Z-группа

В математике, особенно в области алгебры, известной как теория групп, термин Z-группа относится к ряду различных типов групп :

• в исследовании конечных групп, a Z-группа - это конечная группа, все силовские подгруппы которой все циклические.
• при изучении бесконечных групп, Z-группа - это группа, которая обладает очень общей формой центральной серии.
• при изучении упорядоченных групп, Z-группы или $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$-group - дискретно упорядоченная абелева группа, фактор которой по минимальной выпуклой подгруппе делится. Такие группы элементарно эквивалентны целым числам . Z-группы являются альтернативным представлением арифметики Пресбургера.
• иногда, (Z) -группа используется для обозначения группы Цассенхауза, особого типа группы перестановок.

• 1 Группы, силовские подгруппы которых циклические
• 2 Группа с обобщенным центральным рядом
• 3 Специальные 2-транзитивные группы
• 4 Ссылки

Использование: (Suzuki 1955), (Bender Glauberman 1994, p. 2), MR 0409648, (Wonenburger 1976), (elik 1976)

В исследовании конечных групп, Z-группа - это конечная группа, все силовские подгруппы которой являются циклическими. Z происходит как от немецкого Zyklische, так и из их классификации в (Zassenhaus 1935). Во многих стандартных учебниках эти группы не имеют специального названия, кроме метациклических групп, но этот термин часто используется в более общем смысле. у. См. метациклическая группа для получения дополнительной информации об общем современном определении, которое включает нециклические p-группы ; см. (Hall, Jr. 1959, Th. 9.4.3) для более строгого, классического определения, более тесно связанного с Z-группами.

Каждая группа, силовские подгруппы которой являются циклическими, сама является метациклической, поэтому сверхразрешима. Фактически, такая группа имеет циклическую производную подгруппу с циклическим максимальным абелевым фактором. Такая группа имеет представление (Холл, мл. 1959, Th. 9.4.3):

$G\; (m,\; n,\; r)\; =\; ⟨a,\; b\; |\; am\; =\; bn\; =\; 1,\; bab\; -\; 1\; =\; ar⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (m,\; n,\; r)\; =\; \backslash \; langle\; a,\; b\; |\; a\; ^\; \{m\}\; =\; b\; ^\; \{n\}\; =\; 1,\; bab\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; a\; ^\; \{r\}\; \backslash \; rangle\}$, где mn - порядок G (m, n, r), наибольший общий делитель, gcd ((r-1) n, m) = 1 и r ≡ 1 (mod m).

Теория характеров Z-групп хорошо изучена (Çelik 1976), так как они мономиальные группы.

Производная длина Z-группы не превосходит 2, поэтому Z-групп может быть недостаточно для некоторых целей. Обобщением, принадлежащим Холлу, являются A-группы, группы с абелевыми силовскими подгруппами. Эти группы ведут себя аналогично Z-группам, но могут иметь произвольно большую производную длину (Холл 1940). Другое обобщение, связанное с (Suzuki 1955), обеспечивает большую гибкость силовской 2-подгруппе, включая диэдральные и обобщенные группы кватернионов.

Использование: (Робинсон 1996), (Курош 1960)

Определение центральной серии, используемое для Z-группы, носит несколько технический характер. A серия группы G - это набор S подгрупп группы G, линейно упорядоченных по включению, такой, что для любого g в G подгруппы A g = ∩ {N in S: g in N } и B g = ∪ {N в S: g не в N} оба принадлежат S. A (обобщенный) центральный ряд группы G - это такой ряд, что каждое N в S нормальна в G и такая, что для каждого g в G фактор-группа A g/Bgсодержится в центре G / B g. A Z -группа - это группа с такой (обобщенный) центральный ряд. Примеры включают гиперцентральные группы, трансфинитные верхние центральные ряды которых образуют такой центральный ряд, а также гипоцентральные группы, чьи t рансфинитные нижние центральные ряды образуют такой центральный ряд (Робинсон 1996).

Использование: (Suzuki 1961)

A (Z) -группа - это группа, точно представленная как дважды транзитивная группа перестановок в которой ни один неединичный элемент фиксирует более двух точек. (ZT) -группа - это (Z) -группа нечетной степени, а не группа Фробениуса, что является группой Цассенхауза нечетной степени, также известной как одна из групп PSL (2,2) или Sz (2), для любого положительного целого числа (Suzuki 1961).

• Бендер, Хельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ теоремы о нечетном порядке, Лекция Лондонского математического общества Note Series, 188, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, MR 1311244
• elik, Özdem (1976), «О таблице характеров Z-групп», Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen: 75–77, ISSN 0373-8221, MR 0470050
• Hall, Jr., Marshall (1959), Theory of Groups, New York: Macmillan, MR 0103215
• Hall, Ph. ilip (1940), «Построение растворимых групп», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 182 : 206–214, ISSN 0075-4102, MR 0002877
• Курош А.Г. (1960), Теория групп, Нью-Йорк: Челси, MR 0109842
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк. York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
• Suzuki, Michio (1955), «О конечных группах с циклическими Силовские подгруппы для всех нечетных простых чисел ", American Journal of Mathematics, 77(4): 657–691, doi : 10.2307 / 2372591, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372591, MR 0074411
• Судзуки, Мичио (1961), «Конечные группы с нильпотентными централизаторами», Труды Американского математического общества, 99(3): 425–470, doi : 10.2307 / 1993556, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993556, MR 0131459
• Воненбургер, Мария Дж. (1976), «Обобщение Z-групп», Журнал алгебры, 38 (2): 274–279, doi : 10.1016 / 0021-8693 (76) 90219-2, ISSN 0021-8693, MR 0393229
• Zassenhaus, Hans (1935), «Über endliche Fastkörper», Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург (на немецком языке), 11 : 187–220, doi :10.1007/BF02940723