Полный четырехугольник

редактировать
Полный четырехугольник (слева) и полный четырехугольник (справа).

В математике, особенно в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии, полный четырехугольник - это система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек на плоскости плоскости, никакие три из которых не находятся на общей линии, и шести прямых, соединяющих шесть пар очков. Двойственно, полный четырехугольник - это система из четырех прямых, три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих линий. Полный четырехугольник был назван тетрастигмом Лахланом (1893), а полный четырехугольник был назван тетраграммой ; эти термины иногда все еще используются.

Содержание

  • 1 Диагонали
  • 2 Проективные свойства
  • 3 Евклидовы свойства
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Диагонали

Шесть линий полного четырехугольника встречаются попарно, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Точно так же среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, которые еще не соединены линиями; отрезки линии, соединяющие эти пары, называются диагоналями. Благодаря открытию плоскости Фано, конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны, некоторые авторы дополнили аксиомы проективного геометрия с аксиомой Фано о том, что диагональные точки не коллинеарны, в то время как другие были менее строгими.

Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен Г. Б. Холстед : Он называет вершины четырехугольника точками, а диагональные точки - кодотами. Линии проективного пространства называются прямыми, а в четырехугольнике - соединителями. «Диагональные линии» Кокстера называются Холстедом противоположными соединителями. Противоположные разъемы крест-накрест на кодоте. Конфигурация полного четырехугольника - это тетрастим . Эти условия никогда не получали широкого распространения и представляют только исторический интерес.

Проективные свойства

KLMN - это полный четырехугольник;. D - проективное гармоническое сопряжение C относительно A и B.

Как системы точек и прямых в котором все точки принадлежат одному и тому же количеству прямых, и все прямые содержат одинаковое количество точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации ; в обозначении проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4 362), а полный четырехугольник записывается как (6 243), где числа в этом обозначении относятся к количеству точек, линий на точку, прямых, и точек на строку конфигурации. проективный двойственный элемент полного четырехугольника - это полный четырехугольник, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует уникальное проективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую.

Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с помощью полный четырехугольник, когда он отметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих элементах четырехугольника: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается на прямой, тогда диагонали пересекают прямую в проекционно-гармоническом сопряжении позиции. Четыре точки на линии, происходящие от сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим диапазоном. Гармоническое свойство стабильно благодаря перспективности и проекции. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пиери и Феликс Клейн.

евклидовы свойства

. В евклидовой плоскости четыре линии полного четырехугольника не должны включать никаких пар параллельных прямых, так что каждая пара прямых имеет точку пересечения.

Wells (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства евклидовой плоскости, а не являются чисто проективными. Середины диагоналей коллинеарны, и (как доказал Исаак Ньютон ) также коллинеарны центру коники, которая касается всех четырех линий. четырехугольник. Любые три линии четырехугольника образуют стороны треугольника; ортоцентры четырех образованных таким образом треугольников лежат на второй линии, перпендикулярной линии, проходящей через средние точки. описанные окружности этих четырех треугольников пересекаются в одной точке. Кроме того, три окружности, имеющие диагонали в качестве диаметров, принадлежат общему пучку окружностей, ось которого является линией, проходящей через ортоцентры.

полярные круги треугольников полного четырехугольника образуют коаксальную систему.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 08:14:23
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте