Сноп (математика)

Инструмент для отслеживания локально определенных данных, прикрепленных к открытым наборам топологического пространства

В Mathematics, связка - это инструмент для систематического отслеживания локально определенных данных, прикрепленных к открытым наборам топологического пространства . Данные могут быть ограничены открытыми наборами меньшего размера, а данные, назначенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, назначенным коллекциям меньших открытых наборов, охватывающих исходный. Например, такие данные могут состоять из колец непрерывных или плавных вещественных -значных функций, определенных на каждый открытый набор. Связки по своей конструкции являются довольно общими и абстрактными объектами, и их правильное определение носит скорее технический характер. Они по-разному определяются, например, как связки наборов или связки колец, в зависимости от типа данных, назначенных для открытых наборов.

Есть также отображения (или морфизмов ) от одного пучка к другому; пучки (определенного типа, например пучки абелевых групп ) с их морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию. С другой стороны, с каждым непрерывным отображением связаны как функтор прямого изображения, переводящий пучки и их морфизмы в области в пучки и морфизмы на кодомен и функтор обратного изображения , работающий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются существенными частями теории пучков.

Вследствие их общей природы и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии, особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии. Во-первых, геометрические структуры, такие как структура дифференцируемого многообразия или схема, могут быть выражены в терминах пучка колец в пространстве. В таких контекстах несколько геометрических конструкций, таких как векторные пучки или делители, естественно задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий, которая охватывает также «обычные» топологические теории когомологий, такие как сингулярные когомологии. Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D-модулей, которые обеспечивают приложения к теории дифференциальных уравнений. Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика, предоставили приложения для математической логики и теории чисел.

Содержание

• 1 Определения и примеры
  • 1.1 Предварительные пучки
  • 1.2 Пучки
  • 1.3 Дальнейшие примеры
    • 1.3.1 Связка секций непрерывного отображения
    • 1.3.2 Пучки на многообразиях
    • 1.3.3 Предварительные пучки, которые не являются пучками
  • 1.4 Мотивирующие пучки из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии
    • 1.4.1 Технические проблемы со сложными многообразиями
    • 1.4.2 Отслеживание подмногообразий с пучками
• 2 Операции с пучками
  • 2.1 Морфизмы
  • 2.2 Стебли связки
  • 2.3 Превращение предварительного пучка в пучок
  • 2.4 Подпучки, частные пучки
  • 2.5 Базовая функциональность
    • 2.5.1 Прямое изображение
    • 2.5.2 Инверсное изображение
    • 2.5.3 Расширение нулем
• 3 Дополнения
  • 3.1 Пучки в более общих категориях
  • 3.2 Кольцевые пространства и связки модулей
    • 3.2.1 Finit Условия целостности пучков модулей
  • 3.3 Этальное пространство пучка
• 4 Когомологии пучков
  • 4.1 Вычисление когомологий пучков
  • 4.2 Производные категории пучков
    • 4.2.1 Производные категории когерентных пучков и Группа Гротендика
• 5 Сайты и топои
• 6 История
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Определения и примеры

Во многих математические ветви, несколько структур, определенных в топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$(например, дифференцируемое многообразие ), могут быть естественно локализованы или ограничены в открыть подмножества $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; X\}$: типичные примеры включают непрерывный вещественный -значные или сложные -значные функции, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$умножить на дифференцируемые (действительные или комплексные) функции, ограниченные функции с действительными значениями, векторные поля и разделы любого vec tor bundle на пространстве. Возможность ограничивать данные меньшими открытыми подмножествами дает начало концепции предварительных пучков. Грубо говоря, связки - это те предварительные пучки, в которых локальные данные могут быть приклеены к глобальным данным.

Предварительные пучки

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет топологическим пространством. Предварительный пучок наборов $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$состоит из следующих данных:

• Для каждого открытого набора $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, набор $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\}$. Этот набор иногда также обозначается $\Gamma \; (U,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (U,\; F)\}$. Элементы в этом наборе называются разделами $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$.
• Для каждого включения открытых наборов $V\; \subseteq \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; substeq\; U\}$, функция $res\; V,\; U:\; F\; (U)\; \to \; F\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{V,\; U\}\; \backslash \; двоеточие\; F\; (U)\; \backslash \; rightarrow\; F\; (V)\}$. Ввиду многих из приведенных ниже примеров морфизмы $res\; V,\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{res\}\}\; \_\; \{V,\; U\}\}$называются ограничительными морфизмами. Если $s\; \in \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; F\; (U)\}$, то его ограничение $res\; V,\; U\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{res\}\; \}\; \_\; \{V,\; U\}\; (s)\}$часто обозначают $s\; |\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; |\; \_\; \{V\}\}$по аналогии с ограничением функций.

Ограничительные морфизмы требуются для удовлетворения двух дополнительных (функториальных ) свойств:

• Для каждого открытого набора $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$морфизм ограничения $res\; U,\; U:\; F\; (U)\; \to \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U,\; U\}\; \backslash \; двоеточие\; F\; (U)\; \backslash \; rightarrow\; F\; (U)\}$- тождественный морфизм на $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\}$.
• Если у нас есть три открытых набора $W\; \subseteq \; V\; \subseteq \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \backslash \; substeq\; V\; \backslash \; substeq\; U\}$, тогда составной $res\; W,\; V\; \circ \; res\; V,\; U\; =\; res\; W,\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{res\}\}\; \_\; \{W,\; V\}\; \backslash \; circ\; \{\backslash \; text\; \{res\}\}\; \_\; \{V,\; U\; \}\; =\; \{\backslash \; text\; \{res\}\}\; \_\; \{W,\; U\}\}$

Неформально вторая аксиома говорит, что не имеет значения, ограничиваем ли мы W за один шаг или ограничиваем сначала V, а затем W. Краткое функциональная переформулировка этого определения дается ниже.

Многие примеры предварительных пучков происходят из разных классов функций: любому $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$можно назначить набор $C\; 0\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\; (U)\}$непрерывных функций с действительным знаком на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Карты ограничений затем просто задаются путем ограничения непрерывной функции на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$меньшим открытым подмножеством $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, которое снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка сразу проверяются, что дает пример предпучка. Это может быть расширено до пучка голоморфных функций $H\; (-)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (-)\}$и пучка гладких функций $C\; \infty \; (-)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-)\}$.

Другой распространенный класс примеров - это присвоение $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$набора постоянных действительных функций на U. Этот предварительный пучок называется постоянным предварительным пучком, связанным с $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, и обозначается $R\; \_\; psh\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}\}\; ^\; \{psh\}\}$.

