Полярный и полярный

редактировать

Полярная линия q к точке Q относительно окружности радиуса r с центром в точке O . Точка P - это точка инверсии Q ; полярная это линия, проходящая через P, которая перпендикулярна линии, содержащей O, Pи Q.

В геометрии, полюс и полярный соответственно являются точкой и линией, которые имеют уникальную взаимную связь по отношению к ag iven коническое сечение.

Для данной окружности возвратно-поступательное движение в окружности означает преобразование каждой точки на плоскости в ее полярную линию, а каждой прямой на плоскости - в ее полюс.

Содержание

1 Свойства
2 Частный случай окружностей
3 Взаимное движение и проективная двойственность
4 Общие конические сечения
- 4.1 Вычисление полярности точки
- 4.2 Вычисление полюса линия
- 4.3 Через полный четырехугольник
5 Приложения
6 См. также
7 Библиография
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Свойства

Поляки и полярные поля имеют несколько полезных свойств:

Если точка P лежит на прямой l, то полюс L прямой l лежит на полярной точке p точки P.
. P движется вдоль линии l, его полярный p вращается вокруг полюса L прямой l.
Если две касательные линии могут быть проведены от полюса к полюсу коническое сечение, то его полюс проходит через обе точки касания.
Если точка лежит на коническом сечении, его полярность является касательной через эту точку к коническому сечению.
Если точка P лежит на своей полярной линии, тогда P находится на конической секции.
Каждая линия имеет, по отношению к не-d сгенерированное коническое сечение, ровно один полюс.

Частный случай окружностей

Полюс прямой L в окружности C - это точка P, которая является инверсия в C точки Q на L, ближайшей к центру окружности. И наоборот, полярная линия (или полярная ) точки P в окружности C - это прямая L, ближайшая к ней точка Q к центру круга находится инверсия из P в C.

Если точка A лежит на полярной линии q другой точки Q, тогда Q лежит на полярной линии a отрезка A . В более общем смысле, поляры всех точек на прямой q должны проходить через ее полюс Q.

Отношения между полюсами и полярами взаимны. Таким образом, если точка A лежит на полярной линии q точки Q, то точка Q должна лежать на полярной линии a точки А . Две полярные линии a и q не обязательно должны быть параллельны.

Существует другое описание полярной линии точки P в случае, когда она лежит вне окружности C. В этом случае есть две линии через P, которые касаются окружности, а полярная точка P - это линия, соединяющая две точки касания (здесь не показаны). Это показывает, что полюс и полярная линия являются понятиями в проективной геометрии плоскости плоскости и обобщаются с любой неособой коникой вместо круг C.

Взаимность и проективная двойственность

Иллюстрация двойственности между точками и линиями и двойного значения слова «инцидентность». Если две прямые a и k проходят через единственную точку Q, то полярная q точки Q соединяется с полюсами A и K линии a и k соответственно.

Понятия полюса и его полярной линии были развиты в проективной геометрии. Например, полярную линию можно рассматривать как набор проективных гармонических сопряжений данной точки, полюса, относительно коники. Операция замены каждой точки полярностью и наоборот называется полярностью.

A полярность - это корреляция, которая также является инволюцией.

Общие конические сечения

Линия p - полярная линия, ведущая к точке P, l до L и от m до M

p - полярная линия до точки P ; m - полярная линия к M

Понятия полюса, полярности и возвратно-поступательного движения могут быть обобщены с кругов на другие конические сечения, которые являются эллипсом, гиперболой и парабола. Это обобщение возможно, потому что конические сечения являются результатом возвратно-поступательного движения круга в другом круге, и соответствующие свойства, такие как угол и перекрестное отношение, сохраняются при всех проективные преобразования.

