Проективное гармоническое сопряжение

редактировать

D - гармоническое сопряжение C относительно. A и B.. A, D, B, C образуют гармонический диапазон.. KLMN - это полный четырехугольник, его порождающий.

В проективной геометрии, гармоническая сопряженная точка упорядоченной тройки точек на вещественной проективной прямой определяется следующей конструкцией:

Даны три коллинеарные точки A, B, C, пусть L будет точка, не лежащая на их соединении, и пусть любая прямая, проходящая через C, пересекает LA, LB в M, N соответственно. Если AN и BM пересекаются в K, а LK пересекает AB в D, то D называется гармоническим сопряжением C относительно A, B.

Точка D не зависит от того, в какой точке L берется изначально, а также от того, какая линия, проходящая через C, используется для нахождения M и N. Этот факт следует из теоремы Дезарга.

В реальной проективной геометрии гармоническое сопряжение также может быть определено в терминах перекрестного соотношение как (A, B; C, D) = -1.

Содержание

1 Критерий перекрестного отношения
2 От середины
3 От полного четырехугольника
- 3.1 Четвертичные отношения
4 Проективные коники
- 4.1 Инверсивная геометрия
5 Тетрады Галуа
6 Итерированные проективные гармонические сопряжения и золотое сечение
7 Ссылки

Критерий перекрестного отношения

Четыре точки иногда называют гармоническим диапазоном (на реальной проективной прямой), поскольку обнаружено, что D всегда делит отрезок AB внутри в той же пропорции, что и C делит AB снаружи. То есть:

A C: B C = A D: D B. {\ displaystyle {AC}: {BC} = {AD}: {DB} \,.}

{\ displaystyle {AC}: {BC} = {AD}: {DB} \,.}

Если эти сегменты теперь снабжены обычной метрической интерпретацией вещественных чисел, они будут подписаны и образуют двойную пропорцию, известную как поперечное отношение (иногда двойное соотношение)

(A, B; C, D) = ACAD / BC - DB, {\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ left / {\ frac {BC} {- DB}} \ right.,}

{\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ left / {\ frac {BC} {- DB}} \ right.,}

, для которого гармонический диапазон характеризуется значением -1. Поэтому мы пишем:

(A, B; C, D) = ACAD ⋅ BDBC = - 1. {\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ cdot { \ frac {BD} {BC}} = - 1.}

{\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ cdot {\ frac {BD} {BC}} = - 1.}

Значение перекрестного отношения в целом не уникально, так как оно зависит от порядка выбора сегментов (а их шесть такой выбор возможен). Но для гармонического диапазона, в частности, есть только три значения перекрестного отношения: {-1, 1/2, 2}, поскольку -1 является самообратным, поэтому замена последних двух точек просто возвращает каждое из этих значений, но не дает новое значение, которое классически известно как гармоническое поперечное отношение .

В терминах двойного отношения, учитывая точки a и b на аффинной линии, коэффициент деления точки x равен

t (x) = x - ax - b. {\ displaystyle t (x) = {\ frac {xa} {xb}}.}

t (x) = {\ frac {xa} {xb}}.

Обратите внимание, что когда < x < b, then t(x) is negative, and that it is positive outside of the interval. The cross-ratio (c, d; a, b) = t(c)/t(d) is a ratio of division ratios, or a double ratio. Setting the double ratio to minus one means that when t(c) + t(d) = 0, then c and d are harmonic conjugates with respect to a and b. So the division ratio criterion is that they be аддитив инвертирует.

Гармоническое деление отрезка линии является частным случаем Аполлония 'определение круга.

В некоторых школьных исследованиях конфигурация гармонического диапазона называется гармоническим делением.

От середины

Середина и бесконечность гармонически сопряжены.

Когда x является средней точкой отрезка от a до b, тогда

t (x) = x - ax - b = - 1. {\ displaystyle t (x) = {\ frac {xa} {xb}} = - 1.}

t (x) = {\ frac {xa} {xb}} = - 1.

По критерию кросс-отношения гармоническое сопряжение x будет y, когда t (y) = 1. Но нет конечного решения для y на прямой, проходящей через a и b. Тем не менее,

lim y → ∞ t (y) = 1, {\ displaystyle \ lim _ {y \ to \ infty} t (y) = 1,}

\ lim _ {{y \ to \ infty}} t (y) = 1,

, таким образом, мотивируя включение точки в бесконечность в проективной прямой. Эта бесконечно удаленная точка служит гармоническим сопряжением средней точки x.

Из полного четырехугольника

Другой подход к гармоническому сопряжению заключается в концепции полного четырехугольника, такого как KLMN на приведенной выше диаграмме. Исходя из четырех точек, у полного четырехугольника есть пары противоположных сторон и диагоналей. В выражении гармонических конъюгатов по H. SM Coxeter, диагонали считаются парой противоположных сторон:

D - гармоническое сопряжение C относительно A и B, что означает, что существует четырехугольник IJKL такой, что одна пара противоположных сторон пересекается в A и вторая пара в B, а третья пара пересекает AB в точках C и D.

Именно Карл фон Штаудт первым использовал гармоническое сопряжение в качестве основы для проективной геометрии независимо от метрических соображений. :

... Штаудту удалось освободить проективную геометрию от элементарной геометрии. В своей работе Geometrie der Lage Staudt ввел гармоническую четверку элементов независимо от концепции поперечного отношения, следуя чисто проективному маршруту, используя полный четырехугольник или четырехугольник.

P 1 = A, P 2 = S, {\ displaystyle P_ {1} = A, \ P_ {2} = S,}

P_ {1} = A, \ P_ {2} = S,

P 3 = B, P 4 = Q, D = M; {\ displaystyle P_ {3} = B, \ P_ {4} = Q, D = M;}

P_ {3} = B, \ P_ {4} = Q, D = M;

. (игнорируйте зеленую M).

Чтобы увидеть полный четырехугольник, применяемый для получения средней точки, рассмотрите следующий отрывок от JW Young:

Если две произвольные прямые AQ и AS проводятся через A, а прямые BS и BQ проходят через B параллельно AQ и AS соответственно, прямые AQ и SB пересекаются, по определению, в точке R на бесконечности, а AS и QB пересекаются по определению в бесконечно удаленной точке P. Тогда полный четырехугольник PQRS имеет две диагональные точки в точках A и B, а оставшаяся пара противоположных сторон проходит через M и бесконечно удаленную точку на AB. Тогда точка M по построению является гармоническим сопряжением бесконечно удаленной точки на AB относительно точек A и B. С другой стороны, то, что M является серединой отрезка AB, следует из известного утверждения, что диагонали параллелограмма ( PQRS) делят друг друга пополам.

Четвертичные отношения

Четыре упорядоченные точки на проективном диапазоне называются гармоническими точками, когда имеется тетрастигм на плоскости так, что первая и третья точки являются вершинами, а две другие точки находятся на соединениях третьей вершины.

Если точка p не находится на прямой с гармоническими точками, соединения точки p с точки - гармонические прямые . Точно так же, если ось пучка плоскостей имеет наклон к прямой с гармоническими точками, плоскости на этих точках будут гармоническими плоскостями .

Набор из четырех такое отношение было названо гармонической четверкой .

Проективными кониками

Коника на проективной плоскости - это кривая C, обладающая следующим свойством: если P - точка не на C, и если переменная прямая, проходящая через P, пересекает C в точках A и B, затем переменная гармонически сопряженная точка P относительно A и B очерчивает линию. Точка P называется полюсом этой линии гармонических сопряжений, а эта линия называется полярной линией точки P относительно коники. Подробнее см. Статью Полюс и полярность.

Инверсионная геометрия

В случае, когда коника является окружностью, на расширенных диаметрах окружности гармонические сопряжения относительно окружности инвертируются в окружности. Этот факт следует из одной из теорем Смогоржевского:

Если окружности k и q взаимно ортогональны, то прямая, проходящая через центр k и пересекающая q, делает это в точках, симметричных относительно k.

То есть, если прямая является продолжением диаметра k, то пересечения с q гармонически сопряжены.