Пучки

Если задан предварительный пучок, возникает естественный вопрос: в какой степени его сечения на открытом множестве $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$определяются их ограничениями на меньшие открытые множества $U\; =\; \{U\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\; =\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$из открытой обложки из $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Пучок - это предпучок, который удовлетворяет следующим двум дополнительным аксиомам:

1. (Местность) Если $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$является открытым , покрывающим открытого набора $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, и если $s,\; t\; \in \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; s,\; t\; \backslash \; in\; F\; (U)\}$имеют свойство $s\; |\; U\; i\; =\; t\; |\; U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\}\; =\; t\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\}\}$для каждого набора $U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\}$покрытия, затем $s\; =\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; t\}$; и
2. (Склеивание ) Если $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$- открытое покрытие открытого набора $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, и если для каждого $i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; I\}$секция $si\; \in \; F\; (U\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; F\; (U\_\; \{i\})\}$задается так, что для каждой пары $U\; i,\; U\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\},\; U\_\; \{j\}\}$Cover устанавливает ограничения $si\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\}$и $sj\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{j\}\}$соглашаются на перекрытия, поэтому $си\; |\; U\; i\; \cap \; U\; j\; =\; s\; j\; |\; U\; я\; \cap \; U\; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\_\; \{i\}\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\}\; =\; s\_\; \{j\}\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\}\}$, тогда существует раздел $s\; \in \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; F\; (U)\}$такой, что $s\; |\; U\; i\; =\; si\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\}\; =\; s\_\; \{i\}\}$для каждого $i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; I\}$.

Раздел $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, существование которого гарантируется аксиомой 2, называется склейкой, конкатенацией или сопоставлением секций s i. По аксиоме 1 он единственен. Разделы $s\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\}$, удовлетворяющие условию аксиомы 2, часто называют совместимыми; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что совместимые секции могут быть однозначно склеены. Разделенный предпучок или монопучок - это предпучок, удовлетворяющий аксиоме 1.

Предварительный пучок, состоящий из упомянутых выше непрерывных функций, является связкой. Это утверждение сводится к проверке того, что для заданных непрерывных функций $fi:\; U\; i\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}:\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$, которые согласовывают пересечения $U\; я\; \cap \; U\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\}$, существует уникальная непрерывная функция $f:\; U\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$, ограничение которого равно $fi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\}$. Напротив, постоянная предпучка обычно не является связкой: если $U\; =\; U\; 1\; \bigsqcup \; U\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; U\_\; \{1\}\; \backslash \; sqcup\; U\_\; \{2\}\}$- это непересекающееся объединение двух открытых подмножеств, и $f\; 1,\; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\}\}$принимают разные значения, тогда на U нет постоянной функции чье ограничение равнялось бы этим двум (различным) постоянным функциям.

Предварительные пучки и связки обычно обозначаются заглавными буквами, причем F является особенно распространенным, предположительно для французского слова, обозначающего связку, faisceau. Также распространено использование каллиграфических букв, таких как $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$.

Можно показать, что для определения связки достаточно указать ее ограничение открытыми наборами базиса для топологии нижележащего пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить аксиомы пучка, указанные выше, относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, который имеет решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков. Здесь рассматриваемое топологическое пространство - это спектр коммутативного кольца R, точками которого являются простые идеалы p в R. Открытые множества $D\; f:\; =\; \{p\; \subset \; R,\; f\; \notin \; p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{f\}:\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; subset\; R,\; f\; \backslash \; notin\; p\; \backslash \}\}$составляют основу топологии Зарисского на этом Космос. Для R-модуля M существует связка, обозначенная $M\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{M\}\}\}$на Spec R, которая удовлетворяет

$M\; ~\; (D\; е):\; =\; M\; [1\; /\; f],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{M\}\}\; (D\_\; \{f\}):\; =\; M\; [1\; /\; f],\}$локализация M в точке f.

Дополнительные примеры

Связка участков непрерывной карты

Любая непрерывная карта $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\; \}$топологических пространств определяет пучок $\Gamma \; (Y\; /\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (Y\; /\; X)\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, задав

$\Gamma \; (Y\; /\; X)\; (U)\; =\; \{s:\; U\; \to \; Y,\; f\; \circ \; s\; =\; id\; U\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (Y\; /\; X)\; (U)\; =\; \backslash \; \{s:\; U\; \backslash \; to\; Y,\; f\; \backslash \; circ\; s\; =\; \backslash \; operatorname\; \{id\}\; \_\; \{U\}\; \backslash \}.\}$

Любые такие $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$обычно называется разделом из $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, и этот пример является причиной того, почему элементы в $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\}$обычно называют разделами. Эта конструкция особенно важна, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является проекцией пучка волокон на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций - это участки тривиального пучка . Другой пример: связка разделов

$C\; \setminus \; \{0\}\; \to \; exp\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; backslash\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; exp\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\; \}\}$

- это связка, которая присваивает любому $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$набор ветвей комплексного логарифма на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \}$.

Для точки x и абелевой группы S, пучок небоскребов Sxопределяется следующим образом: если U - открытое множество, содержащее x, то S x (U) = S.Если U не содержит x, то S x (U) = 0, тривиальная группа. Карты ограничений являются либо идентичными на S, если оба открытых множества содержат x, либо нулевым отображением в противном случае.

Пучки на многообразиях

На n-мерном C-многообразии M существует ряд важных пучков, таких как пучок j-раз непрерывно дифференцируемых функций $OM\; j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{M\}\; ^\; \{j\}\}$(с j ≤ k). Его участки на некотором открытом U - это C-функции U → R . Для j = k этот пучок называется структурным пучком и обозначается $O\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{M\}\}$. Ненулевые функции C также образуют пучок, обозначаемый $OX\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$. Дифференциальные формы (степени p) также образуют связка Ω M. Во всех этих примерах ограничивающие морфизмы задаются ограничивающими функциями или формами.

Назначение, отправляющее U функциям с компактным носителем на U, не является связкой, поскольку в общем случае нет способа сохранить это свойство, переходя к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это формирует пучок, двойную концепцию, в которой карты ограничений идут в противоположном направлении, чем для пучков. Однако, взяв двойное этих векторных пространств, мы получаем пучок, пучок распределений.

Предварительные пучки, которые не являются пучками

В дополнение к постоянному предварительному пучку, упомянутому выше, который обычно не является пучком, есть другие примеры предварительных пучков, которые не являются пучками:

• Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет двухточечным топологическим пространством $\{x,\; y\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x,\; y\; \backslash \}\}$с дискретной топологией. Определите предварительный пучок $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$следующим образом: F (∅) = {∅}, F ({x}) = R, F ({y}) = R, F ({x, y}) = R× R× R. Отображение ограничения F ({x, y}) → F ({x}) является проекцией R× R× Rна его первую координату, а отображение ограничения F ({x, y}) → F ({y}) является проекция R× R× Rна его вторую координату. $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это предварительный пучок, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела над {x} и {y} определяют только два из эти числа. Таким образом, хотя мы можем склеить любые две секции поверх {x} и {y}, мы не можем склеить их однозначно.
• Пусть $X\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$будет вещественной линией, и пусть $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\}$будет набором ограниченных непрерывных функций на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Это не связка, потому что не всегда можно приклеить. Например, пусть U i будет набором всех x таких, что | x | < i. The identity function f(x) = x is bounded on each Ui. Следовательно, мы получаем участок s i на U i. Однако эти участки не склеивают, потому что функция f не ограничена на вещественной прямой. Следовательно, F - предпучок, а не пучок. Фактически, F разделен, потому что это подпучок пучка непрерывных функций.