Вычисление полярной точки

Общее коническое сечение может быть записано как уравнение второй степени в декартовых координатах (x, y) плоскости

A xxx 2 + 2 A xyxy + A yyy 2 + 2 B xx + 2 B yy + C = 0 {\ displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy } xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,}

A_ {xx} x ^ {2 } + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,

где A xx , A xy, A yy, B x, B y и C - константы, определяющие уравнение. Для такого конического сечения полярная линия к заданной полюсной точке (ξ, η) определяется уравнением

D x + E y + F = 0 {\ displaystyle Dx + Ey + F = 0 \,}

Dx + Ey + F = 0 \,

где D, E и F - также константы, которые зависят от координат полюсов (ξ, η)

D = A xx ξ + A xy η + B x E = A xy ξ + A yy η + B y F Знак равно В Икс ξ + В Y η + С {\ Displaystyle {\ begin {align} D = A_ {xx} \ xi + A_ {xy} \ eta + B_ {x} \\ E = A_ {xy} \ xi + A_ {yy} \ eta + B_ {y} \\ F = B_ {x} \ xi + B_ {y} \ eta + C \, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D = A_ {xx} \ xi + A_ {xy} \ eta + B_ {x} \\ E = A_ {xy} \ xi + A_ {yy } \ eta + B_ {y} \\ F = B_ {x} \ xi + B_ {y} \ eta + C \, \ end {align}}}

Вычисление полюса прямой

Полюс прямой $D x + E y + F = 0 {\ displaystyle Dx + Ey + F = 0}$ ${\ displaystyle Dx + Ey + F = 0 }$ относительно невырожденного конического участка

A xxx 2 + 2 A xyxy + A yyy 2 + 2 B xx + 2 B yy + C = 0 {\ displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2 } + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,}

A_ {xx} x ^ {2 } + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,

можно вычислить в два этапа.

Сначала вычислите числа x, y и z из

[xyz] = [A xx A xy B x A xy A yy B y B x B y C] - 1 ⋅ [DEF] { \ Displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A_ {xx} A_ {xy} B_ {x} \\ A_ {xy} A_ {yy} B_ {y} \\ B_ {x} B_ {y} C \ end {bmatrix}} ^ {- 1} \ cdot {\ begin {bmatrix} D \\ E \\ F \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A_ {xx} A_ {xy} B_ {x} \\ A_ {xy} A_ {yy} B_ {y} \\ B_ {x} B_ {y} C \ end {bmatrix}} ^ {- 1} \ cdot {\ begin {bmatrix} D \\ E \\ F \ end {bmatrix}}}

Теперь полюс - это точка с координатами $(xz, yz) {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {z}}, {\ frac {y} {z}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {z}}, {\ frac {y} {z}} \ right)}$

Через полный четырехугольник

Учитывая четыре точки, образующие полный четырехугольник, линии, соединяющие эти точки, пересекаются еще в трех диагональных точках. Для точки Z не на конике C нарисуйте две секущие из Z через C, пересекающиеся в точках A, B, D и E. Затем эти четыре точки образуют полный четырехугольник с Z в одной из диагональных точек.. Линия, соединяющая две другие диагональные точки, является полярной точкой Z, а Z - полюсом этой линии.

Приложения

Полюса и полярные точки были определены Джозефом Диасом Жергонном и играет важную роль в решении им проблемы Аполлония.

. В плоской динамике полюс является центром вращения, полярный - силовой линией действия, а коническая - матрицей массы-инерции. Отношение полюс-полярность используется для определения центра удара плоского твердого тела. Если полюс является точкой шарнира, то полярность - это линия удара, как описано в плоской теории винта.

См. Также

Библиография

Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 100–105.
Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Возвращение к геометрии. Вашингтон : MAA. Стр. 132 –136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
Грей Дж. Дж. (2007). Миры из ничего: курс истории геометрии XIX века. Лондон: Springer Verlag. стр. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
Корн Г.А., Корн TM (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 43–45. LCCN 59014456.Версия в мягкой обложке, опубликованная Dover Publications, имеет ISBN 978-0-486-41147-7.
Wells D (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. С. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Поляками и полярниками.