Схема (математика)

В математике схема - это математическая структура, которая расширяет понятие алгебраического разнообразия несколькими способами, например, принимая во внимание кратности (уравнения x = 0 и x = 0 определяют одно и то же алгебраическое многообразие и разные схемы) и допускают определение "разновидностей" над любым коммутативным кольцом (например, кривые Ферма определены над целыми числами ).

Схемы были введены Александром Гротендиком в 1960 году в его трактате «Éléments de géométrie algébrique »; одной из его целей было развитие формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраической геометрии, таких как гипотезы Вейля (последняя из которых была доказана Пьером Делинем ). Теория схем, сильно основанная на коммутативной алгебре, позволяет систематически использовать методы топологии и гомологической алгебры. Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теории чисел, что в конечном итоге привело к доказательству Уайлса Великой теоремы Ферма.

Формально схема - это топологическое пространство вместе с коммутативных колец для всех его открытых множеств, который возникает в результате склеивания спектров (пространств простых идеалов ) коммутативных колец вдоль их открытых подмножеств. Другими словами, это окольцованное пространство, которое локально является спектром коммутативного кольца.

Относительная точка зрения состоит в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма X → Y схем (называемого схемой X над Y), скорее чем по индивидуальной схеме. Например, при изучении алгебраических поверхностей может быть полезно рассмотреть семейства алгебраических поверхностей над любой схемой Y. Во многих случаях семейство всех многообразий данного типа может само по себе рассматриваться как многообразие или схема, известная как пространство модулей.

Некоторые подробные определения в теории схем см. в глоссарии теории схем.

Содержание

• 1 Разработка
• 2 Происхождение схем
• 3 Определение
• 4 Категория схем
• 5 Примеры
  • 5.1 Примеры морфизмов
  • 5.2 Арифметические поверхности
• 6 Обоснование схем
• 7 Когерентные пучки
• 8 Обобщения
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Развитие

Истоки алгебраической геометрии в основном лежат в изучении полиномиальных уравнений над действительными числами. К 19 веку стало ясно (особенно в работах Жана-Виктора Понселе и Бернхарда Римана ), что алгебраическая геометрия была упрощена за счет работы над областью комплексных чисел, которое имеет то преимущество, что является алгебраически замкнутым. В начале 20 века постепенно привлекли внимание два вопроса, мотивированные проблемами теории чисел: как можно разработать алгебраическую геометрию над любым алгебраически замкнутым полем, особенно в положительной характеристике ? (Инструменты топологии и комплексного анализа, используемые для изучения сложных многообразий, похоже, здесь не применимы.) А как насчет алгебраической геометрии над произвольным полем?

Nullstellensatz Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k: максимальные идеалы в кольце многочленов k [x 1,..., x n ] находятся во взаимно однозначном соответствии с набором k наборов из n элементов k, а простые идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множества в k, известные как аффинные многообразия. Руководствуясь этими идеями, Эмми Нётер и Вольфганг Крулл разработали предмет коммутативной алгебры в 1920-х и 1930-х годах. Их работа обобщает алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении: вместо изучения первичных идеалов в кольце многочленов можно изучать первичные идеалы в любом коммутативном кольце. Например, Крулл определил размерность любого коммутативного кольца в терминах простых идеалов. По крайней мере, когда кольцо нётеро, он доказал многие свойства, которые можно было бы получить от геометрического понятия размерности.

Коммутативную алгебру Нётер и Крулля можно рассматривать как алгебраический подход к аффинным алгебраическим многообразиям. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии лучше работают для проективных многообразий, в основном потому, что проективные многообразия компактны. С 1920-х по 1940-е гг. Б. Л. ван дер Варден, Андре Вейль и Оскар Зариски применили коммутативную алгебру как новую основу для алгебраической геометрии в более богатой обстановке проективной (или квазипроективной ) разновидностей. В частности, топология Зарисского является полезной топологией на многообразии над любым алгебраически замкнутым полем, в некоторой степени заменяющей классическую топологию на комплексном многообразии (основанном на топологии комплексных чисел).