Мотивирующие пучки из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одна из исторических мотиваций для пучков пришла из изучения комплексные многообразия, комплексная аналитическая геометрия и теория схем из алгебраической геометрии. Это потому, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$вместе со структурным пучком $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$придавая ему структуру сложного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. Ниже).

Технические проблемы со сложными коллекторами

Одной из главных исторических причин для внедрения шкивов было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на сложных коллекторах. Например, на компактном комплексном многообразии $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$(например, комплексное проективное пространство или однородный многочлен ), единственными голоморфными функциями

$f:\; X\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$

являются функции констант. Это означает, что могут существовать два компактных комплексных многообразия $X,\; X\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; X,\; X\text{'}\}$, которые не изоморфны, но, тем не менее, их кольцо глобальных голоморфных функций, обозначенное $H\; (\; X),\; H\; (X\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (X),\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (X\text{'})\}$, изоморфны. Сравните это с гладкими многообразиями, где каждое многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$может быть встроено в некоторый $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\}\; \}$, следовательно, это кольцо гладких функций $C\; \infty \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M)\}$происходит от ограничения гладких функций из $С\; \infty \; (RN)\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\})\}$. Еще одна сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, когда задано достаточно маленькое открытое множество $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; X\}$, голоморфные функции будут изоморфны $H\; (U)\; \cong \; H\; (C\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (U)\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\})\}$. Пучки - прямой инструмент для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру в нижележащем топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$на произвольных открытых подмножествах $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \backslash \; подмножество\; X\}$. Это означает, что по мере того, как $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$становится более сложным топологически, кольцо $H\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (U)\}$можно выразить путем склеивания $H\; (U\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (U\_\; \{i\})\}$. Обратите внимание, что иногда эта связка обозначается $O\; (-)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-)\}$или просто $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}.\; \}$или даже $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$, когда мы хотим выделить пространство, с которым связан структурный пучок.

Следящие подмногообразия со связками

Другой общий пример пучков может быть построен, рассматривая комплексное подмногообразие $Y\; \hookrightarrow \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; hookrightarrow\; X\}$. Имеется связанная связка $OY\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\}\}$, которая принимает открытое подмножество $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; X\}$и дает кольцо голоморфных функций на $U\; \cap \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; cap\; Y\}$. Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует множество гомологической алгебры, такой как когомологии пучков, поскольку теория пересечений может быть построена с использованием эти виды пучков из формулы пересечения Серра.

Операции с пучками

Морфизмы

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая не имеет дополнительной структуры, морфизмы пучков - это те функции, которые сохраняют структуру, присущую пучкам. Эта идея уточняется в следующем определении.

Пусть F и G - два пучка на X. морфизм $\phi :\; G\; \to \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; G\; \backslash \; to\; F\}$состоит морфизма $\phi \; U:\; G\; (U)\; \to \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{U\}:\; G\; (U)\; \backslash \; to\; F\; (U)\}$для каждого открытого множества U X при условии, что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества V открытого множества U следующая диаграмма коммутативна.

$G\; (U)\; \to \; \phi \; UF\; (U)\; r\; V,\; U\; \downarrow \; \downarrow \; r\; V,\; UG\; (V)\; \to \; \phi \; VF\; (V)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcl\}\; G\; (U)\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; quad\; \backslash \; varphi\; \_\; \{U\}\; \backslash \; quad\}\}\; F\; (U)\; \backslash \backslash \; r\_\; \{V,\; U\}\; \{\backslash \; Biggl\; \backslash \; downarrow\}\; \{\backslash \; Biggl\; \backslash \; downarrow\}\; r\_\; \{V,\; U\}\; \backslash \backslash \; G\; (V)\; \{\backslash \; xrightarrow\; [\{\backslash \; quad\; \backslash \; varphi\; \_\; \{V\}\; \backslash \; quad\}]\; \{\}\}\; и\; F\; (V)\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на R: $OR\; n\; \to \; OR\; n-\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\; ^\; \{n-1\}.\}$Действительно, учитывая (n-кратно непрерывно дифференцируемую) функцию $f:\; U\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$(с U в R открытое), ограничение (на меньшее открытое подмножество V) его производной равно производной от $f\; |\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; |\; \_\; \{V\}\}$.

С этим понятием морфизма пучки на фиксированном топологическом пространстве X образуют категорию. Следовательно, могут быть общие категориальные понятия моно-, эпи- и изоморфизмов правил к пучкам. Морфизм связки $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$является изоморфизмом (соотв. Мономорфизмом) тогда и только тогда, когда каждый $\phi \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{U\}\}$- биекция (соответственно инъективное отображение). Более того, морфизм пучков $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует открытая крышка $\{U\; \alpha \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \}\}$такие, что $\phi \; |\; U\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; |\; \_\; \{U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$- изоморфизмы пучков для всех $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$. Это утверждение, которое также верно для мономорфизмов, но не верно для предпучков, является еще одним примером идеи о том, что пучки имеют локальную природу.

Соответствующие утверждения не верны для эпиморфизмов (пучков), и отказ измеряется когомологией пучка.

Стебли пучка

стебель $F\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{x\}\}$связки $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$фиксирует свойства пучка "вокруг" точки x ∈ X, обобщенная ростки функций. Здесь «вокруг» означает, что, концептуально говоря, каждый смотрит на все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-то ограничения. Точнее, ножка определяется как

$F\; x\; =\; lim\; \to \; U\; \ni \; x\; \; F\; (U),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; \backslash \; varinjlim\; \_\; \{U\; \backslash \; ni\; x\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\}\; (U),\}$

прямой предел по всем открытым подмножествам X, содержащим установленную точку x. Другими словами, элемент стебля задается участком над некоторой ошибкой.

Естественный морфизм F (U) → F x перевод сечение s в F (U) в его росток в точке x. Это обобщает обычное определение ростка.

. Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы управлять самим снопом. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле связаны ее стебли, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация, представленная в связке, т. Е. Глобальные разделы, т. Е. Разделы $F\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X)\}$на все пространство X, как правило, несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия X глобальные сечения пучка голоморфных функций равны C, поскольку любая голоморфная функция

$X\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}$

константа согласно теореме Лиувилля.

Превращение предпучка в пучок

Часто бывает взять данные, содержащиеся в предпучке, и выразить их как связка. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Он берет предварительный пучок F и создает новый пучок aF, называемый связкой или связкой, связанный с предварительным пучком F. Например, связка постоянного пучка (см. Выше) называется постоянным пучком. Несмотря на название, его разделы являются локально постоянными функциями.

