Теорема Фейта – Томпсона

редактировать

В математике используется теорема Фейта – Томпсона или Теорема нечетного порядка утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка является разрешимой. Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон (1962, 1963).

Содержание

  • 1 История
  • 2 Значение доказательства
  • 3 Пересмотр доказательства
  • 4 Схема доказательства
    • 4.1 Шаг 1. Локальный анализ структуры группы G
    • 4.2 Шаг 2. Теория персонажей G
    • 4.3 Шаг 3. Последнее противоречие
  • 5 Использование странностей
  • 6 Ссылки

История

Контраст между группами нечетных и четный порядок неизбежно предполагает, что простых групп нечетного порядка не существует.

Уильям Бернсайд (1911, стр. 503, примечание M)

Уильям Бернсайд (1911, стр. 503 примечание M) предположил, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. Ричард Брауэр (1957) предложил использовать централизаторы инволюций простых групп в качестве основы для классификации конечных простых групп, поскольку теорема Брауэра – Фаулера показывает, что существует только конечное число конечных простых групп с данным централизатором инволюции. Группа нечетного порядка не имеет инволюций, поэтому для выполнения программы Брауэра необходимо прежде всего показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечетного порядка. Это эквивалентно показу того, что группы нечетного порядка разрешимы, что и доказали Фейт и Томпсон.

Атака на гипотезу Бернсайда была начата Мичио Судзуки (1957), который изучал CAгруппы ; это группы, в которых Cэнтрализатор каждого нетривиального элемента является Aбелианским. В своей новаторской статье он показал, что все CA-группы нечетного порядка разрешимы. (Позже он классифицировал все простые CA-группы и, в более общем смысле, все простые группы, так что централизатор любой инволюции имеет нормальную 2- силовскую подгруппу, обнаружив пропущенное семейство простых групп лиева типа в процессе, которые теперь называются группами Сузуки.)

Фейт, Маршалл Холл и Томпсон (1960) расширили Работа Сузуки семье CNгрупп ; это группы, в которых энтрализатор C любого нетривиального элемента является Nилпотентным. Они показали, что всякая CN-группа нечетного порядка разрешима. Их доказательство аналогично доказательству Сузуки. В нем было около 17 страниц, что в то время считалось очень большим объемом для доказательства в теории групп.

Теорема Фейта – Томпсона может рассматриваться как следующий шаг в этом процессе: они показывают, что не существует нециклической простой группы нечетного порядка такой, что каждая собственная подгруппа разрешима. Это доказывает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример должен быть такой простой группой, что каждая собственная подгруппа разрешима. Хотя доказательство следует той же общей схеме, что и теорема CA и теорема CN, детали гораздо сложнее. Итоговая статья - 255 страниц.

Значение доказательства

Теорема Фейта – Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с использованием централизаторов инволюций возможна, поскольку каждая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие методы, которые они использовали в своих доказательствах, особенно идея локального анализа, были развиты в инструменты, используемые при классификации. Возможно, самым революционным аспектом доказательства была его длина: до статьи Фейта – Томпсона немногие аргументы в теории групп были длиннее нескольких страниц, и большинство из них можно было прочитать за день. Как только теоретики групп поняли, что такие длинные аргументы могут работать, начали появляться серии статей объемом в несколько сотен страниц. Некоторые из них затмевали даже работу Фейта – Томпсона; статья Майкла Ашбахера и Стивена Д. Смита о квазитиновых группах насчитывала 1221 страницу.

Пересмотр доказательства

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта – Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле локальны; глобальная структура аргумента осталась прежней, но некоторые детали аргументов были упрощены.

Упрощенное доказательство было опубликовано в двух книгах: (Bender Glauberman 1995) harv error: no target: CITEREFBenderGlauberman1995 (help ), которая охватывает все, кроме теория персонажей и (Петерфальви 2000, часть I), которая охватывает теорию персонажей. Это исправленное доказательство по-прежнему очень сложно и длиннее, чем исходное доказательство, но написано в более неторопливом стиле.

Полностью формальное доказательство, проверенное с помощью Coq помощника по доказательству, было объявлено в сентябре 2012 года Жоржем Гонтье и другими исследователями в Microsoft Research и INRIA.

Схема доказательства

Вместо непосредственного описания теоремы Фейта – Томпсона проще описать теорему Судзуки СА, а затем прокомментировать некоторые из расширения, необходимые для CN-теорем и теорем о нечетном порядке. Доказательство можно разбить на три этапа. Пусть G - неабелева (минимальная) простая группа нечетного порядка, удовлетворяющая условию CA. Для более подробного изложения статьи нечетного порядка см. Thompson (1963) или (Gorenstein 1980) или Glauberman (1999).