Для приложений к теории чисел ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль был первым, кто определил абстрактное многообразие (не вложенное в проективное пространство ), склеивая аффинные многообразия вдоль открытых подмножеств на модели многообразий в топологии. Эта общность понадобилась ему для построения якобиева многообразия кривой над любым полем. (Позже Вейл, Чоу и Мацусака показал, что якобианы являются проективными разновидностями.)

Алгебраические геометры итальянской школы имели часто использовал несколько туманную концепцию общей точки алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно для «большинства» точек этого разнообразия. В «Основах алгебраической геометрии» Вейля (1946) общие точки строятся путем взятия точек в очень большом алгебраически замкнутом поле, называемом универсальной областью. Хотя это работало в качестве основы, это было неудобно: для одного и того же сорта было много разных общих точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.)

В 1950-х годах Клод Шевалле, Масаёши Нагата и Жан -Пьер Серр, частично мотивированный гипотезами Вейля, связывающими теорию чисел и алгебраическую геометрию, далее расширил объекты алгебраической геометрии, например, путем обобщения разрешенных базовых колец. Слово «схема» впервые было использовано на семинаре Шевалле 1956 года, на котором Шевалле продолжал развивать идеи Зарисского. Согласно Пьеру Картье, именно Андре Мартино предложил Серру возможность использования спектра произвольного коммутативного кольца в качестве основы алгебраической геометрии.

Происхождение схем

Затем Гротендик дал решающее определение схемы, завершив серию экспериментальных предложений и частичных разработок. Он определил спектр X коммутативного кольца R как пространство простых идеалов кольца R с естественной топологией (известной как топология Зарисского), но дополненной это с пучком колец: каждому открытому подмножеству U он назначил коммутативное кольцо O X (U). Эти объекты Spec (R) являются аффинными схемами; тогда общая схема получается путем «склейки» аффинных схем.

Большая часть алгебраической геометрии сосредоточена на проективных или квазипроективных многообразиях над полем k; фактически, k часто принимают за комплексные числа. Схемы такого рода очень особенные по сравнению с произвольными схемами; сравните приведенные ниже примеры. Тем не менее удобно, что Гротендик разработал обширную теорию для произвольных схем. Например, обычно пространство модулей сначала строят как схему, а только потом изучают, является ли это более конкретным объектом, таким как проективное многообразие. Кроме того, приложения к теории чисел быстро приводят к схемам над целыми числами, которые не определены ни над каким полем.

Определение

аффинная схема - это локально окольцованное пространство, изоморфное спектру Spec (R) коммутативного кольцо R. Схема - это локально окольцованное пространство X, допускающее покрытие открытыми множествами U i, такое что каждое U i (как локально окольцованное пространство) это аффинная схема. В частности, X поставляется с пучком O X, который присваивает каждому открытому подмножеству U коммутативное кольцо O X (U), называемое кольцом регулярных функций на U. Можно представить себе схему как покрытую «координатными картами», которые являются аффинными схемами. Определение в точности означает, что схемы получаются склейкой аффинных схем с использованием топологии Зарисского.

Раньше это называлось предварительной схемой, а схема была определена как разделенная предварительная схема. Термин «precheme» вышел из употребления, но его все еще можно найти в более старых книгах, таких как «Éléments de géométrie algébrique» Гротендика и «Красная книга» Мамфорда. Пример аффинной схемы - аффинное n-пространство над полем k для натурального числа n. По определению A. k- это спектр кольца k [x 1,..., x n ] полиномиального кольца. В духе теории схем аффинное n-пространство фактически может быть определено над любым коммутативным кольцом R, что означает Spec (R [x 1,..., x n ]).

Категория схем

Схемы образуют категорию с морфизмами, определенными как морфизмы локально окольцованных пространств. (См. Также: морфизм схем.) Для схемы Y схема X над Y означает морфизм X → Y схем. Схема X над коммутативным кольцом R означает морфизм X → Spec (R).

Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с некоторыми свойствами. Существуют разные соглашения о том, какие именно схемы следует называть разновидностями. Один стандартный выбор состоит в том, что разнообразие над k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k.

