Список евклидовых мозаичных плиток

Список статей в Википедии Пример равномерных плиток в Археологическом музее Севильи, Севилья, Испания : ромбитригексагональная мозаика

В этой таблице показаны 11 выпуклых однородных мозаик (регулярных и полуправильных) евклидовой плоскости и их двойственные мозаики.

На плоскости есть три правильных и восемь полурегулярных мозаик. Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из неправильных граней одного типа.

Джон Конвей называет эти однородные двойственные каталонскими мозаиками, параллельно каталонским твердым многогранникам.

Равномерные мозаики перечислены по их конфигурации вершин, последовательности граней, которые существуют в каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника на вершине.

Эти 11 однородных мозаик имеют 32 различных одинаковых окраски. Равномерная раскраска позволяет по-разному раскрашивать многоугольники с одинаковыми сторонами в вершине, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационную конгруэнтность между вершинами. (Примечание: некоторые изображения мозаики, показанные ниже, неоднородны по цвету)

В дополнение к 11 выпуклым однородным мозаикам существует также 14 невыпуклых мозаик, использующих звездчатые многоугольники и конфигурации вершин обратной ориентации.

• 1 Мостики Лавеса
• 2 Выпуклые равномерные мозаики евклидовой плоскости
  • 2.1 Семейство групп [4,4]
  • 2.2 Семейство групп [6,3]
  • 2.3 Не - Равномерная мозаика Витоффа
  • 2.4 Однородные раскраски
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература
• 6 Внешние ссылки

В книге 1987 года Тайлинги and Patterns, Бранко Грюнбаум называет однородные по вершинам мозаики Архимедовыми параллельно Архимедовым телам. Их двойные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса. Их также называют плитками Шубникова – Лавеса в честь. Джон Конвей называл однородные двойственные каталонские плитки параллельно каталонским твердым телам многогранники.

У мозаик Лавеса есть вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, которые имеют общее ребро. плитки плиток Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 правильных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. Вокруг каждой вершины равномерно расположены ребра. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами.

Эти двойные мозаики перечислены по их конфигурации граней, количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами с восемью треугольниками. Ориентация вершинных планигонов (до D12 ) согласуется с диаграммами вершин в следующих разделах.

Одиннадцать планигонов

Треугольники				Четырехугольники			Пятиугольники			Шестиугольник
. V6.	. V4.8.	. V4.6.12.	. V3.12	. V4.	. V (3.6).	. V3.4.6.4.	. V3.4.3.4.	. V3.6.	. V3.4.	. V3.

Все отражательные формы могут быть выполнены с помощью конструкций Витхоффа, представленных символами Витоффа, или диаграммами Кокстера-Дынкина, каждая из которых работает с одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3,3), с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3 ] или [3]. Альтернативные формы, такие как пренебрежение, также могут быть представлены в виде специальных разметок в каждой системе. Только одно однородное мозаичное покрытие не может быть построено с помощью процесса Уайтхоффа, но может быть выполнено путем удлинения треугольного мозаичного изображения. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞, 2, ∞], которая рассматривается как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эта симметрия может быть увеличена диагональным зеркалом до семейства [4,4].

Семейства:

• (4,4,2), $BC\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{BC\}\}\; \_\; \{2\}\}$, [4, 4] - Симметрия правильной квадратной мозаики
  • $I\; ~\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}$, [∞, 2, ∞]
• (6,3,2), $G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$, [6,3] - симметрия правильная шестиугольная мозаика и треугольная мозаика.
  • (3,3,3), $A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$, [3]

Семейство групп [4,4]

Однородные мозаики. (Платоновы и Архимедовы)	Вершинная фигура и двойная грань. символ Витхоффа (s). Группа симметрии. Диаграмма Кокстера (s)	Двойные -однородные мозаики. (называемые мозаиками Лавеса или каталонскими мозаиками)
. Квадратные мозаики (кадриль)	. 4.4.4.4 (или 4). 4 | 2 4. p4m, [4,4], (* 442). . . . . .	. самодвойственный (кадриль)
. Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль)	. 4.8.8. 2 | 4 4. 4 4 2 |. p4m, [4,4], (* 442). . или	. квадратная мозаика тетракиса (кисвадриль)
. курносый квадратная мозаика (курносая кадриль)	. 3.3.4.3.4. | 4 4 2. p4g, [4,4], (4 * 2). . или	. Каирская пятиугольная мозаика (четырехгранный пентиль)

