Разнообразие (универсальная алгебра)

В универсальной алгебре, разнообразие алгебр или эквациональный класс - это класс всех алгебраических структур данной сигнатуры, удовлетворяющей заданному набору идентичностей. Например, группы образуют множество алгебр, как и абелевы группы, кольца, моноиды и т. Д. Согласно теореме Биркгофа, класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямые) товары. В контексте теории категорий множество алгебр вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию ; их обычно называют финитарными алгебраическими категориями.

Ковмногообразие - это класс всех коалгебраических структур данной сигнатуры.

• 1 Терминология
• 2 Определение
• 3 Примеры
• 4 Теорема Биркгофа
• 5 Подмногообразия
• 6 Свободные объекты
• 7 Теория категорий
• 8 Псевдомногообразие конечных алгебр
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Внешние ссылки

Не следует путать разнообразие алгебр с алгебраическим разнообразием, что означает набор решений системы полиномиальных уравнений. Формально они совершенно разные, и их теории имеют мало общего.

Термин «многообразие алгебр» относится к алгебрам в общем смысле универсальной алгебры ; существует также более конкретный смысл алгебры, а именно как алгебра над полем, то есть векторное пространство, снабженное билинейным умножением.

Подпись (в данном контексте) - это набор, элементы которого называются операциями, каждой из которых присваивается натуральное число (0, 1, 2,...) называется его арностью. Для данной сигнатуры $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$и набора $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, элементы которого называются переменными, слово является конечным плоским корневое дерево, в котором каждый узел помечен либо переменной, либо операцией, так что каждый узел, помеченный переменной, не имеет ответвлений от корня, и каждый узел помечен операцией $o\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$имеет столько же ветвей от корня, сколько арность $o\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$. Эквациональный закон - это пара таких слов; запишем аксиому, состоящую из слов $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$и $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$как $v\; =\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; w\}$.

Теория - это сигнатура, набор переменных и набор эквациональных законов. Любая теория дает следующее разнообразие алгебр. Учитывая теорию $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, алгебра $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$состоит из набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$вместе с, для каждой операции $o\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$из $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$с арностью $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$, функция $o\; A:\; A\; n\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; o\_\; \{A\}\; \backslash \; двоеточие\; A\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; A\}$такая, что для каждая аксиома $v\; =\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; w\}$и каждое присвоение элементов $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$переменным в этой аксиоме, выполняется уравнение, которое задается применением операций к элементам $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, как показано деревьями, определяющими $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$и $ш\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. Мы называем класс алгебр данной теории $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$разнообразием алгебр.

Однако в конечном итоге более важным, чем этот класс алгебр, является категория алгебр и гомоморфизмов между ними. Даны две алгебры теории $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, скажем $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, гомоморфизм - это функция $f:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; B\}$такая, что

$f\; (o\; A\; (a\; 1,\dots ,\; ан))\; знак\; равно\; о\; В\; (е\; (а\; 1),\dots ,\; е\; (ан))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (o\_\; \{A\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\}))\; =\; o\_\; \{B\}\; (\; f\; (a\_\; \{1\}),\; \backslash \; dots,\; f\; (a\_\; \{n\}))\}$

для каждой операции $o\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$с арностью $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Любая теория дает категорию, в которой объекты являются алгебрами этой теории, а морфизмы - гомоморфизмами.

Класс всех полугрупп образует множество алгебр сигнатуры (2), что означает, что полугруппа имеет одну бинарную операцию. Достаточным определяющим уравнением является ассоциативный закон:

$x\; (y\; z)\; =\; (x\; y)\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (yz)\; =\; (xy)\; z.\}$

Класс групп образует множество алгебр сигнатуры (2,0,1), три операции - соответственно умножение (двоичное), тождество (нулевой, константа) и инверсия (унарный). Знакомые аксиомы ассоциативности, тождества и инверсии образуют один подходящий набор тождеств:

$x\; (yz)\; =\; (xy)\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (yz)\; =\; (xy)\; z\}$

$1\; x\; =\; x\; 1\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 1x\; =\; x1\; =\; x\}$

$xx\; -\; 1\; =\; x\; -\; 1\; x\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; xx\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; x\; =\; 1.\}$

Класс из колец также образует множество алгебр. Подпись здесь (2,2,0,0,1) (две бинарные операции, две константы и одна унарная операция).

Если мы зафиксируем конкретное кольцо R, мы можем рассмотреть класс левых R-модулей. Чтобы выразить скалярное умножение с элементами из R, нам нужна одна унарная операция для каждого элемента R. Если кольцо бесконечно, у нас, таким образом, будет бесконечно много операций, что разрешено определением алгебраической структуры в универсальной алгебре. Тогда нам также понадобится бесконечно много тождеств, чтобы выразить аксиомы модуля, что допускается определением множества алгебр. Таким образом, левые R-модули действительно образуют множество алгебр.

Поля не образуют разновидности алгебр; требование, чтобы все ненулевые элементы были обратимыми, не может быть выражено как универсально удовлетворяемое тождество.

Полугруппы сокращений также не образуют множества алгебр, поскольку свойство сокращения не является уравнением, это импликация, не эквивалентная какой-либо системе уравнений. Однако они действительно образуют квазимногообразие, поскольку импликация, определяющая свойство отмены, является примером квази-тождества.

