Модульная форма Гильберта

редактировать

В математике, модульная форма Гильберта является обобщением модульных форм на функции двух или более переменных. Это (комплексная) аналитическая функция на m-кратном произведении верхних полуплоскостей $H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${ \ mathcal {H}}$ удовлетворяющие определенному виду функционального уравнения.

Содержание

1 Определение
2 История
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Пусть F будет полностью вещественное числовое поле степени m над рациональным полем. Пусть $σ 1,…, σ m {\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {m}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {m}}$ будет реальными вложениями F. Через них мы получаем отображение

GL 2 (F) → GL 2 (R) m. {\ displaystyle GL_ {2} (F) \ to GL_ {2} (\ mathbb {R}) ^ {m}.}

{\ displaystyle GL_ {2} (F) \ to GL_ {2} (\ mathbb {R}) ^ {m}.}

Пусть $OF {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {F }}$ ${\ mathcal O} _ {F}$ быть кольцом целых чисел числа F. Группа $GL 2 + (OF) {\ displaystyle GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal {O }} _ {F})}$ $GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal O} _ {F})$ называется полной гильбертовой модульной группой. Для каждого элемента $z = (z 1,…, zm) ∈ H m {\ displaystyle z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {m}) \ in {\ mathcal {H}} ^ {m }}$ ${\ displaystyle z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {m}) \ in { \ mathcal {H}} ^ {m}}$ , есть групповое действие $GL 2 + (OF) {\ displaystyle GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal {O}} _ {F})}$ $GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal O} _ {F})$ определяется по формуле $γ ⋅ Z знак равно (σ 1 (γ) z 1,…, σ m (γ) zm) {\ displaystyle \ gamma \ cdot z = (\ sigma _ {1} (\ гамма) z_ {1}, \ ldots, \ sigma _ {m} (\ gamma) z_ {m})}$ ${\ displaystyle \ gamma \ cdot z = (\ sigma _ {1} (\ gamma) z_ {1}, \ ldots, \ sigma _ {m} (\ gamma) z_ {m})}$

Для

g = (abcd) ∈ GL 2 (R), {\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end {pmatrix}} \ in GL_ {2} (\ mathbb {R}),}

{\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end {pmatrix}} \ in GL_ {2} (\ mathbb {R}),}

определить:

j (g, z) = det (g) - 1/2 (cz + d) {\ displaystyle j (g, z) = \ det (g) ^ {- 1/2} (cz + d)}

j (g, z) = \ det (g) ^ {{- 1/2 }} (cz + d)

Модульная форма Гильберта веса $( k 1,…, km) {\ displaystyle (k_ {1}, \ ldots, k_ {m})}$ ${\ displaystyle (k_ {1}, \ ldots, k_ {m})}$ - аналитическая функция на $H m {\ displaystyle {\ mathcal {H} } ^ {m}}$ ${\ mathcal {H}} ^ {m}$ так, чтобы для каждого $γ ∈ GL 2 + (OF) {\ displaystyle \ gamma \ in GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal {O}} _ {F})}$ $\ gamma \ в GL_ {2} ^ {+} ({\ mathcal O} _ {F})$

f (γ z) = ∏ i = 1 mj (σ i (γ), zi) kif (z). {\ displaystyle f (\ gamma z) = \ prod _ {i = 1} ^ {m} j (\ sigma _ {i} (\ gamma), z_ {i}) ^ {k_ {i}} f (z).}

{\ displaystyle f (\ gamma z) = \ prod _ {i = 1} ^ {m} j (\ sigma _ {i} (\ gamma), z_ {i}) ^ {k_ {i}} f (z).}

В отличие от случая модульной формы, никаких дополнительных условий для куспидов не требуется из-за принципа Кохера.

История

Эти модульные формы для вещественных квадратичных полей, впервые прошли лечение в 1901 году Геттингенском университете Habilitationssschrift of Отто Блюменталь. Там он упоминает, что Дэвид Гильберт первоначально рассматривал их в работе 1893–1894 годов, которая осталась неопубликованной. Работа Блюменталя была опубликована в 1903 году. По этой причине модульные формы Гильберта теперь часто называют модульными формами Гильберта-Блюменталя .

Теория оставалась бездействующей в течение нескольких десятилетий; Эрих Гекке обращался к нему в своей ранней работе, но большой интерес к модульным формам Гильберта ожидал развития теории комплексных многообразий.

См. Также

Ссылки

Ян Х. Брюинье: Модульные формы Гильберта и их приложения.
: Голоморфные модульные формы Гильберта. Wadsworth Brooks / Cole Advanced Books Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
Эберхард Фрейтаг : Модульные формы Гильберта. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5