[6, 3] семейство групп

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершинная фигура и двойная грань. символ (ы) Витоффа. группа симметрии. диаграмма Кокстера (и)	Двойные плитки Лавеса
. Шестиугольные плитки (гексилль)	. 6.6.6 (или 6). 3 | 6 2. 2 6 | 3. 3 3 3 |. p6m, [6,3], (* 632). . .	. Треугольная мозаика (дельта)
. Тригексагональная черепица (гексаделтил)	. (3.6). 2 | 6 3. 3 3 | 3. p6m, [6,3], (* 632). . =	. Мозаика ромбиля (ромбиль)
. Мозаика с усеченным шестиугольником (усеченный гексилль)	. 3.12.12. 2 3 | 6. p6m, [6,3], (* 632).	. Треугольная мозаика Триакиса (kisdeltille)
. Треугольная мозаика (deltille)	. 3.3. 3.3.3.3 (или 3). 6 | 3 2. 3 | 3 3. | 3 3 3. p6m, [6,3], (* 632). . . = .	. Шестиугольная мозаика (гексилль)
. Ромбитрихексагональная мозаика (ромбогексаделтиль)	. 3,4.6.4. 3 | 6 2. p6m, [6,3], (* 632).	. Дельтоидальная трехгексагональная мозаика (тетрил)
. Усеченная трехгексагональная мозаика (усеченная гексаделтилла)	. 4.6.12. 2 6 3 |. p6m, [6,3], (* 632).	. Плитка Кишромбиля (кисромбиль)
. Плоская трехгексагональная мозаика (курносый гексилль)	. 3.3.3.3.6. | 6 3 2. p6, [6,3], (632).	. Пятиугольная мозаика цветочков (6-кратный пентиль)

Невитхоффовская равномерная мозаика

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершина фигура и двойная грань. символ (ы) Витоффа. Группа симметрии. диаграмма Кокстера	Двойная мозаика Лавеса
. Вытянутая треугольная мозаика (изоснуб кадриль)	. 3.3.3.4.4. 2 | 2 (2 2). cmm, [∞, 2, ∞], (2 * 22). .	. Призматическая пятиугольная мозаика (iso (4-) pentille)

Равномерное раскраски

Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных мозаик:

1. Треугольная мозаика - 9 однородных раскрасок, 4 витхоффианских, 5 неуитофианских
   • 
2. Квадратная мозаика - 9 раскрасок : 7 wythoffian, 2 nonwythoffian
   • 
3. шестиугольная мозаика - 3 раскраски, все wythoffian
   • 
4. Trihexagonal tiling - 2 раскраски, обе wythoffian
   • 
5. snub square tiling - 2 раскраски, обе чередующиеся wythoffian
   • 
6. Усеченная квадратная мозаика - 2 раскраски, обе по Витхоффу
   • 
7. Усеченная шестиугольная мозаика - 1 раскраска, Витоффиан
   • 
8. Ромбитрихексагональная мозаика - 1 раскраска, Витоффиан
   • 
9. Усеченная трехгексагональная мозаика - 1 раскраска, wythoffian
   • 
10. плоская шестиугольная мозаика - 1 раскраска, чередующаяся wythoffian
    • 
11. продолговатая треугольная плитка - 1 цвет, nonwythoffian
    • 

• Выпуклые однородные соты - 28 единообразных трехмерных мозаик
• Список мозаик
• Порог перколяции
• Однородные мозаики в гиперболической плоскости

• Конвей, Джон H. ; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы мозаики, таблица 19.1». Симметрии вещей. А. К. Петерс / CRC Нажмите. ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 г.
• Coxeter, H.S.M. ; Лонге-Хиггинс, M.S. ; Миллер, J.C.P. (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Перевод 246 A: 401–450.
• Роберт Уильямс (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 2–3 Круговая упаковка, плоская мозаика и сети, стр. 34–40).
• Asaro, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. "Равномерная раскраска краев Архимедовых мозаик" (PDF). Вашингтонский университет.(Кейси Манн из Вашингтонского университета )
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощение правильными многоугольниками» (PDF).
• Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в мозаику. Публикации Дейла Сеймура. С. 50–57, 71–74. ISBN 978-0866514613.

• Вайсштейн, Эрик У. «Единая мозаика». MathWorld.
• Равномерные мозаики на плоскости Евклида
• Тесселяции плоскости
• Мир мозаик Дэвида Бейли
• k-однородные мозаики
• n-однородные мозаики