Войти
Некоммутативная алгебраическая геометрия - это ветвь математики, а точнее направление в некоммутативная геометрия, изучающая геометрические свойства формальных двойников некоммутативных алгебраических объектов, таких как кольца, а также геометрических объектов, производных от них (например, путем склеивания локализаций или взятия некоммутативных значений стека ).
Например, предполагается, что некоммутативная алгебраическая геометрия расширяет понятие алгебраической схемы путем подходящего склеивания спектров некоммутативных колец; в зависимости от того, насколько буквально и как обычно понимается эта цель (и понятие спектра) в некоммутативной среде, это достигается с разным уровнем успеха. Некоммутативное кольцо обобщает здесь коммутативное кольцо регулярных функций на коммутативной схеме. Функции на обычных пространствах в традиционной (коммутативной) алгебраической геометрии имеют произведение, определяемое поточечным умножением ; поскольку значения этих функций коммутируют, функции также коммутируют: a, умноженное на b, равно b, умноженное на a. Примечательно, что рассмотрение некоммутативных ассоциативных алгебр как алгебр функций на «некоммутативном» потенциальном пространстве - это далеко идущая геометрическая интуиция, хотя формально это выглядит как заблуждение.
Большая часть мотивации для некоммутативной геометрии, и, в частности, для некоммутативной алгебраической геометрии, из физики; особенно из квантовой физики, где алгебры наблюдаемых действительно рассматриваются как некоммутативные аналоги функций, поэтому желательно иметь возможность наблюдать их геометрические аспекты.
Одно из значений поля состоит в том, что оно также предоставляет новые методы изучения объектов в коммутативной алгебраической геометрии, таких как группы Брауэра.
Методы некоммутативной алгебраической геометрии являются аналогами методов коммутативной алгебраической геометрии. алгебраическая геометрия, но часто основы разные. Локальное поведение в коммутативной алгебраической геометрии фиксируется коммутативной алгеброй и особенно изучением локальных колец. Они не имеют теоретико-кольцевого аналога в некоммутативной ситуации; хотя в категориальной установке можно говорить о стеках локальных категорий квазикогерентных пучков по некоммутативным спектрам. Глобальные свойства, такие как те, что вытекают из гомологической алгебры и K-теории, чаще переносятся в некоммутативный контекст.
Коммутативная алгебраическая геометрия начинается с построения спектра кольца. Точки алгебраического многообразия (или, в более общем смысле, scheme ) являются первичными идеалами кольца, а функции на алгебраическом многообразии являются элементами кольца. Однако некоммутативное кольцо может не иметь никаких собственных ненулевых двусторонних первичных идеалов. Например, это верно для алгебры Вейля полиномиальных дифференциальных операторов на аффинном пространстве: алгебра Вейля - это простое кольцо. Таким образом, можно, например, попытаться заменить простой спектр примитивным спектром : есть также теория некоммутативной локализации и теория спуска. В некоторой степени это работает: например, обертывающие алгебры Диксмье можно рассматривать как разработку некоммутативной алгебраической геометрии для примитивного спектра обертывающей алгебры алгебры Ли. Другая работа в подобном духе - это заметки Майкла Артина под названием «некоммутативные кольца», которые частично являются попыткой изучить теорию представлений с точки зрения некоммутативной геометрии.. Ключевым моментом для обоих подходов является то, что неприводимые представления или, по крайней мере, примитивные идеалы можно рассматривать как «некоммутативные точки».
Как оказалось, исходя, скажем, из примитивных спектров, было непросто разработать работоспособную теорию пучков. Можно представить, что эта трудность вызвана своего рода квантовым феноменом: точки в пространстве могут влиять на точки далеко (и на самом деле нецелесообразно рассматривать точки по отдельности и рассматривать пространство как простую совокупность точек).
Из-за вышеизложенного можно принять парадигму, заложенную в тезисе Пьера Габриэля и частично оправданную теоремой реконструкции Габриэля – Розенберга (после Пьера Габриэль и Александр Л. Розенберг ), что коммутативная схема может быть восстановлена с точностью до изоморфизма схем только из абелевой категории квазикогерентных пучков на схеме. Александр Гротендик учил, что для того, чтобы заниматься геометрией, не нужно пространство, достаточно иметь категорию пучков на этом пространстве; эта идея была передана в некоммутативную алгебру Юрием Маниным. Существуют несколько более слабые теоремы восстановления на основе производных категорий (квази) когерентных пучков, мотивирующие производную некоммутативную алгебраическую геометрию (см. Чуть ниже).
Возможно, самый последний подход - это теория деформации, помещающая некоммутативную алгебраическую геометрию в область производной алгебраической геометрии.
В качестве мотивирующего примера рассмотрим одномерную алгебру Вейля над комплексными числами C. Это частное свободного кольца C
Это кольцо представляет полиномиальные дифференциальные операторы от одной переменной x; y заменяет дифференциальный оператор ∂ x. Это кольцо входит в однопараметрическое семейство, задаваемое соотношениями xy - yx = α. Когда α не равно нулю, это соотношение определяет кольцо, изоморфное алгебре Вейля. Однако, когда α равно нулю, это отношение является соотношением коммутативности для x и y, а результирующее кольцо частных является кольцом многочленов от двух переменных, C [x, y]. Геометрически кольцо многочленов от двух переменных представляет собой двумерное аффинное пространство A, поэтому существование этого однопараметрического семейства говорит о том, что аффинное пространство допускает некоммутативные деформации в пространстве, определяемом алгеброй Вейля. Эта деформация связана с символом дифференциального оператора и тем, что A является котангенсным пучком аффинной линии. (Изучение алгебры Вейля может привести к информации об аффинном пространстве: гипотеза Диксмье об алгебре Вейля эквивалентна гипотезе якобиана об аффинном пространстве.)
В Эта линия подхода, понятие операда, набор или пространство операций, становится заметным: во введении к (Francis 2008) harv error: no target: CITEREFFrancis2008 (help ), Фрэнсис пишет:
Мы начинаем изучение некоторых менее коммутативных алгебраических геометрий. … Алгебраическую геометрию над 
Одной из основных конструкций коммутативной алгебраической геометрии является конструкция Proj градуированного коммутативного кольца. Эта конструкция строит проективное алгебраическое многообразие вместе с очень обильным линейным расслоением, однородное координатное кольцо которого является исходным кольцом. Построение основного топологического пространства многообразия требует локализации кольца, но не построения пучков на этом пространстве. По теореме Жан-Пьера Серра квазикогерентные пучки на Proj градуированного кольца - это то же самое, что градуированные модули над кольцом с точностью до конечномерных множителей. Философия теории топоса, продвигаемая Александром Гротендиком, гласит, что категория пучков в пространстве может служить самим пространством. Следовательно, в некоммутативной алгебраической геометрии Proj часто определяют следующим образом: пусть R - градуированная C -алгебра, и пусть Mod-R обозначает категорию градуированных правых R-модулей. Обозначим через F подкатегорию Mod-R, состоящую из всех модулей конечной длины. Proj R определяется как фактор абелевой категории Mod-R по F. Эквивалентно, это локализация Mod-R, в которой два модуля становятся изоморфными, если после их прямых сумм с соответствующим образом выбранными объектами F они становятся изоморфен в Mod-R.
Этот подход приводит к теории некоммутативной проективной геометрии. Некоммутативная гладкая проективная кривая оказывается гладкой коммутативной кривой, но для особых кривых или гладких многомерных пространств некоммутативная установка допускает новые объекты.
-Rings 