Четырехугольник Саккери

редактировать

Четырехугольник с двумя равными сторонами, перпендикулярными основами

Четырехугольники Саккери

A Четырехугольник Саккери (также известный как Хайям– Четырехугольник Саккери ) - это четырехугольник с двумя равными сторонами, перпендикулярными основанием. Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери, который широко использовал его в своей книге Euclides ab omni naevo vindicatus (буквально Евклид, свободный от всякого изъяна), впервые опубликованной в 1733 году, в попытке доказать параллельный постулатулатулату с использованием метода Reductio ad absurdum.

Первое известное рассмотрение четырехугольника Саккери было сделано Омаром Хайямом в конце 11 века, и иногда его можно называть Хайям-Саккери. четырехугольник.

Для четырехугольника Саккери ABCD AD и BC (также называемые стороны) равны по длине и также перпендикулярны основанию AB. Верхний CD - это вершина или верхнее основание, а углы в C и D называются вершинами.

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они очень четко определяют взаимоисключающие варианты:

являются ли вершины прямыми углами, тупыми углами или острые углы?

Как выясняется:

когда углы на вершине прямые, существование этого четырехугольника эквивалентно утверждению, сформулированному в пятом постулате Евклида.
Когда углы на вершине острые, этот четырехугольник приводит к гиперболической геометрии, а
, когда углы на вершине тупые, четырехугольник приводит к эллиптической или сферической геометрии (при условии что также были внесены некоторые другие изменения в постулаты).

Сам Саккери, однако, считал, что и тупые, и острые случаи могут быть противоречивыми. Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом обработать острый случай.

Содержание

1 История
2 Четырехугольники Саккери в гиперболической геометрии
- 2.1 Уравнения
- 2.2 Замощения Пуанкаре модель диска
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки

История

Четырехугольники Саккери впервые были рассмотрены Омаром Хайямом (1048-1131) в конце XI век в книге I «Объяснение трудностей в книге» книга »книга» постулатах Евклида ». В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая, конечно, Саккери), Хайям не пытался доказать параллельный постулат как таковой, а вывести его из эквивалентного постулата, он сформулировал из «принципов философа». "(Аристотель ):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не расходятся в том направлении, в котором они сходятся.

Затем Хайям счел три случая правильными, тупыми, и острый, что вершины четырехугольника, и после доказательства ряда теорем о них, он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Только 600 лет спустя Джордано Витале добился прогресса в отношении Хайяма в своей книге «Евклид реституо» (1680, 1686), когда он использовал четырехугольник, чтобы доказать, что три точки являются равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD

Саккери сам основал все свое длинное и в итоге ошибочное доказательство постулата параллельности вокруг четырехугольника и его трех случаев, доказывая множество теорем о его свойствах.

Четырехугольники Саккери в гиперболической й геометрии

Пусть ABCD будет четырехуголь нико м Саккери, имеющим роль AB в качестве основания, CD в качестве вершины и CA и DB в равных сторон, перпендикулярных оснований. Следующие свойства действительны для любого четырехугольника Саккери в гиперболической геометрии :

Углы вершины (углы в C и D) равны и остры.
Вершина длиннее основания.
Два четырехугольника Саккери конгруэнтны, если:
- сегменты основания и углы вершины совпадают;
- сегменты вершины и углы вершины совпадают.
Отрезок линии, соединяющий среднюю точку основание и середина вершины:
- перпендикулярно основание и вершине,
- - единственная линия симметрии четырехугольника,
- - самый короткий отрезок, соединяющий основание и вершину,
- перпендикулярен линии, соединяющей середины сторон,
- делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта.
Отрезок линии, соединяющий средние точки, не перпендикулярен каждая из сторон.

Уравнения

В гиперболической плоскости кривизны $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ , сумма это $s {\ displaystyle s}$ $s$ четырехугольника Саккери может быть вычислено из ног $l {\ displaystyle l}$ $l$ и основания $b {\ displaystyle b}$ $b$ по формуле

сш ⁡ s знак равно (сш ⁡ б - 1) сш 2 ⁡ л + 1 знак равно сш ⁡ б ⋅ сш 2 ⁡ л - зп 2 ⁡ л {\ Displaystyle \ сш s = (\ ч б-1) \ сш ^ { 2} l + 1 = \ ch b \ cdot \ ch ^ {2} l- \ sinh ^ {2} l}

{\ displaystyle \ cosh s = (\ cosh b-1) \ cosh ^ {2} l + 1 = \ cosh b \ cdot \ cosh ^ {2} l- \ sinh ^ {2} l}

sinh ⁡ (s 2) знак равно сш ⁡ (л) зп ⁡ (б 2) { \ Displaystyle \ зп \ влево ({\ гидроразрыва {s} {2}} \ вправо) = \ ш \ влево (л \ вправо) \ зп \ влево ({\ frac {b} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) = \ сп \ влево (л \ вправо) \ зп \ влево ({\ гидроразрыва {b} {2}} \ вправо)}

Тайлинги в модели диска Пуанкаре

Существуют мозаики модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, имеющие четырехугольники Саккери как фундаментальные области. Помимо двух прямых углов, у этих четырехугольников есть острые вершины. Плитки, обладающие симметрией * nn22 (орбифолд ), включая:

. * симметрию 3322

. * ∞∞22 симметрию

См. Также

четырехугольник Ламберта

Примечания

Список литературы

Coxeter, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4
Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история, 4-е издание, WH Freeman, 2008.
Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости, Springer-Verlag, 1975