Квадратная мозаика | |
---|---|
. | |
Тип | Обычная мозаика |
Конфигурация вершин | 4.4.4.4 (или 4). |
Конфигурация граней | V4.4.4.4 (или V4) |
символ Шлефли (s) | {4,4}. {∞} × {∞} |
Символ (ы) Витоффа | 4 | 2 4 |
диаграмма (-ы) Кокстера | . . . . . |
Симметрия | p4m, [4,4], (* 442) |
Вращательная симметрия | p4, [4,4], (442) |
Двойной | самодвойственный |
Свойства | Вершинно-транзитивный, реберный переход, грань-транзитивный |
В геометрии, квадратная мозаика, квадратная мозаика или квадратная сетка - это регулярная мозаика евклидовой плоскости. Он имеет символ Шлефли из {4,4}, что означает, что он имеет 4 квадрата вокруг каждой вершины.
Конвей назвал его кадриль .
Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, поэтому четыре квадрата в точке составляют полные 360 градусов. Это одно из трех правильных мозаик плоскости. Два других - это треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.
Есть 9 различных равномерные раскраски квадратной плитки. Назовите цвета индексами на 4 квадратах вокруг вершины: 1111, 1112 (i), 1112 (ii), 1122, 1123 (i), 1123 (ii), 1212, 1213, 1234. (i) случаи имеют простое отражение симметрия, и (ii) симметрия скользящего отражения. Три могут быть видны в той же области симметрии, что и уменьшенные цвета: 1112 i из 1213, 1123 i из 1234 и 1112 ii уменьшено с 1123 ii.
9 однородных расцветок | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1111 | 1212 | 1213 | 1112 i | 1122 | |||||||
p4m (* 442) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | |||||||||
1234 | 1123 i | 1123 ii | 1112 ii | ||||||||
pmm (* 2222) | cmm (2 * 22) |
Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4, p}, p = 3,4,5...
* n42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n} [
| |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Паракомпактная | ||||||||
. {4,3}. | . {4,4}. | . {4,5}. | . {4,6}. | . {4,7}. | . {4,8}.... | . {4, ∞}. |
Эта мозаика также топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с Символ Шлефли {n, 4} и диаграмму Кокстера , где n стремится к бесконечности.
* n42 мутации симметрии регулярных мозаик: {n, 4} [ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
сферические | евклидовы | гиперболические мозаики | |||||
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... ∞ |
* n42 мутации симметрии квазирегулярных двойные мозаики: V (4.n) | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия. * 4n2. [n, 4] | Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Паракомпактная | Некомпактный | ||||||
* 342. [3,4] | * 442. [4,4] | * 542. [5,4] | * 642. [6,4] | * 742. [7,4] | * 842. [8,4]... | * ∞42. [∞, 4] | . [iπ / λ, 4] | ||||
Мозаика.. Конф. | . V4.3.4.3 | . V4.4.4. 4 | . V4.5.4.5 | . V4.6.4.6 | . V4.7.4.7 | . V4.8.4.8 | . V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ |
* мутация симметрии n42 расширенных мозаик: n.4.4.4 [
| |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия. [n, 4], (* n42) | Сферическая | Евклидова | Компактный гиперболический | Паракомп. | |||||||
* 342. [3,4] | * 442. [4,4] | * 542. [5,4] | * 642. [6,4] | * 742. [7,4] | * 842. [8,4] | * ∞42. [∞, 4] | |||||
Расширенные. цифры | |||||||||||
Конфигурация | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Ромбические. цифры. конфигурация | . V3.4.4.4 | . V4.4.4.4 | . V5.4.4.4 | . V6.4.4.4 | . V7.4.4.4 | . V8.4.4.4 | . V∞.4.4.4 |
Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильных квадратных мозаиках.
Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, все 8 форм различны. Однако, если рассматривать грани одинаково, существует только три топологически различных формы: квадратная мозаика, усеченная квадратная мозаика, плоская квадратная мозаика.
Однородные мозаики, основанные на симметрии квадратной мозаики [
| |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,4], (* 442) | [4,4], (442) | [4,4], (4 * 2) | |||||||||
{4,4} | t {4,4} | r {4,4} | t {4,4} | {4,4} | rr {4,4} | tr {4,4} | sr {4,4} | s {4,4} | |||
Uniform duals | |||||||||||
V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 |
Могут быть созданы другие четырехугольники, которые топологически эквивалентны квадратному замощению (4 квадрата вокруг каждой вершины).
2-изоэдральная вариация с ромбическими гранямиИзоэдральные мозаики имеют идентичные грани (гранная транзитивность ) и вершинная транзитивность, существует 18 вариаций, 6 из которых обозначены как треугольники, которые не соединяются между собой, или четырехугольник с двумя коллинеарными краями. Данная симметрия предполагает, что все грани одного цвета.
Квадрат. p4m, (* 442) | Четырехугольник. p4g, (4 * 2) | Прямоугольник. pmm, (* 2222) | Параллелограмм. p2, (2222) | Параллелограмм. pmg, (22 *) | Ромб. см, (2 * 22) | Ромб. pmg, (22 *) |
---|---|---|---|---|---|---|
Трапеция. см, (2 * 22) | Четырехугольник. pgg, (22 ×) | Воздушный змей. pmg, (22 *) | Четырехугольник. pgg, (22 ×) | Четырехугольник. p2, (2222) |
Равнобедренный. pmg, (22 *) | Равнобедренный. pgg, (22 ×) | Скален. pgg, (22 ×) | Скален. p2, (2222) |
---|
Можно использовать квадратную мозаику как упаковка кругов, помещая круги равного диаметра в центре каждой точки. Каждый круг находится в контакте с 4 другими кругами в упаковке (число поцелуев ). Плотность упаковки π / 4 = 78,54% покрытия. Имеется 4 однородных раскраски упаковок кругов.
Есть 3 правильных комплексных апейрогонов, разделяющих вершины квадратной мозаики. Регулярные сложные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Регулярные апейрогоны p {q} r ограничены: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин r-угольные.
Самодвойственный | Двойные | |
---|---|---|
4 {4} 4 или | 2 {8} 4 или | 4 {8} 2 или |
На Викискладе есть материалы, относящиеся к Порядку- 4 квадратная мозаика. |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
/ / | ||||||
{3} | δ3 | hδ3 | qδ3 | Гексагональный | ||
{3} | δ4 | hδ4 | qδ4 | |||
{3} | δ5 | hδ5 | qδ5 | 24-элементный сотовый | ||
{3} | δ6 | hδ6 | qδ6 | |||
{3} | δ7 | hδ7 | qδ7 | 222 | ||
{3} | δ8 | hδ8 | qδ8 | 133 • 331 | ||
{3} | δ9 | hδ9 | qδ9 | 152 • 251 • 521 | ||
{3} | δ10 | hδ10 | qδ10 | |||
{3} | δn | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k21 |