Пучок aF может быть построен с использованием этального пространства F, а именно как пучок секций отображения

$S\; pe\; (F)\; \to \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Spe\}\; (F)\; \backslash \; to\; X.\}$

Другое построение пучка aF продолжается с помощью функтора L от предпучков к предпучкам, что постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка F LF - это отдельный предпучок, а для любого отделенного предпучка F LF - это пучок. Соответствующий пучок aF задается LLF.

Идея о том, что пучок aF является наилучшим возможным приближением к F пучком, уточняется с использованием следующего универсальных свойств : существует естественное морфизм предпучков $i:\; F\; \to \; a\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; двоеточие\; F\; \backslash \; to\; aF\}$так, что для любого пучка G и любого морфизма предпучков $f:\; F\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; F\; \backslash \; to\; G\}$, существует уникальный морфизм связок $f\; ~:\; a\; F\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\; \backslash \; двоеточие\; aF\; \backslash \; rightarrow\; G\}$такой, что $f\; =\; f\; ~\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\; i\}$. Фактически a - левый сопряженный функтор к функтору включения (или забывчивый функтор ) из категории пучков в категории предпучков, а i - это единица примыкания. Таким образом, категория пучков превращается в подкатегорию Жиро предварительных пучков. Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор пучков появляется при построении коядров морфизмов пучков или тензорных произведений пучков, но не, скажем, для ядер.

Подпучки, фактор-пучки

Если K - подсучок пучка F абелевых групп, то фактор-пучок Q - это пучок к предпучку $U\; \mapsto \; F\; (U)\; /\; К\; (U)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; F\; (U)\; /\; K\; (U)\}$; словами, фактор-пучок укладывается в точную последовательность пучков других абелевых групп;

$0\; \to \; K\; \to \; F\; \to \; Q\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; K\; \backslash \; to\; F\; \backslash \; to\; Q\; \backslash \; to\; 0.\}$

(это также называется расширением связки.)

Пусть F, G пучки абелевых групп. Множество $U\; \mapsto \; Hom\; \; (F,\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (F,\; G)\}$морфизмов пучков из F в G образует абелеву группу (по абелевой групповой структуре группы G). пучок hom из F и G, обозначенный

$H\; om\; (F,\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Hom\}\}\; (F,\; G)\}$

, является пучком абелевы группы $U\; \mapsto \; Hom\; \; (F\; |\; U,\; G\; |\; U)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (F\; |\; \_\; \{U\},\; G\; |\; \_\; \{U\})\}$где $F\; |\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; |\; \_\; \{U\}\}$- связка на U, заданная как $(F\; |\; U)\; (V)\; =\; F\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; |\; \_\; \{U\}))\; (V)\; =\; F\; (V)\}$(обратите внимание, что связка здесь не требуется). Прямая сумма F и G - это пучок, заданный формулой $U\; \mapsto \; F\; (U)\; \oplus \; G\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; F\; (U)\; \backslash \; oplus\; G\; (U)\}$, а тензорное произведение F и G - это связка, связанная предварительным пучком $U\; \mapsto \; F\; (U)\; \otimes \; G\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; F\; (U)\; \backslash \; otimes\; G\; (U)\}$.

Все из этих операции распространяются на связки модулей над связкой колец A; вышеупомянутое является частным случаем, когда A является связкой констант $Z\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\}\}$.

Базовая функциональность

Временные данные ( пред-) пучка зависит от открытых подмножеств базового пространства, пучки на различных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывное отображение f: X → Y между двумя топологическими пространствами, прямой и обратный вызовют пучки на X с пучками на Y и наоборот.

Прямое изображение

Прямое изображение (также известное как прямое изображение ) связки $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на X - это пучок, определенная как

$(f\; \ast \; F)\; (V)\; =\; F\; (f\; -\; 1\; (V)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; (V)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (V)).\}$

Здесь V - открытое подмножество Y, так что его прообраз открыт в X в силу непрерывности f. Эта конструкция восстанавливает связку небоскреба $S\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\}$, упомянутую выше:

$S\; x\; =\; i\; \ast \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\; =\; i\; \_\; \{\; *\}\; (S)\}$

где $i:\; \{x\}\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; \backslash \; to\; X\}$- включение, а S рассматривается как пучок на синглтоне (по $S\; (\{\ast \})\; =\; S,\; S\; (\varnothing )\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; \{*\; \backslash \})\; =\; S,\; S\; (\backslash \; emptyset)\; =\; \backslash \; emptyset\}$.

Для карты между локально компактными пространствами прямое изображение с компактной опорой является подпучком прямого изображения. По определению, $(f!\; F)\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \_\; \{!\}\; \{\backslash \; Mathcal\; \{F\}\})\; (V)\}$состоит из тех $f\; \in \; F\; (f\; -\; 1\; (V))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (V))\}$чья поддержка составляет правильное отображение над V. f равно собственно, тогда $f!\; F\; =\; f\; *\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{!\}\; \{\backslash \; Mathcal\; \{F\}\}\; =\; f\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, но в целом они не согласны.

Инверсно е изображение550>

Откат или инверсное изображение идет другой: он создает связку на X, обозначенную $f\; -\; 1\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\; \}\}\}$из связки $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$на Y. f является включением открытого подмножества, то обратное изображение является просто ограничением, т. е. задается как $(е\; -\; 1\; г)\; (U)\; =\; G\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; (U)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (U)\}$для открытого U в X. Связка F (в некотором пространстве X) называется локально постоянной, если $X\; =\; \bigcup \; i\; \in \; IU\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; U\_\; \{i\}\}$некоторыми открытыми подмножествами $U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\}$такими, что ограничение F на все эти открытые подмножества постоянны. В широком диапазоне топологических пространств X такие пучки являются эквивалентными - представлениями фундаментальной группы $\pi \; 1\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (X)\}$.

Для общих карт f определение $f\; -\; 1\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$является более вовлеченный; это подробно описано в функторе обратного изображения. Стержень является существенным частным случаем отката ввиду естественной идентификации, где i такое же, как указано выше:

$G\; x\; =\; i\; -\; 1\; G\; (\{x\}).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; i\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (\backslash \; \{x\; \backslash \}).\}$

В общем, стебли удовлетворяют $(f\; -\; 1\; г)\; Икс\; знак\; равно\; Г\; е\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (е\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \_\; \{f\; (x)\}\}$.

Расширение на ноль

Для включения $j:\; U\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; j:\; U\; \backslash \; to\; X\}$открытого подмножества, пучка абелевых групп на U определяется как

$(j!\; F)\; (V)\; =\; F\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; (j\; \_\; \{!\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; (V)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (V)\}$, если $V\; \subset \; U\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; \backslash \; subset\; U\}$и $(j!\; F)\; (V)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (j\_\; \{!\; \}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; (V)\; =\; 0\}$в противном случае.