Морфизм f: X → Y схем определяет гомоморфизм обратных связей на кольцах регулярных функций, f *: O (Y) → O (X). В случае аффинных схем эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между морфизмами схем Spec (A) → Spec (B) и гомоморфизмами колец B → A. В этом смысле теория схем полностью включает теорию коммутативных колец..

Поскольку Z является начальным объектом в категории коммутативных колец, категория схем имеет Spec (Z ) как терминальный объект.

Для схемы X над коммутативным кольцом R точка R- X означает участок морфизма X → Spec ( Р). Один записывает X (R) для множества R-точек X. В примерах это определение восстанавливает старое понятие множества решений определяющих уравнений X со значениями в R. Когда R - поле k, X ( k) также называется набором k- рациональных точек X.

В более общем смысле, для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R- алгебры S, S- точка точки X означает морфизм Spec (S) → X над R. Один пишет X (S) для множества S-точек X. (Это обобщает старое наблюдение, что для некоторых уравнений над полем k можно рассматривать множество решений уравнений в любом расширении поля E поля k.) Для схемы X над R назначение S ↦ X (S) является функтор из коммутативных R-алгебр в множества. Важно отметить, что схема X над R определяется этим функтором точек.

Послойное произведение схем всегда существует. То есть для любых схем X и Z с морфизмами в схему Y расслоенное произведение X × Y Z (в смысле теории категорий ) существует в категории схем. Если X и Z являются схемами над полем k, их послойное произведение над Spec (k) можно назвать продуктом X × Z в категории k-схем. Например, произведение аффинных пространств A и A над k является аффинным пространством A над k.

Поскольку категория схем включает продукты волокна, а также оконечный объект Spec (Z ), у нее есть все конечные пределы.

Примеры

• Каждая аффинная схема Spec ( R) - это схема. (Здесь и далее все рассматриваемые кольца коммутативны.)
• Многочлен f над полем k, f ∈ k [x 1,..., x n ], определяет замкнутую подсхему f = 0 в аффинном пространстве A над k, называемую аффинной гиперповерхностью. Формально его можно определить как

$Spec\; \; k\; [x\; 1,\dots ,\; x\; n]\; /\; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\; /\; (f).\}$

Например, принимая k в качестве комплексных чисел, уравнение x = y (y +1) определяет особую кривую в аффинной плоскости A. C, называемую узловой кубической кривой.

• Для любого коммутативного кольца R и натурального числа n проективное пространство P. Rможет быть построено как схема путем склейки n + 1 копии аффинного n-пространства над R по открытым подмножествам Это фундаментальный пример, который побуждает выйти за рамки аффинных схем. Ключевым преимуществом проективного пространства над аффинным является то, что P. Rявляется правильным над R; это алгебро-геометрическая версия компактности. Связанное наблюдение состоит в том, что комплексное проективное пространство CPявляется компактным пространством в классической топологии (на основе топологии C ), тогда как C не является (для n>0).
• A однородный многочлен f положительной степени в кольце многочленов R [x 0,..., x n ] определяет замкнутую подсхему f = 0 в проективном пространстве P над R, называемом проективной гиперповерхностью. В терминах конструкции Proj эта подсхема может быть записана как

$Proj\; \; R\; [x\; 0,\dots ,\; x\; n]\; /\; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Proj\}\; R\; [x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\; /\; (f).\}$

Например, закрытая подсхема x + y = z в P. Qявляется эллиптическая кривая над рациональными числами.

• Линия с двумя началами (над полем k) - это схема, определяемая началом с двух копий аффинной линии над k, и склеивание двух открытых подмножеств A - 0 тождественным отображением. Это простой пример неразрывной схемы. В частности, это не аффинно.
• Простая причина выйти за рамки аффинных схем состоит в том, что открытое подмножество аффинной схемы не обязательно должно быть аффинным. Например, пусть X = A - 0, скажем, над комплексными числами C ; то X не аффинно для n ≥ 2. (Ограничение на n необходимо: аффинная прямая без начала координат изоморфна аффинной схеме Spec (C [x, x].) Чтобы показать, что X не аффинно, вычисляется, что каждая регулярная функция на X продолжается до регулярной функции на A, когда n ≥ 2. (Это аналогично лемме Хартогса в комплексном анализе, хотя ее легче доказать.), включение f: X → A индуцирует изоморфизм из O (A) = C[x1,...., x n ] в O (X). Если бы X было аффинным, из этого следовало бы, что f был изоморфизмом. Но f не сюръективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Следовательно, схема X не аффинна.
• Пусть k - поле. Тогда схема $Spec\; \; (\prod \; n\; =\; 1\; \infty \; к)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\; \backslash \; right)\}$- аффинная схема, базовое топологическое пространство которой Компактификация Стоуна – Чеха натуральных чисел (с дискретной топологией). Фактически, первичные идеалы этого кольца лежат в одно- однозначное соответствие с ультрафильтрами на положительных целых числах, с идеальным $\prod \; m\; \ne \; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{m\; \backslash \; neq\; n\}\; k\}$соответствующий главному ультрафильтру, связанному с положительным целым числом n. Это топологическое пространство нульмерно, и, в частности, каждая точка является неприводимым компонентом. Поскольку аффинные схемы квазикомпактны, это пример квазикомпактной схемы с бесконечным числом неприводимых компонентов. (Напротив, нётерова схема имеет только конечное число неприводимых компонентов.)

Примеры морфизмов

Также полезно рассматривать примеры морфизмов в качестве примеров схем, поскольку они демонстрируют их техническая эффективность для инкапсуляции многих объектов изучения алгебраической и арифметической геометрии.

Арифметические поверхности

Если мы рассмотрим многочлен $f\; \in \; Z\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x,\; y]\}$тогда аффинная схема $X\; =\; Spec\; (Z\; [x,\; y]\; /\; (f))\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x,\; y]\; /\; (\; f))\}$имеет канонический морфизм на $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$и называется Арифметической поверхностью. Волокна $Икс\; p\; =\; X\; \times \; Spec\; (Z)\; Spec\; (F\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{p\}\; =\; X\; \backslash \; times\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\})\}$тогда являются алгебраическими кривыми над конечными полями $F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{p\}\}$. Если $f\; (x,\; y)\; =\; y\; 2\; -\; x\; 3\; +\; ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; y\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{3\}\; +\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}$- это Эллиптическая кривая, тогда слои над ее дискриминантным геометрическим местом, порожденные $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}$где

$\Delta \; f\; =\; -\; 4\; a\; 3\; c\; +\; a\; 2\; b\; 2\; +\; 18\; abc\; -\; 4\; b\; 3\; -\; 27\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\; =\; -\; 4a\; ^\; \{3\}\; c\; +\; a\; ^\; \{\; 2\}\; b\; ^\; \{2\}\; +\; 18abc-4b\; ^\; \{3\}\; -27c\; ^\; \{2\}\}$

- все это особые схемы. Например, если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- простое число и

$X\; =\; Spec\; (Z\; [x,\; y]\; (y\; 2\; -\; x\; 3\; -\; p))\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x,\; y]\}\; \{(y\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{3\}\; -p)\}\}\; \backslash \; right)\}$

, то его дискриминант равен $-\; 27\; p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -27p\; ^\; \{2\}\}$. В частности, эта кривая сингулярна для простых чисел $3,\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; 3,\; p\}$.

Мотивация для схем

Вот некоторые из способов, которыми схемы выходят за рамки старых представлений о алгебраические многообразия и их значение.

• Расширения полей. Имея некоторые полиномиальные уравнения от n переменных над полем k, можно изучить множество X (k) решений уравнений в множестве произведений k. Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то можно основывать алгебраическую геометрию на множествах, таких как X (k): определить топологию Зарисского на X (k), рассмотреть полиномиальные отображения между различными наборами этого типа, и так далее. Но если k не алгебраически замкнуто, то множество X (k) недостаточно богато. В самом деле, можно изучать решения X (E) данных уравнений в любом расширении E поля k, но эти множества не определяются X (k) в каком-либо разумном смысле. Например, плоская кривая X над действительными числами, определенными как x + y = −1, имеет X (R ) пустым, но X (C ) не пустым. (Фактически, X (C ) можно отождествить с C - 0.) Напротив, схема X над полем k имеет достаточно информации для определения множества X (E) E-рациональных точек для любого поля E расширения k. (В частности, замкнутая подсхема A. R, определенная как x + y = −1, является непустым топологическим пространством.)

• Общая точка. Точки аффинной прямой A. C, как схема, являются его комплексными точками (по одной для каждого комплексного числа) вместе с одной общей точкой (замыкание которой является всей схемой). Общая точка - это образ естественного морфизма Spec (C (x)) → A. C, где C (x) - поле рациональных функций в одной переменной. Чтобы понять, почему полезно иметь фактическую «общую точку» в схеме, рассмотрим следующий пример.

• Пусть X будет плоской кривой y = x (x − 1) (x − 5) над комплексными числами. Это закрытая подсхема A. C. Его можно рассматривать как разветвленное двойное покрытие аффинной линии A. Cпри проецировании на координату x. Слой морфизма X → A над общей точкой A является в точности общей точкой X, что дает морфизм

$Spec\; \; C\; (x)\; (x\; (x\; -\; 1)\; (x\; -\; 5))\; \to \; Spec\; \; С\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (x)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\; (x-1)\; (x-5)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\; \}\; (x).\}$

Это, в свою очередь, эквивалентно степени -2 расширения полей

$C\; (x)\; \subset \; C\; (x)\; (x\; (x\; -\; 1)\; (x\; -\; 5)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (x)\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (x)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\; (x-1)\; (x-5)\}\}\; \backslash \; right).\}$

Таким образом, имеющая реальную общую точку многообразия дает геометрическую связь между морфизмом степени 2 алгебраических многообразий и соответствующим расширением степени 2 функциональных полей . Это обобщает связь между фундаментальной группой (которая классифицирует покрывающие пространства в топологии) и группой Галуа (которая классифицирует определенные расширения поля ). Действительно, теория Гротендика этальной фундаментальной группы рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на одном уровне.

• Нильпотентные элементы . Пусть X - замкнутая подсхема аффинной прямой A. C, определяемой x = 0, иногда называемой жирной точкой . Кольцо регулярных функций на X есть C [x] / (x); в частности, регулярная функция x на X нильпотентна, но не равна нулю. Чтобы указать значение этой схемы: две регулярные функции на аффинной строке имеют одинаковое ограничение на X тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и первую производную в начале координат. Разрешение таких не- сокращенных схем переносит идеи исчисления и бесконечно малых в алгебраическую геометрию.

• Для более сложного примера, можно описать все нульмерные замкнутые подсхемы степени 2 в гладком комплексном многообразии Y. Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y, либо из подсхемы, изоморфной X = Spec C [x] / (x) как в предыдущем абзаце. Подсхемы последнего типа определяются комплексной точкой y на Y вместе с линией в касательном пространстве TyY. Это еще раз указывает на то, что нередуцированные подсхемы имеют геометрическое значение, связанное с производными и касательными векторами.

Когерентные пучки

Центральной частью теории схем является понятие когерентных пучков, обобщающих понятие (алгебраических) векторных расслоений. Для схемы X мы начинаем с рассмотрения абелевой категории OX-модулей, которые представляют собой пучки абелевых групп на X, которые образуют модуль над пучок регулярных функций O X. В частности, модуль M над коммутативным кольцом R определяет ассоциированный OX-модуль ~ M на X = Spec (R). квазикогерентный пучок на схеме X означает O X -модуль, который является связкой, связанной с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X. Наконец,, когерентный пучок (скажем, на нётеровой схеме X) - это O X -модуль, который является связкой, связанной с конечно порожденным модулем на каждой аффинной открытое подмножество X.

Когерентные пучки включают важный класс векторных пучков, которые являются пучками, которые локально происходят из конечно сгенерированных свободных модулей. Примером может служить касательное расслоение гладкого многообразия над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутой подсхеме Y схемы X можно рассматривать как когерентный пучок на X, который равен нулю вне Y (по конструкции прямого изображения ). Таким образом, когерентные пучки на схеме X включают информацию обо всех замкнутых подсхемах схемы X. Более того, когомологии пучков имеют хорошие свойства для когерентных (и квазикогерентных) пучков. Полученная в результате теория когомологий когерентных пучков, возможно, является основным техническим инструментом в алгебраической геометрии.

