Эллиптическая когомология

редактировать

В математике, эллиптические когомологии - это теория когомологий в смысле алгебраической топологии. Это связано с эллиптическими кривыми и модульными формами.

История и мотивация

Исторически эллиптические когомологии возникли в результате изучения эллиптических родов. Атья и Хирцебрух знали, что если $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ действует гладко и нетривиально на спиновом многообразии, то индекс оператора Дирака исчезает. В 1983 г. Виттен предположил, что в этой ситуации эквивариантный индекс некоторого скрученного оператора Дирака по крайней мере постоянен. Это привело к некоторым другим проблемам, касающимся $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ -действий на многообразиях, которые могли быть решены Оханиным путем введения эллиптических родов. В свою очередь Виттен связал их с (гипотетической) теорией индекса в пространствах свободных петель. Эллиптические когомологии, изобретенные в своей первоначальной форме Ландвебером, Стонгом и Равенелем в конце 1980-х годов, были введены для прояснения некоторых проблем с эллиптическими родами и обеспечения контекста для (гипотетической) теории индекса семейств дифференциальных операторов на свободные пространства петель. В некотором смысле это можно рассматривать как приближение к K-теории пространства свободных петель.

Определения и конструкции

Теория когомологий $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ даже периодической, если $A i = 0 { \ displaystyle A ^ {i} = 0}$ $A ^ {i} = 0$ для нечетного i и существует обратимый элемент $u ∈ A 2 {\ displaystyle u \ in A ^ {2}}$ $u \ in A ^ {2}$ . Эти теории обладают сложной ориентацией, что дает формальный групповой закон. Особенно богатым источником формальных групповых законов являются эллиптические кривые. Теория когомологий A с

A 0 = R {\ displaystyle A ^ {0} = R}

A ^ {0} = R

называется эллиптической, если она даже периодична и ее формальный групповой закон изоморфен формальному групповому закону эллиптической кривой. E над R. Обычная конструкция таких теорий эллиптических когомологий использует теорему Ландвебера о точных функторах. Если формальный групповой закон E точен по Ландвеберу, можно определить эллиптическую теорию когомологий (на конечных комплексах) следующим образом:

A ∗ (X) = M U ∗ (X) ⊗ M U ∗ R [u, u - 1]. {\ displaystyle A ^ {*} (X) = MU ^ {*} (X) \ otimes _ {MU ^ {*}} R [u, u ^ {- 1}]. \,}

A ^ {*} (X) = MU ^ {*} (X) \ otimes _ {{MU ^ {*}}} R [u, u ^ {{ -1}}]. \,

У Франке есть определили условие, необходимое для выполнения точности Ландвебера:

R должен быть плоским по $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$
Не существует неприводимого компонента X в $Spec R / p R { \ displaystyle {\ text {Spec}} R / pR}$ ${\ text {Spec}} R / pR$ , где волокно $E x {\ displaystyle E_ {x}}$ $E_x$ является суперсингулярным для каждого $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$

Эти условия можно проверить во многих случаях, связанных с эллиптическими родами. Более того, условия выполняются в универсальном случае в том смысле, что отображение из стека модулей эллиптических кривых в стек модулей формальных групп

M 1, 1 → M fg { \ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1} \ to {\ mathcal {M}} _ {fg}}

{\ mathcal {M}} _ {{1,1}} \ to {\ mathcal {M}} _ {{fg}}

является плоским. Это дает тогда предпучок теорий когомологий на участке аффинных схем, плоских над набором модулей эллиптических кривых. Стремление получить универсальную эллиптическую теорию когомологий, взяв глобальные сечения, привело к построению топологических модулярных форм.

Ссылки

Franke, Jens (1992), "On the construction of elliptic cohomology", Mathematische Nachrichten, 158 (1): 43–65, doi : 10.1002 / mana.19921580104.
Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптические роды: вводный обзор», в Ландвебере, П.С. (ред.), Эллиптические кривые и модульные формы в алгебраической топологии, Конспекты лекций по математике, 1326, Берлин: Springer, стр. 1–10, ISBN 3-540-19490-8.
Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптические когомологии и модульные формы», в Ландвебере, П.С. (ред.), Эллиптические кривые и Модульные формы в алгебраической топологии, Конспекты лекций по математике, 1326, Берлин: Springer, стр. 55–68, ISBN 3-540-19490-8.
Landweber, PS; Равенел Д. и Стонг Р. (1995), "Периодические теории когомологий, определяемые эллиптическими кривыми", в Cenkl, M. Miller, H. (eds.), The Čech Centennial 1993, Contemp. Math., 181, Boston: Amer. Математика. Soc., Стр. 317–338, ISBN 0-8218-0296-8.
Лурье, Джейкоб (2009), «Обзор эллиптических когомологий», в Баас, Нильс; Фридлендер, Эрик М.; Ярен, Бьорн; и другие. (ред.), Алгебраическая топология: Симпозиум Абеля 2007, Берлин: Springer, стр. 219–277, doi : 10.1007 / 978-3-642-01200-6, hdl : 2158/373831, ISBN 978-3-642-01199-3.