Для связки $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$на X эта конструкция в некотором смысле дополняет $i\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \_\; \{*\}\}$, где $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$- включение дополнения к U:

$(j!\; j\; \ast \; G)\; x\; =\; G\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (j\; \_\; \{!\}\; j\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; G\}\}\; \_\; \{x\}\}$для x в U, а в противном случае стержень равен нулю то есть, а

$(я\; *\; я\; *\; G)\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (i\; \_\; \{*\}\; i\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; \_\; \{x\}\; =\; 0\}$для x в U и равняется $G\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \_\; \{x\}\}$в противном случае.

Эти функторы поэтому полезны для сокращения теоретико-пучковых вопросов X в единицы на стратах стратификации , т. Е. Разложения X на более мелкие, локально замкнутые подмножества.

Дополняет

связки в более общих категориях

В дополнение к (предварительным) связкам, как описано выше, где $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (U)\}$- это просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру в этих разделах. Например, секции пучка непрерывных функций естественным образом образуют реальное векторное пространство, а ограничение - это линейное отображение между этими векторными пространствами.

Предварительные пучки со значениями в произвольной категории C определяются, сначала рассматривая категорию открытых множеств на X как позиционную категорию O (X), объектами которой являются открытые множества X и морфизмы которых являются включениями. Тогда C-значный предпучок на X - это то же самое, что контравариантный функтор из O (X) в C. Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования, являются такие же, как морфизмы, определенные выше, что можно увидеть, распутывая определения.

Если целевая категория C допускает все пределы, предварительный пучок с C-значением является связкой, если следующая диаграмма является эквалайзером :

$F\; (U)\; \to \; \prod \; i\; F\; (U\; i)\; ⟶\; ⟶\; \prod \; i,\; j\; F\; (U\; i\; \cap \; U\; j).\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (U)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\}\; F\; (U\_\; \{i\})\; \{\{\{\}\; \backslash \; atop\; \backslash \; longrightarrow\}\; \backslash \; atop\; \{\backslash \; longrightarrow\; \backslash \; atop\; \{\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i,\; j\}\; F\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}).\}$

Здесь первое отображение является произведением ограничительных отображений

$res\; U\; i,\; U:\; F\; (U)\; \to \; F\; (U\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U\_\; \{i\},\; U\}\; \backslash \; двоеточие\; F\; (U)\; \backslash \; rightarrow\; F\; (U\_\; \{i\})\}$

, а пара стрелок - произведения двух наборов ограничений

$res\; U\; я\; \cap \; U\; J,\; U\; я:\; F\; (U\; я)\; \to \; F\; (U\; я\; \cap \; U\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\},\; U\_\; \{i\}\}\; \backslash \; двоеточие\; F\; (U\_\; \{i\})\; \backslash \; rightarrow\; F\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\})\}$

и

$res\; U\; i\; \cap \; U\; j,\; U\; j:\; F\; (U\; j)\; \to \; F\; (\; U\; i\; \cap \; U\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\},\; U\_\; \{j\}\}\; \backslash \; двоеточие\; F\; (U\_\; \{j\})\; \backslash \; rightarrow\; F\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}).\}$

Если C является абелевой категорией, это условие также можно перефразировать, потребовав наличия точной последовательности

$0\; \to \; F\; (U)\; \to \; \prod \; i\; F\; (U\; i)\; \to \; res\; U\; i\; \cap \; U\; j,\; U\; i\; -\; res\; U\; i\; \cap \; U\; j,\; U\; j\; \prod \; i,\; j\; F\; (U\; i\; \cap \; U\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; F\; (U)\; \backslash \; to\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\}\; F\; (U\_\; \{i\})\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\},\; U\_\; \{i\}\; \}\; -\; \backslash \; operatorname\; \{res\}\; \_\; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\},\; U\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i,\; j\}\; F\; (U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}).\}$

Частный случай этого состояния связки возникает, когда U является пустым набором, а индексный набор I также пуст. В этом случае условие связки требует, чтобы $F\; (\varnothing )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\backslash \; emptyset)\}$был конечным объектом в C.

Окольцованные пространства и связки модулей

В некоторых геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию, пространства объединяются с естественным пучком колец, часто называемых структурным пучком и обозначаемых $OX)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$. Такая пара $(X,\; O\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$называется окольцованным пространством. Многие виды пространств можно определить как типы окольцованных пространств. Обычно все стебли $OX,\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X,\; x\}\}$структурного пучка являются локальными кольцами, в этом случае пара называется локально окольцованным пространством.

Например, n-мерное C-многообразие M - это локально окольцованное пространство, структурный пучок которого из $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$-функций на открытые подмножества в M. Свойство быть локально окольцованным пространством означает, что такая функция, отличная от точки в точке x, также не равна нулю в достаточно малой открытой окрестности точки x. Некоторые элементы определяют действительные (или комплексные) совокупность как локально окольцованные пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$(соотв. $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$) вместе со связкой C (соотв. Голоморфных) функций.. Аналогично, Schemes, основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии - это локально окольцованные пространства, которые локально изоморфны спектру кольца.

Для данного окольцованного пространства пучок модулей является пучком $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$такой, что на каждом открытом множестве U из X, $M\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; (U)\}$является $OX\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (U)\}$-модулем, и для каждого включения открытых множеств V ⊆ U карта ограничений $M\; (U)\; \to \; M\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; (U)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathca\; l\; \{M\}\}\; (V)\}$совместима с отображением ограничения O (U) → O (V): ограничение fs - это ограничение f, умноженное на ограничение s для любых f в O (U) и s в F (U).

Важнейшие геометрические объекты - это связки модулей. Например, существует взаимно однозначное соответствие между векторными пучками и локально свободными пучками из $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$-модули. Эта парадигма применяется к действующим векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям алгебраической системы (где $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки дифференциальных соотношений являются D-модулями, есть модулями пуч надком дифференциальных операторов. В любом топологическом пространстве модулей над постоянным пучком $Z\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\}\}$такие же, как пучки абелевых групп в смысле выше.

Существует другой функтор прообраза для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначается $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\}$и отличается от $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$. См. функтор обратного изображения.

Условия конечности для пучков модулей

Условие, что модуль конечно порожден или конечно представим, также может быть сформулировано для пучка модулей. $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$является конечно порожденным, если для каждой точки x точка X существует открытая имя U точки x, естественное число n (возможно, зависит от U) и сюръективный морфизм пучков $OX\; n\; |\; U\; \to \; M\; |\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{n\}\; |\; \_\; \{U\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; |\; \_\; \{U\}\}$. Аналогично, $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$конечно представимым, если, кроме того, существует натуральное число m (опять же, возможно, зависит от U) и морфизм пучков $OX\; m\; |\; U\; \to \; O\; X\; n\; |\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{m\}\; |\; \_\; \{U\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{n\}\; |\; \_\; \{U\}\}$такая, что последовательность морфизмов $OX\; m\; |\; U\; \to \; O\; X\; n\; |\; U\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{m\}\; |\; \_\; \{U\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{n\}\; |\; \_\; \{U\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$точно. Эквивалентно ядро ​​морфизма $O\; X\; n\; |\; U\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{n\}\; |\; \_\; \{U\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$сам является конечно порожденным пучком.

