Войти
В проективной геометрии, корреляция - это преобразование d-мерного проективного пространства, которое отображает подпространства размерности k в подпространства размерности d - k - 1, обращая включение и сохраняя инцидентность. Корреляции также называются взаимными или взаимными преобразованиями .
В действительная проективная плоскость, точки и прямые двойственны друг другу. По словам Кокстера,
Для прямой m и P точка не на m, элементарная корреляция получается следующим образом: для каждого Q на m образуем прямую PQ. Корреляция обратная начинается с карандаша на P: для любой прямой q этого пучка возьмем точку m ∩ q. композиция двух корреляций, которые имеют один и тот же карандаш, - это перспективность.
В трехмерном проективном пространстве корреляция отображает точку на самолет. Как сказано в одном учебнике:
Трехмерные корреляции также преобразуют линии в линии, поэтому их можно рассматривать как коллинеации двух пробелов.
В общем n-мерном проективном пространстве корреляция приводит точку к гиперплоскости. Этот контекст был описан Полом Йелем:
Он доказывает теорему о том, что корреляция φ меняет местами соединения и пересечения, и для любого проективного подпространства W в P (V) размерность образа W при φ равна (n - 1) - dim W, где n - размерность векторного пространства V, используемого для создания проективного пространства P (V).
Корреляции могут существовать, только если пространство самодвойственно. Для размерностей 3 и выше самодуальность легко проверить: существует координирующее тело, а самодуальность не работает тогда и только тогда, когда тело не изоморфно своей противоположности.
Если корреляция φ является инволюцией (то есть, два применения корреляции равны идентичности: φ (P) = P для всех точек P), тогда это называется полярностью. Полярности проективных пространств приводят к полярным пространствам, которые определяются путем взятия совокупности всех подпространств, содержащихся в их образе под полярностью.
Существует естественная корреляция, индуцированная между проективным пространством P (V) и его двойственным P (V) посредством естественное спаривание ⟨⋅, ⋅⟩ между лежащими в основе векторными пространствами V и его двойственным V, где каждое подпространство W в V отображается в его ортогональное дополнение W в V, определяемый как W = {v ∈ V | ⟨W, v⟩ = 0, ∀w ∈ W}.
Составление этой естественной корреляции с изоморфизмом проективных пространств, индуцированным полулинейным отображением, дает корреляцию P (V) с сам. Таким образом, каждое невырожденное полулинейное отображение V → V индуцирует корреляцию проективного пространства с самим собой.