Тетрады Галуа

В геометрии Галуа над полем Галуа GF (q) линия имеет q + 1 точек, где ∞ = (1, 0). На этой линии четыре точки образуют гармоническую тетраду, когда две гармонично разделяют другие. Условие

(c, d; a, b) = - 1, эквивалентно 2 (cd + ab) = (c + d) (a + b), {\ displaystyle (c, d; a, b) = -1, \ {\ text {эквивалентно}} \ \ 2 (cd + ab) = (c + d) (a + b),}

{\ displaystyle (c, d; a, b) = - 1, \ {\ text {эквивалентно}} \ \ 2 (cd + ab) = (c + d) (a + b),}

характеризует гармонические тетрады. Внимание к этим тетрадам привело Жана Дьедонне к его описанию некоторых случайных изоморфизмов проективных линейных групп PGL (2, q) для q = 5, 7, и 9.

Если q = 2, то гармоническое сопряжение C является самим собой.

Итерированные проективные гармонические сопряжения и золотое сечение

Пусть $P 0, P 1, P 2 {\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ - три разные точки на реальной проективной прямой. Рассмотрим бесконечную последовательность точек $P n, {\ displaystyle P_ {n},}$ ${\ displaystyle P_ { n},}$ , где $P n {\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ - гармоника сопряжение $P n - 3 {\ displaystyle P_ {n-3}}$ ${\ displaystyle P_ {n-3}}$ по отношению к $P n - 1, P n - 2 {\ displaystyle P_ {n-1}, P_ {n-2}}$ ${\ displaystyle P_ {n-1}, P_ {n-2}}$ для $n>2. {\ displaystyle n>2.}$ $n>2.$ Эта последовательность сходится.

Для конечного предела $P {\ displaystyle P}$ $P$ мы имеем

lim n → ∞ P n + 1 PP n P = Φ - 2 = - Φ - 2 = - 3 - 5 2, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 1} P} {P_ {n} P}} = \ Phi -2 = - \ Phi ^ {- 2} = - {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}},}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 1} P} {P_ {n} P}} = \ Phi -2 = - \ Phi ^ {- 2} = - {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}},}

где $Φ = 1 2 (1 + 5) {\ displaystyle \ Phi = {\ tfrac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {5}})}$ ${\ displaystyle \ Phi = {\ tfrac {1} {2} } (1 + {\ sqrt {5}})}$ - это золотое сечение, т.е. $P n + 1 P ≈ - Φ - 2 P n P {\ displaystyle P_ {n + 1} P \ приблизительно - \ Phi ^ {- 2} P_ {n} P}$ ${\ displaystyle P_ {n + 1} P \ приблизительно - \ Phi ^ {- 2} P_ {n} P}$ для большой $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Для бесконечного предела мы имеем

lim n → ∞ P n + 2 P n + 1 P n + 1 P n = - 1 - Φ = - Φ 2. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 2} P_ {n + 1}} {P_ {n + 1} P_ {n}}} = - 1 - \ Phi = - \ Phi ^ {2}.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 2} P_ {n + 1} } {P_ {n + 1} P_ {n}}} = - 1- \ Phi = - \ Phi ^ {2}.}

Для доказательства рассмотрим проективный изоморфизм

f (z) = az + bcz + d {\ displaysty le f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

f (z) = {\ frac {az + b } {cz + d}}

f ((- 1) n Φ 2 n) = P n. {\ displaystyle f \ left ((- 1) ^ {n} \ Phi ^ {2n} \ right) = P_ {n}.}

{\ displaystyle f \ left ((- 1) ^ {n} \ Phi ^ {2n} \ right) = P_ {n}.}

Ссылки

Хуан Карлос Альверес (2000) Проективная геометрия, см. Главу 2: Реальная проективная плоскость, раздел 3: Гармонические четверки и теорема фон Штаудта.
Роберт Лахлан (1893) Элементарный трактат по современной чистой геометрии, ссылка из Корнельский университет Монографии по исторической математике.
Бертран Рассел (1903) Принципы математики, стр. 384.
Рассел, Джон Уэлсли (1905). Чистая геометрия. Кларендон Пресс.