Данного класса алгебраических структур той же сигнатуры, мы можем определить понятия гомоморфизма, подалгебры и произведения. Гаррет Биркгоф доказал, что класс алгебраических структур одной сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и произвольных произведений. Это результат фундаментальной важности для универсальной алгебры, известный как теорема Биркгофа или теорема HSP. H, S и P обозначают, соответственно, операции гомоморфизма, подалгебры и произведения.

Класс алгебр, удовлетворяющих некоторому набору тождеств, будет закрыт при операциях HSP. Доказать обратное - классы алгебр, замкнутые относительно операций HSP, должны быть эквациональными - сложнее.

Используя теорему Биркгофа, мы можем, например, проверить сделанное выше утверждение, что аксиомы поля не выражаются никаким возможным набором тождеств: произведение полей не является полем, поэтому поля не образуют разновидности.

Подмногообразие многообразия алгебр V - это подкласс алгебры V, имеющий ту же сигнатуру, что и V, и сам является многообразием, т. Е. Определяется набором тождеств.

Обратите внимание, что хотя каждая группа становится полугруппой, когда тождество как константа опущено (и / или обратная операция опущена), класс групп не образует подмногообразие множества полугрупп, потому что сигнатуры разные. Точно так же класс полугрупп, которые являются группами, не является подмногообразием многообразия полугрупп. Класс моноидов, являющихся группами, содержит $⟨Z,\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; +\; \backslash \; rangle\}$и не содержит его подалгебру (точнее, подмоноид) $⟨N,\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; +\; \backslash \; rangle\}$.

Однако класс абелевых групп является подмногообразием множества групп, поскольку он состоит из те группы, которые удовлетворяют $xy\; =\; yx,\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; =\; yx,\}$без изменения подписи. Конечно порожденные абелевы группы не образуют подмногообразия, поскольку по теореме Биркгофа они не образуют многообразия, так как произвольное произведение конечно порожденных абелевых групп не является конечно порожденным.

Рассматривая многообразие V и его гомоморфизмы как категорию, подмногообразие U в V является полной подкатегорией в V, что означает, что для любых объектов a, b в U, гомоморфизмы из a в b в U - это в точности гомоморфизмы из a в b в V.

Предположим, что V - нетривиальное многообразие алгебр, т.е. V содержит алгебры с более одного элемента. Можно показать, что для любого множества S многообразие V содержит свободную алгебру F S на S. Это означает, что существует инъективное отображение множества i: S → F S, удовлетворяющее следующее универсальное свойство : для любой алгебры A в V и любого отображения k: S → A существует единственный V-гомоморфизм f: F S → A такой, что $е\; \circ \; я\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; i\; =\; k\}$.

Это обобщает понятия свободной группы, свободной абелевой группы, свободной алгебры, бесплатный модуль и т. Д. Отсюда следует, что любая алгебра в многообразии является гомоморфным образом свободной алгебры.

Если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$является конечной алгебраической категорией (т. Е. Категорией множества алгебр с гомоморфизмами как морфизмами) то забывчивый функтор

$G:\; V\; \to \; S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; двоеточие\; V\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$

имеет сопряженный слева $F:\; S\; et\; \to \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; \backslash \; to\; V\}$, а именно функтор, который присваивает каждому множеству свободную алгебру на этом множестве. Это присоединение строго монадическое, поскольку категория $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$изоморфна категории Эйленберга – Мура $S\; et\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{T\}\}$для монады $T\; =\; GF\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; GF\}$.

монады $T:\; S\; et\; \to \; S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$, таким образом, достаточно, чтобы восстановить конечную алгебраическую категорию, что позволяет сделать следующее обобщение. Говорят, что категория является алгебраической, если она монадическая над $S\; e\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. Это более общее понятие, чем «финитарная алгебраическая категория», потому что оно допускает такие категории, как CABA (полные атомные булевы алгебры) и CSLat (полные полурешетки), сигнатуры которых включают бесконечные операции. В этих двух случаях сигнатура велика, что означает, что она образует не набор, а правильный класс, поскольку его операции имеют неограниченную арность. Алгебраическая категория сигма-алгебр также имеет бесконечные операции, но их количество счетно, поэтому сигма-сигма мала (образует множество).

Каждая финитарная алгебраическая категория является локально представимой категорией.

Поскольку многообразия замкнуты относительно произвольных прямых произведений, все нетривиальные многообразия содержат бесконечные алгебры. Были предприняты попытки разработать конечный аналог теории многообразий. Это привело, например, к понятию многообразия конечных полугрупп. В этой разновидности используются только финишные продукты. Однако он использует более общий вид идентичностей.

Псевдомногообразие обычно определяется как класс алгебр данной сигнатуры, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и конечных прямых произведений. Не каждый автор предполагает, что все алгебры псевдомногообразия конечны; если это так, то иногда говорят о множестве конечных алгебр. Для псевдомногообразий не существует общего финитарного аналога теоремы Биркгофа, но во многих случаях введение более сложного понятия уравнений позволяет получить аналогичные результаты.

Псевдомногообразия особенно важны при изучении конечных полугруппы и, следовательно, в теории формального языка., часто называемая теоремой о многообразии, описывает естественное соответствие между разновидностями регулярных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп.

• Квазимногообразие

Две монографии, доступные бесплатно в Интернете:

• Стэнли Н. Беррис и Х.П. Санкаппанавар (1981), Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. [Доказательство теоремы Биркгофа находится в II §11.]
• Питер Джипсен и Генри Роуз (1992), Разновидности решеток, Конспекты лекций по математике 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8.