Обобщения

Схема, рассматриваемая как ее функтор точек, представляет собой функтор, который пучок множеств для топологии Зарисского в категории коммутативных колец, который локально в топологии Зарисского является аффинной схемой. Это можно обобщить по-разному. Один из них - использовать этальную топологию . Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, который является пучком в этальной топологии и который локально в этальной топологии является аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство является фактором схемы по отношению этальной эквивалентности. Мощный результат, дает простые условия для представления функтора алгебраическим пространством.

Дальнейшим обобщением является идея стека. Грубо говоря, алгебраические стеки обобщают алгебраические пространства, имея алгебраическую группу, присоединенную к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любое действие алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X определяет фактор-стек [X / G], который запоминает стабилизатор подгруппы для действия G. В более общем смысле, пространства модулей в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стеки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов.

Гротендик изначально представил стеки как инструмент теории спуска. В этой формулировке стеки представляют собой (неформально говоря) пучки категорий. Исходя из этого общего понятия, Артин определил более узкий класс алгебраических стеков (или «стеков Артина»), которые можно рассматривать как геометрические объекты. К ним относятся стеки Делиня – Мамфорда (аналогичные орбифолдам в топологии), для которых группы стабилизаторов конечны, и алгебраические пространства, для которых группы стабилизаторов тривиальны. Теорема Киля-Мори говорит, что алгебраический стек с конечными группами стабилизаторов имеет грубое пространство модулей, которое является алгебраическим пространством.

Другой тип обобщения - это обогащение структурного пучка, приближающее алгебраическую геометрию к теории гомотопии. В этом случае, известном как производная алгебраическая геометрия или «спектральная алгебраическая геометрия», структурный пучок заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком E-бесконечности кольцевые спектры ). Эти пучки допускают алгебраические операции, которые ассоциативны и коммутативны только с точностью до отношения эквивалентности. Факторизация по этому отношению эквивалентности дает структурный пучок обычной схемы. Однако отказ от частного приводит к теории, которая может запоминать более высокую информацию, точно так же, как производные функторы в гомологической алгебре дают более высокую информацию об операциях, таких как тензорное произведение и Функтор Hom на модулях.

См. Также

• Плоский морфизм, Гладкий морфизм, Собственный морфизм, Конечный морфизм, Этальский морфизм
• Стабильная кривая
• Бирациональная геометрия
• Этальная когомология, группа Чоу, теория Ходжа
• Групповая схема, Абелева многообразие, Линейная алгебраическая группа, Редуктивная группа
• Модули алгебраических кривых
• Схемы склеивания

Примечания

Литература

• Арапура, Дону (2011), "Фробениус амплитуда, ультрапроизведения и исчезновение в особых пространствах », Illinois Journal of Mathematics, 55 (4): 1367–1384, doi : 10.1215 / ijm / 1373636688, MR 3082873
• Картье, Пьер (2001), «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция представлений о пространстве и симметрии», Бюллетень Американского математического общества, 38( 4): 389–408, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00913-2, MR 1848254
• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии, Пыги стоит, ISBN 978-0-534-03723-9, MR 0780183
• Дэвид Эйзенбуд ; Джо Харрис (1998). Геометрия схем. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi : 10.1007 / bf02684778. MR 0217083.
• Робин Хартсхорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850284-5. MR 1917232.
• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах. Конспект лекций по математике. 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. MR 1748380.
• Вистоли, Анджело (2005), «Топологии Гротендика, слоистые категории и теория спуска», Фундаментальная алгебраическая геометрия, Провиденс, RI: Американское математическое общество, стр. 1–104, arXiv : math / 0412512, Bibcode : 2004math..... 12512V, MR 2223406

Внешние ссылки

• Дэвид Мамфорд, Можно ли объяснить схемы биологам?
• Авторы проекта Stacks, Проект Stacks
• https: // quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - раздел комментариев содержит интересное обсуждение теории схем (включая сообщения от Теренса Тао ).