Но это не единственные возможные условия конечности пучка. Важнейшим условием конечности пучка является когерентность. $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$является когерентным, если он имеет конечный тип и если для каждого отдельного множества U и каждого морфизма пучков $\varphi \; :\; OX\; n\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi:\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$(не обязательно сюръективно), ядро ​​функции φ конечного типа. $O\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$является последовательным, если он связан как модуль над собой. Обратите внимание, что согласованность - это строго более сильное условие, чем конечное представление: $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$всегда конечно представление как модуль над самим собой, но это не всегда внятно. Например, пусть X будет точкой, пусть $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$будет кольцом R = C[x1, x 2,...] комплексных многочленов от счетного числа неопределенных. Выберите n = 1 и в качестве морфизма φ возьмите карту, которая переводит каждую переменную в ноль. Ядро этой карты не создается конечным образом, поэтому $O\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$некогерентно.

Этальное пространство пучка

В приведенных выше примерах было принято, что некоторые пучки имеют естественным образом как пучки секций. Фактически, все пучки множеств могут быть представлены как пучки секций топологического пространства, называемого пространством эталью, от французского слова этал, что означает примерно «разложенный». Если $F\; \in \; Sh\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; (X)\}$является связкой над $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда этальное пространство в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является топологическим пространством $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$вместе с локальный гомеоморфизм $\pi :\; E\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; to\; X\}$такой, что связка секций $\Gamma \; (\pi ,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\; \backslash \; pi,\; -)\}$из $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$равно $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$. Пространство $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$обычно очень странное, и даже если связка $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$возникает из естественной топологической ситуации, $E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; E\}$может не иметь четкой топологической интерпретации. Например, если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это связка секций непрерывной функции $f:\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; Y\; \backslash \; to\; X\}$, тогда $E\; =\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; Y\}$тогда и только тогда, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является локальным гомеоморфизмом.

Этальное пространство $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$состоит из стеблей $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$. Как набор, это их непересекающееся объединение и $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- очевидная карта, которая принимает значение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$на стебле $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$на $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$. Топология $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$определяется следующим образом. Для каждого элемента $s\; \in \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; F\; (U)\}$и каждого $x\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; U\}$, мы получаем росток $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, обозначенный $[s]\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; [s]\; \_\; \{x\}\}$или $sx\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{x\}\}$. Эти микробы определяют точки $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$. Для любых $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $s\; \in \; F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; F\; (U)\}$объединение этих точек (для всех $x\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; U\}$) объявляется открытым в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$. Обратите внимание, что каждый стержень имеет дискретную топологию в качестве топологии подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих пространств этале, которое совместимо с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор.

Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и категорией эталевых пространств над $Х\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$. Построение этального пространства также может быть применено к предварительному пучку, и в этом случае связка секций этального пространства восстанавливает связку, связанную с данным предварительным пучком.

Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$будет связкой на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, пусть $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$- его этальное пространство, и пусть $\pi :\; E\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; to\; X\}$- естественная проекция. Рассмотрим overcategory $Top\; /\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Top\}\}\; /\; X\}$топологических пространств над $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, то есть категория топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Каждый объект этой категории представляет собой непрерывную карту $f:\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; Y\; \backslash \; to\; X\}$и морфизм от $Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; до\; X\}$в $Z\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; to\; X\}$- непрерывная карта $Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; to\; X\}$, который коммутирует с двумя картами в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Существует функтор

$\Gamma :\; Top\; /\; X\; \to \; Sets\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma:\; \{\backslash \; text\; \{Top\}\}\; /\; X\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Sets\}\}\}$

, отправляющий объект $f:\; Y\; \to \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; f:\; Y\; \backslash \; к\; X\}$до $f\; -\; 1\; F\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; F\; (Y)\}$. Например, если $i:\; U\; \hookrightarrow \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; U\; \backslash \; hookrightarrow\; X\}$является включением открытого подмножества, то

$\Gamma \; (i)\; =\; f\; -\; 1\; F\; (\; U)\; знак\; равно\; F\; (U)\; знак\; равно\; \Gamma \; (F,\; U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (i)\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; F\; (U)\; =\; F\; (U)\; =\; \backslash \; Gamma\; (F,\; U)\}$

и для включения точки $i:\; \{x\}\; \hookrightarrow \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; \backslash \; hookrightarrow\; X\}$, тогда

$\Gamma \; (i)\; =\; f\; -\; 1\; F\; (\{x\})\; =\; F\; |\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (i)\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; F\; (\backslash \; \{x\; \backslash \})\; =\; F\; |\; \_\; \{x\}\}$

- стебель $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Существует естественный изоморфизм

$(f\; -\; 1\; F)\; (Y)\; \cong \; Hom\; T\; op\; /\; X\; \; (f,\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; F)\; (Y)\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\; \}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Top\}\; /\; X\}\; (f,\; \backslash \; pi)\}$,

который показывает, что $\pi :\; E\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; to\; X\}$( для пространства этале) представляет функтор $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$.

$E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, построенный так, что карта проекции $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- это карта покрытия. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальным морфизмом. Несмотря на сходство с «étalé», слово étale во французском языке имеет другое значение. Можно превратить $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$в схему и $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$в морфизм схем таким образом, что $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$сохраняет то же универсальное свойство, но $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$в общем не этальный морфизм, потому что он не квазиконечен. Однако это, однако, формально этале.

Определение пучков эталонными пространствами старше, чем определение, данное ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ.

когомология пучка

В контекстах, где открытое множество U фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество F (U) также часто обозначают $\Gamma \; (U,\; F).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (U,\; F).\}$

Как было отмечено выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмы. Вместо этого эпиморфизм пучков $F\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$представляет собой карту со следующим свойством: для любого сечения $g\; \in \; G\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (U)\}$есть покрытие $U\; =\; \{U\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\; =\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$где

$U\; =\; \bigcup \; i\; \in \; IU\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{\; i\; \backslash \; in\; I\}\; U\_\; \{i\}\}$

открытых подмножеств, таких что ограничение $g\; |\; U\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; |\; \_\; \{U\_\; \{i\}\}\}$находятся в образе $F\; (U\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (U\_\; \{i\})\; \}$. Однако сам g не обязательно должен находиться в образе $F\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (U)\}$. Конкретный пример этого явления - экспоненциальное отображение

$O\; \to \; exp\; O\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; exp\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; ^\; \{\backslash \; раз\}\}$

между пучком голоморфных функций и ненулевых голоморфных функций. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция g (скажем, на некотором открытом подмножестве в C ) допускает комплексный логарифм локально, т. Е. После ограничение g соответствующими открытыми подмножествами. Однако g не обязательно иметь глобальный логарифм.

