными числами, что дает его размерность 2n над R. Следовательно, как набор и как топологическое пространство, Cидентично R, и его топологическая размерность равна 2n.

На языке без координат любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как реальное векторное пространство с удвоенной размерностью, где сложная структура задается с помощью линейный оператор J (такой, что J = -I ), который определяет умножение на мнимую единицу i.

Любое такое пространство, как реальное пространство, ориентировано. На комплексной плоскости , рассматриваемой как декартова плоскость, умножение на комплексное число w = u + iv имеет вещественную матрицу

( u - vvu), {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u -v \\ v u \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u -v \\ v u \ end {pmatrix}},}

a вещественная матрица 2 × 2 с определителем

u 2 + v 2 = | w | 2. {\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = | w | ^ {2} \,.}

u ^ 2 + v ^ 2 = | w | ^ 2 \,.

Аналогичным образом, если выразить любой конечномерный комплексный линейный оператор как вещественную матрицу (которая будет , составленный из блоков 2 × 2 вышеупомянутой формы), то его определитель равен квадрату абсолютного значения соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, которое означает, что (реальная) ориентация пространства никогда не меняется на противоположную сложным оператором. То же самое относится к якобианам голоморфных функций от C до C.

См. Также

Сноски

Ссылки

H. Бенке и П. Таллен, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen (1934)
Саломон Бохнер и В.Т. Мартин Несколько комплексных переменных (1948)
Ларс Хермандер, Введение в комплексный анализ нескольких переменных ( 1966) и более поздние издания
Стивен Г. Кранц, Теория функций нескольких комплексных переменных (1992)

Р. Майкл Рендж, Голоморфные функции и интегральные представления в нескольких комплексных переменных, Springer 1986, 1998
Фолькер Шейдеманн, Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Birkhäuser, 2005, ISBN 3- 7643-7490-X

Внешние ссылки

Вкусные биты нескольких сложных переменных книга с открытым исходным кодом Йиржи Лебля