Войти
Абсолютная геометрия- это геометрия, основанная на системе аксиом для евклидовой геометрии без постулат параллели или любой из его альтернатив. Традиционно это означало использование только первых четырех постулатов Евклида, но, поскольку их недостаточно в качестве основы евклидовой геометрии, другие системы, такие как аксиомы Гильберта, без аксиомы параллельности , используются. Термин был введен Яношом Бойяи в 1832 году. Иногда его называют нейтральной геометрией, поскольку он нейтрален по отношению к постулату параллельности.
Можно подумать, что абсолютная геометрия - довольно слабая система, но это не так. В самом деле, в Элементах Евклида первые 28 предложений и предложение 31 избегают использования параллельного постулата и, следовательно, действительны в абсолютной геометрии. В абсолютной геометрии можно также доказать теорему о внешнем угле (внешний угол треугольника больше любого из удаленных углов), а также теорему Саккери – Лежандра, которая утверждает, что сумма углов в треугольнике не превышает 180 °.
Предложение 31 представляет собой построение прямой, параллельной данной прямой, через точку не на данной прямой. Поскольку для доказательства требуется только использование предложения 27 (теорема об альтернативном внутреннем угле), это верная конструкция в абсолютной геометрии. Точнее, для любой прямой l и любой точки P, не лежащей на l, существует по крайней мере одна прямая, проходящая через P, которая параллельна l. Это можно доказать, используя знакомую конструкцию: дана прямая l и точка P, не лежащая на l, опустите перпендикуляр m из P в l, затем возведите перпендикуляр n к m через P. По теореме об альтернативном внутреннем угле l параллельна к п. (Теорема об альтернативном внутреннем угле утверждает, что если прямые a и b пересекаются трансверсалью t таким образом, что существует пара конгруэнтных альтернативных внутренних углов, тогда a и b параллельны.) Вышеупомянутая конструкция и теорема об альтернативном внутреннем угле не зависят от постулата параллельности и, следовательно, действительны в абсолютной геометрии.
В абсолютной геометрии также можно доказать, что две прямые, перпендикулярные одной и той же линии, не могут пересекаться(что делает две прямые параллельны по определению параллельных прямых), доказывая, что вершины четырехугольника Саккери не могут быть тупыми, и что сферическая геометрия не является абсолютной геометрией.
Теоремы абсолютной геометрии верны в гиперболической геометрии, которая является неевклидовой геометрией, а также в Евклидова геометрия.
Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в этой теории вообще нет параллельных прямых, но это теорема абсолютной геометрии, что параллельные прямые действительно существуют. Однако можно изменить систему аксиом так, чтобы абсолютная геометрия, определенная измененной системой, включала сферическую и эллиптическую геометрии, не имеющие параллельных линий.
Абсолютная геометрия является расширением упорядоченная геометрия, и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии верны в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает, что первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты) противопоставляются аффинной геометрии, которая не принимает третью и четвертую аксиомы Евклида. (3: «Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием радиус.», 4: «Все прямые углы равны друг другу.») Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.
геометрия специальной теории относительности была разработана, исходя из девяти аксиом и одиннадцати положений абсолютной геометрии. Затем авторы Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис выходят за рамки абсолютной геометрии, когда они вводят гиперболическое вращение как преобразование, связывающее две системы отсчета..
Плоскость, которая удовлетворяет аксиомам Гильберта Инцидентность, Между и Конгруэнтностью, называется плоскостью Гильберта. Плоскости Гильберта - это модели абсолютной геометрии.
Абсолютная геометрия - это неполная аксиоматическая система в том смысле, что можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом противоречивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллельных прямых и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно.