Когомология снопов отражает это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп

$0\; \to \; F\; 1\; \to \; F\; 2\; \to \; F\; 3\; \to \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{1\; \}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; to\; 0,\}$

(т. е. эпиморфизм $F\; 2\; \to \; F\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{3\}\}$, ядро ​​которого $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{1\}\}$) существует длинная точная последовательность

$0\; \to \; \Gamma \; (U,\; F\; 1)\; \to \; \Gamma \; (U,\; F\; 2)\; \to \; \Gamma \; (U,\; F\; 3)\; \to \; H\; 1\; (U,\; F\; 1)\; \to \; H\; 1\; (U,\; F\; 2)\; \to \; H\; 1\; (U,\; F\; 3)\; \to \; H\; 2\; (U,\; F\; 1)\; \to \dots \; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; \backslash \; к\; \backslash \; Gamma\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; to\; \backslash \; Gamma\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{2\})\; \backslash \; to\; \backslash \; Gamma\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{3\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{2\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{3\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; to\; \backslash \; dots\}$

Посредством этой последовательности первая группа когомологий $H\; 1\; (U,\; F\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{1\})\}$- мера для не- сюръективность карты между разделами $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{2\}\}$и $F\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{3\}\}$.

Есть несколько различные способы построения когомологий пучков. Гротендик (1957) представил их, определив когомологии пучков как производный функтор от $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$. Этот метод теоретически удовлетворителен, но, поскольку он основан на разрешающей способности, мало применим в конкретных вычислениях. Разрешение годемента - еще один общий, но практически недоступный подход.

Вычисление когомологий пучков

Особенно в контексте пучков на многообразиях когомологии пучков часто могут быть вычислены с использованием разрешающей способности мягких пучков, мелких пучков, и дряблые связки (также известные как flasque-связки от французского flasque, что означает дряблый). Например, аргумент единицы единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии мягкий. Группы высших когомологий $H\; i\; (U,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$для $i>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i>0\}$исчезают для мягких пучков, что дает возможность вычислять когомологии других пучков. Например, комплекс де Рама является разрешением постоянного пучка $R\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}\}\}$на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучка $R\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\}\}$равна его когомологиям де Рама.

Другой подход - когомологии Чеха. Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисления когерентные когомологии пучка комплексного проективного пространства $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\}$. Это связывает сек на открытых подмножествах пространства классам когомологий на пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и когомологии производных функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха будут давать правильные $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\}$, но неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытие. Гиперпокрытия не только дают правильные высшие группы когомологий, но также позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества на определенные морфизмы из другого пространства. Эта гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как построение смешанных структур Ходжа Пьера Делиня .

Многие другие когерентные группы когомологий пучков находятся с использованием вложения $i:\; X\; \hookrightarrow \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; X\; \backslash \; hookrightarrow\; Y\}$из пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в пространство с известной когомологией, например $P\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\}$, или какое-то взвешенное проективное пространство. Таким образом, известные группы когомологий пучков на этих объемных пространствах могут быть связаны с пучками $i\; \ast \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$, давая $ЧАС\; я\; (Y,\; я\; *\; F)\; \cong \; ЧАС\; я\; (Икс,\; F)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{я\}\; (Y,\; я\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$. Например, легко найти когомологию когерентного пучка проективных плоских кривых. Одна большая теорема в этом пространстве - это разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности , связанной с группами когомологий пучка, доказанное Делинем. По сути, страница $E\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\}$с терминами

$E\; 1\; p,\; q\; =\; H\; p\; (X,\; \Omega \; X\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\; \}\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; H\; ^\; \{p\}\; (X,\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{q\})\}$

когомологии пучка гладкого проективного многообразия $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, вырождается, что означает $E\; 1\; =\; E\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; =\; E\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$. Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий $H\; k\; (X,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$. Позже было обнаружено, что эти группы когомологий могут быть легко вычислены явно с использованием вычетов Гриффитса. См. идеал Якоби. Эти виды теорем приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий, теореме о разложении, прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа.

Еще один чистый подход к вычислению некоторых когомологий групп - это теорема Бореля – Ботта – Вейля, которая идентифицирует группы когомологий некоторых линейных расслоений на флаговых многообразиях с неприводимыми представлениями Группы Ли. Эту теорему можно использовать, например, для простого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективном пространстве и многообразий Грассмана.

Во многих случаях существует теория двойственности для пучков, которая обобщает двойственность Пуанкаре. См. двойственность Гротендика и двойственность Вердье.

Производные категории пучков

производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некоторых пространство X, обозначенное здесь как $D\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (X)\}$, является концептуальным убежищем для когомологий пучков в силу следующего соотношения:

$H\; n\; (X,\; F)\; =\; Hom\; D\; (X)\; \; (Z,\; F\; [n]).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{D\; (X)\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [n]).\}$

Примыкание между $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$, которое является левым сопряженным к $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\}$(уже на уровне пучков абелевых групп) порождает присоединение

$f\; -\; 1:\; D\; (Y)\; \rightleftarrows \; D\; (X):\; R\; f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\; \}:\; D\; (Y)\; \backslash \; rightleftarrows\; D\; (X):\; Rf\; \_\; \{*\}\}$(для $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$),

где $R\; f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\; \_\; \{*\}\}$- производный функтор. Этот последний функтор охватывает понятие когомологий пучка, поскольку $H\; n\; (X,\; F)\; =\; R\; nf\; \ast \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; R\; ^\; \{n\}\; f\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$для $f:\; X\; \to \; \{\; \ast \}\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; \{*\; \backslash \}\}$.

Подобно $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\}$, прямое изображение с компактной опорой $f\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{!\}\}$также может быть получен. В силу следующего изоморфизма $R\; f!\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\; \_\; \{!\}\; F\}$параметризует когомологии с компактной опорой волокон из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$:

$(R\; i\; f!\; F)\; y\; =\; H\; c\; i\; (f\; -\; 1\; (y),\; F).\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; ^\; \{i\}\; f\; \_\; \{!\}\; F)\; \_\; \{y\}\; =\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{i\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y),\; F).\}$

Этот изоморфизм пример теоремы об изменении базы . Есть еще одно присоединение

$R\; f!\; :\; D\; (X)\; \rightleftarrows \; D\; (Y):\; е!.\; \{\backslash \; displaystyle\; Rf\; \_\; \{!\}:\; D\; (X)\; \backslash \; rightleftarrows\; D\; (Y):\; f\; ^\; \{!\}.\}$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного изображения $f!\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{!\}\}$в общем случае определяется только на уровне производных категорий, т. е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если $f:\; X\; \to \; \{\ast \}\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; \{*\; \backslash \}\}$и X - гладкое ориентируемое многообразие размерности n, то

$ж!\; R\; \_\; \cong \; R\; \_\; [n].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{!\}\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{R\}\}\}\; [n].\}$

Это вычисление и совместимость функторов с двойственность (см. двойственность Вердье ) может быть использована для получения резкого объяснения двойственности Пуанкаре. В контексте квазикогерентных пучков на схемах существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность.

Извращенные пучки - определенные объекты в $D\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (X)\}$, т. Е. Комплексы пучков (но не собственно пучки вообще). Они являются важным инструментом для изучения геометрии сингулярностей.

Производные категории когерентных пучков и группы Гротендика

Еще одно важное применение производных категорий пучков - это производная категория когерентных связки на схеме $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$обозначены $DC\; oh\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{Coh\}\; (X)\}$. Это было использовано Гротендиком при разработке теории пересечений с использованием производных категорий и K-теории, то есть произведение пересечений подсхем $Y\; 1,\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{1\},\; Y\_\; \{2\}\}$представлены в K-теории as

$[Y\; 1]\; \cdot \; [Y\; 2]\; =\; [OY\; 1\; \otimes \; OXLOY\; 2]\; \in \; К\; (Coh\; (X))\; \{\backslash \; displaystyle\; [Y\_\; \{1\}]\; \backslash \; cdot\; [Y\_\; \{2\}]\; =\; [\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\_\; \{1\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\; \}\; \_\; \{X\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{L\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\_\; \{2\}\}]\; \backslash \; in\; K\; (\{\backslash \; text\; \{Coh\; (X)\}\})\}$

где $OY\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{Y\_\; \{i\}\}\}$- это когерентные пучки, определенные $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$-модули, заданные их структурными связками.

Сайты и топои

Андре Вейль Гипотезы Вейля высказаны что была теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями, которая дала бы аналог гипотезы Римана. Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии пучка локально постоянного пучка $C\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\}\}$в евклидовой топологии, которая предлагает определить теорию когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии пучка постоянного пучка. Но единственной классической топологией на таком многообразии является топология Зарисского, а топология Зарисского имеет очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого пучка констант Зарисского на неприводимом многообразии исчезают (кроме степени нуль). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика, которые аксиоматизируют понятие покрытия. Гротендик пришел к выводу, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переводит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, а пучок - это предварительный пучок, который удовлетворяет аксиоме склейки в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии, которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля.

Категория с топологией Гротендика называется сайтом. Категория снопов на участке называется топосом или топосом Гротендика. Понятие топоса было позже абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни для определения элементарного топоса, который связан с математической логикой.

История

Первые истоки теории пучков трудно определить - они могут быть совпадают с идеей аналитического продолжения. Понадобилось около 15 лет, чтобы из основополагающей работы по когомологии.

• 1936 Эдуард Чех представил конструкцию нерв, на появление узнаваемой независимой теории пучков потребовалось около 15 лет. связывание симплициального комплекса с открытым покрытием.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологии, резюмируя работы, начиная с J. В. Александер и Колмогоров впервые определили коцепи.
• 1943 Норман Стинрод публикует материалы о гомологии с локальными коэффициентами.
• 1945 Жан Лерэ публикует работу, выполненную в качестве военнопленного, мотивированную доказательством теорем о фиксированной точке для применения к теории PDE ; это начало теории пучков, и спектральные последовательности.
• 1947 Анри Картан опровергает теорему де Рама методами пучков в соответствии с Андре Вейлем (см. теорему Де Рама – Вейля ). Лере дает определение связки в своих курсах через замкнутые множества (более поздние панцири).
• 1948 На семинаре Картана впервые излагается теория пучков.
• 1950 "Второе издание" теории пучков из семинара Картана: используется определение пространства пучков (espace étalé) со структурой stalkwise. Введены опоры и когомологии с опорами. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с этой) связки идеалов, состоящей из нескольких комплексных переменных.
• 1951 г. Семинар Картана доказывает теоремы A и B на основе работы Оки.
• 1953 Теорема конечности для когерентных пучков в аналитической теории доказана Картаном и Жан-Пьером Серром, как и Двойственность Серра.
• 1954 г. Статья Серра Faisceaux algébriques cohérents (опубликована в 1955 г.) вводит пучки в алгебраическую геометрию. Эти идеи немедленно используются Фридрихом Хирцебрухом, который в 1956 г. написал большую книгу по топологическим методам.
• 1955 Александр Гротендик на лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок, а с помощью инъективных разрешений позволяет напрямую использовать когомологии пучков во всех топологических пространствах в качестве производных функторов.
• 1956 Oscar Zariski доклад Теория алгебраических пучков
• 1957 г. Гротендик Статья Тохоку переписывает гомологическую алгебру ; он доказывает двойственность Гротендика (т.е. двойственность Серра для возможно сингулярных алгебраических многообразий).
• 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, введение: схем и общих пучков на них, локальных когомологий, производных категорий (с Вердье) и топологий Гротендика. Возникает также его влиятельная схематическая идея «шести операций » в гомологической алгебре.
• 1958 Опубликована книга Роджера Годемана по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции, которые, как оказалось, будут иметь теоретико-пучковую природу.

В этот момент пучки стали основной частью математики с использованием ни в коем случае не ограничивается алгебраической топологией. Позже было обнаружено, что логика в категориях пучков - это интуиционистская логика (это наблюдение сейчас часто называют семантикой Крипке – Джояла, но, вероятно, следует приписать ряду авторов). Это показывает, что некоторые аспекты теории пучков можно проследить вплоть до Лейбница.

См. Также

• Когерентный пучок
• Герб
• Стек (математика)
• Пучок спектров
• Извращенный пучок
• Предварительный пучок пространств
• Конструируемый пучок

Примечания

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков, Тексты для выпускников по математике, 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94905-5, MR 1481706 (ориентированный на обычные топологические приложения)
• де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). «Что такое извращенная сноп?» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 57(5): 632–634. MR 2664042.
• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, MR 0345092
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d 'algèbre homologique ", The Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 9 : 119–221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, MR 1335917 (обновленное издание классической теории, использующей достаточно теории пучков, чтобы продемонстрировать ее силу)
• Иверсен, Биргер (1986), Когомология связки, Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-82783-9, ISBN 3-540-16389-1, MR 0842190
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 292, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51861-7, MR 1299726 (расширенные методы, такие как производная категория и исчезающие циклы в наиболее подходящих местах)
• Mac Lane, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1994), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0 -387-97710-2, MR 1300636 (теория категорий и топозы выделены)
• Martin, William T.; Черн, Шиинг-Шэнь ; Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о Втором Летнем институте, несколько комплексных переменных», Бюллетень Американского математического общества, 62(2): 79–141, doi : 10.1090 / S0002-9904-1956-10013-X, ISSN 0002-9904, MR 0077995
• Раманан, С. (2005), Global Calculus, Graduate Studies in Mathematics, 65, American Mathematical Society, doi : 10,1090 / gsm / 065, ISBN 0-8218-3702-8, MR 2104612
• Дж. Артур Сибах, Линда А. Сибах и Линн А. Стин (1970) «Что такое сноп», American Mathematical Monthly 77: 681–703 MR 0263073.
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 61 ( 2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969915, MR 0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория снопов, University of Chicago Press (краткие конспекты лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), теория Шифа, Cambridge University Press, MR 0404390 (педагогическое лечение)

Внешние ссылки

• «Шиф». PlanetMath.