Шаг 1. Локальный анализ структура группы G

Это легко в случае CA, потому что отношение «a коммутирует с b» является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы разбиваются на классы эквивалентности, так что каждый класс эквивалентности является набором неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказываются в точности максимальными собственными подгруппами группы G. Эти нормализаторы являются группами Фробениуса, теория характеров которых достаточно прозрачна и хорошо подходит для манипуляций, включающих индукцию характера. Кроме того, множество простых делителей | G | разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов сопряженности максимальных абелевых подгрупп группы | G |. Этот образец разбиения простых делителей | G | согласно классам сопряженности некоторых холловых подгрупп (холлова подгруппа - это та, чей порядок и индекс взаимно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам G (с точностью до сопряженности), повторяется в как доказательство CN-теоремы Фейта – Холла – Томпсона, так и доказательство теоремы Фейта – Томпсона о нечетном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную холлову подгруппу M σ с нормализатором, содержащимся в M, порядок которой делится на некоторые простые числа, образующие множество σ (M). Две максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда множества σ (M) одинаковы, а если они не сопряжены, то множества σ (M) не пересекаются. Каждое простое число, делящее порядок группы G, входит в некоторое множество σ (M). Таким образом, простые числа, делящие порядок группы G, разбиваются на классы эквивалентности, соответствующие классам сопряженности максимальных подгрупп. Доказательство CN-случая уже значительно сложнее, чем CA-случая: основная дополнительная проблема состоит в том, чтобы доказать, что две разные силовские подгруппы пересекаются в тождестве. Эта часть доказательства теоремы о нечетном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевым шагом является доказательство теоремы единственности Томпсона, согласно которой абелевы подгруппы нормального ранга не менее 3 содержатся в единственной максимальной подгруппе, что означает, что простые числа p, для которых силовские p-подгруппы имеют нормальный ранг не более 2 нужно рассматривать отдельно. Позже Бендер упростил доказательство теоремы единственности, используя метод Бендера. В то время как в случае CN результирующие максимальные подгруппы M по-прежнему являются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, которые встречаются при доказательстве теоремы о нечетном порядке, больше не нуждаются в этой структуре, и анализ их структуры и взаимодействия дает 5 возможных типов максимальных подгрупп, называемых типами I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I относятся к «типу Фробениуса», небольшому обобщению группы Фробениуса, и на самом деле позже в доказательстве показано, что они являются группами Фробениуса. Они имеют структуру M F ⋊U, где M F - наибольшая нормальная нильпотентная холлова подгруппа, а U имеет подгруппу U 0 с тем же показателем, такую ​​что M F⋊U0- группа Фробениуса с ядром M F. Типы II, III, IV, V - это трехступенчатая группа со структурой M F ⋊U⋊W 1, где M F ⋊U - производная подгруппа группы M. Подразделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:

  • Тип II: U нетривиально абелева и его нормализатор не содержится в M.
  • Тип III: U нетривиально абелев, и его нормализатор содержится в M.
  • Тип IV: U неабелев.
  • Тип V: U тривиален.

Все классы максимальных подгрупп, кроме двух, относятся к типу I, но могут быть также два дополнительных класса максимальных подгрупп: один типа II и один типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характеров группы G

Если X - неприводимый характер нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A CA-группы G, не содержащий A в своем ядре, мы можем индуцировать X в характер Y группы G, которая не обязательно неприводима. Из-за известной структуры G легко найти символьные значения Y на всех, кроме элемента идентичности G. Это означает, что если X 1 и X 2 равны двум такие неприводимые символы H и Y 1 и Y 2 являются соответствующими индуцированными символами, тогда Y 1 - Y 2 полностью определено, и вычисление его нормы показывает, что это разница двух неприводимых символов G (они иногда называются исключительными символами G относительно H). Подсчет аргументов показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер группы G возникает ровно один раз как исключительный характер, связанный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы группы G. Аналогичный аргумент (но с заменой абелевых холловых подгрупп нильпотентными холловыми подгруппами) работает в доказательстве CN-теоремы. Однако в доказательстве теоремы о нечетном порядке аргументы для построения характеров G из символов подгрупп гораздо более деликатны и используют изометрию Дейда между кольцами символов, а не индукцию символов, так как максимальная подгруппы имеют более сложную структуру и менее прозрачны. Теория исключительных символов заменяется теорией связного набора символов для расширения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория утверждает, что изометрия Дейда может быть расширена, если участвующие группы не имеют определенной точной структуры. Петерфальви (2000) описал упрощенную версию теории персонажей, созданную Дейдом, Сибли и Петерфальви.

Шаг 3. Последнее противоречие

На шаге 2 у нас есть полное и точное описание таблицы символов группы CA G. Исходя из этого и используя того факта, что G имеет нечетный порядок, имеется достаточно информации для получения оценок для | G | и пришли к противоречию с предположением, что G проста. Эта часть аргумента работает аналогично в случае CN-группы.

Однако в доказательстве теоремы Фейта – Томпсона этот шаг (как обычно) значительно сложнее. Теория характеров исключает только некоторые из возможных конфигураций, оставшихся после шага 1. Сначала они показывают, что все максимальные подгруппы типа I являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы относятся к типу I, то рассуждение, аналогичное случаю CN, показывает, что группа G не может быть минимальной простой группой нечетного порядка, поэтому существует ровно два класса максимальных подгрупп типов II, III, IV или V. Большинство В остальной части доказательства теперь основное внимание уделяется этим двум типам максимальной подгруппы S и T и связи между ними. Более теоретико-характерные аргументы показывают, что они не могут быть типа IV или V. Две подгруппы имеют точную структуру: подгруппа S имеет порядок p × q × (p – 1) / (p – 1) и состоит из всех автоморфизмов. основного множества конечного поля порядка p вида x → ax + b, где a имеет норму 1, а σ - автоморфизм конечного поля, где p и q - различные простые числа. Максимальная подгруппа T имеет аналогичную структуру с обратными p и q. Подгруппы S и T тесно связаны. Взяв p>q, можно показать, что циклическая подгруппа в S порядка (p – 1) / (p – 1) сопряжена с подгруппой циклической подгруппы в T порядка (q – 1) / (q – 1)). (В частности, первое число делит второе, поэтому, если гипотеза Фейта – Томпсона верна, она будет утверждать, что этого не может произойти, и это может быть использовано для завершения доказательства на этом этапе. Гипотеза однако все еще не доказано.)

Вывод из применения теории характеров к группе G состоит в том, что G имеет следующую структуру: существуют простые числа p>q такие, что (p – 1) / (p – 1) взаимно проста с p – 1 и G имеет подгруппу, заданную полупрямым произведением PU, где P - аддитивная группа конечного поля порядка p, а U - ее элементы нормы 1. Кроме того, G имеет абелеву подгруппу Q порядка, простого с p содержащий элемент y такой, что P 0 нормализует Q и (P 0) нормализует U, где P 0 - аддитивная группа конечного поля порядка p. (Для p = 2 аналогичная конфигурация встречается в группе SL 2 (2), где PU - борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц, а Q - подгруппа порядка 3, порожденная y = (0 1 1 1) {\ displaystyle \ scriptstyle y = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 1 \\ 1 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}{\ displaystyle \ scriptstyle y = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 1 \\ 1 1 \ end {smallmatrix}} \ right)} .) Чтобы исключить этот последний случай, Томпсон использовал устрашающе сложные манипуляции с генераторами и отношениями, которые позже были упрощены Петерфальви (1984), аргумент которого воспроизводится в (Bender Glauberman 1994). Доказательство исследует набор элементов a в конечном поле порядка p, таких что a и 2 – a имеют норму 1. Сначала проверяется, что в этом наборе есть хотя бы один элемент, отличный от 1. Затем довольно сложное рассуждение с использованием генераторов и отношений в группе G показывает, что множество замкнуто относительно взятия обратных. Если a входит в набор и не равно 1, то многочлен N ((1 – a) x + 1) –1 имеет степень q и имеет не менее p различных корней, заданных элементами x в Fp, используя факт что x → 1 / (2 – x) отображает множество в себя, поэтому p≤q, что противоречит предположению p>q.

Использование нечетности

Тот факт, что порядок группы G нечетный, используется в нескольких местах доказательства, как показано ниже (Thompson 1963).

  • Теорема Холла – Хигмана более точна для групп нечетного порядка.
  • Для групп нечетного порядка все неглавные символы встречаются в комплексно сопряженных парах.
  • Некоторые результаты о p-группах верны только для нечетных простых чисел p.
  • Если группа нечетного порядка не имеет элементарных абелевых подгрупп ранга 3, то ее производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметрической группы S 4 четного порядка.)
  • Некоторые аргументы, связанные с теорией характеров, не подходят для малых простых чисел, особенно для простого 2.

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-20 13:06:33
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте