Ортодиагональный четырехугольник

Ортодиагональный четырехугольник (желтый). Согласно характеристикам этих четырехугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырехугольника имеют такую ​​же общую площадь, что и два синих квадрата на другой паре противоположных сторон.

В евклидовой геометрии, ортодиагональный четырехугольник - это четырехугольник , в котором диагонали пересекаются под прямыми углами. Другими словами, это четырехсторонняя фигура, на которой отрезки линии между несмежными вершинами являются ортогональными (перпендикулярными) друг другу.

• 1 Особые случаи
• 2 Характеристики
  • 2.1 Сравнение с касательным четырехугольником
• 3 Площадь
• 4 Другие свойства
• 5 Свойства ортодиагональных четырехугольников, которые также являются циклическими
  • 5.1 Круговой радиус и площадь
  • 5.2 Другие свойства
• 6 Бесконечные наборы вписанных прямоугольников
• 7 Ссылки

A воздушный змей - это ортодиагональный четырехугольник, в котором одна диагональ является линией симметрии. Воздушные змеи - это в точности ортодиагональные четырехугольники, содержащие окружность, касательную ко всем четырем сторонам; то есть воздушные змеи представляют собой тангенциальные ортодиагональные четырехугольники.

A ромб - это ортодиагональный четырехугольник с двумя парами параллельных сторон (то есть ортодиагональный четырехугольник, который также является параллелограммом ).

A квадрат - это предельный случай как воздушного змея, так и ромба.

Ортодиагональные равдиагональные четырехугольники, в которых длина диагоналей не меньше, чем у всех сторон четырехугольника максимальная площадь для их диаметра среди всех четырехугольников, решая n = 4 случай самая большая проблема с маленьким многоугольником. Квадрат - один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Ортодиагональный четырехугольник, который также является равнодиагональным, является четырехугольником мидквадратом, потому что его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена исключительно через его стороны.

Для любого ортодиагонального четырехугольника сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон: для последовательных сторон a, b, c и d мы имеем

$a\; 2\; +\; c\; 2\; =\; b\; 2\; +\; d\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}.\}$

Это следует из теоремы Пифагора, согласно которой любой из эти две суммы двух квадратов можно разложить до суммы четырех квадратов расстояний от вершин четырехугольника до точки пересечения диагоналей. И наоборот, любой четырехугольник, в котором a + c = b + d, должен быть ортодиагональным. Это можно доказать несколькими способами, в том числе с помощью закона косинусов, векторов, косвенного доказательства и комплексных чисел.

. Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда два бимедиана имеют одинаковую длину.

Согласно другой характеристике, диагонали выпуклого четырехугольника ABCD равны перпендикулярно тогда и только тогда, когда

$\angle \; PAB\; +\; \angle \; PBA\; +\; \angle \; PCD\; +\; \angle \; PDC\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; angle\; PAB\; +\; \backslash \; angle\; PBA\; +\; \backslash \; angle\; PCD\; +\; \backslash \; angle\; PDC\; =\; \backslash \; pi\}$

где P - точка пересечения диагоналей. Из этого уравнения почти сразу следует, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда проекции диагонального пересечения на стороны четырехугольника являются вершинами вписанного четырехугольника.

Выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого являются середины его сторон) является прямоугольником . Соответствующая характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех солодов являются восемью совпадающими точками ; восьмиконечный круг . Центр этого круга - это центроид четырехугольника. Четырехугольник, образованный ножками мальтитуда, называется главным ортогональным четырехугольником.

Если нормали к сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через диагональное пересечение пересекают противоположные стороны в R, S, T, U и K, L, M, N - основания этих нормалей, тогда ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U совпадают; второй круг из восьми точек. Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда RSTU представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям ABCD.

Существует несколько метрических характеристик, касающихся четырех треугольники, образованные диагональным пересечением P и вершинами выпуклого четырехугольника ABCD. Обозначим через m 1, m 2, m 3, m 4 медианы в треугольниках ABP, BCP., CDP, DAP от P к сторонам AB, BC, CD, DA соответственно. Если R 1, R 2, R 3, R 4 и h 1, h 2, h 3, h 4 обозначают радиусы описанных окружностей и высоты соответственно этих треугольников, то четырехугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих равенств:

• $m\; 1\; 2\; +\; m\; 3\; 2\; =\; m\; 2\; 2\; +\; m\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; m\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; m\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; m\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}$
• $R\; 1\; 2\; +\; R\; 3\; 2\; =\; R\; 2\; 2\; +\; R\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; R\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; R\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}$
• $1\; ч\; 1\; 2\; +\; 1\; ч\; 3\; 2\; =\; 1\; час\; 2\; 2\; +\; 1\; час\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Кроме того, четырехугольник ABCD с пересечением P диагоналей ортодиагонален, если и только если центры описанной окружности треугольников ABP, BCP, CDP и DAP являются серединами сторон четырехугольника.

Сравнение с тангенциальным четырехугольником

Несколько метрических характеристик тангенциальный квадрилат Как видно из этой таблицы, элементы и ортодиагональные четырехугольники очень похожи по внешнему виду. Обозначения на сторонах a, b, c, d, радиусы описанной области R 1, R 2, R 3, R 4, а высоты h 1, h 2, h 3, h 4 такие же, как указано выше, в обоих типах четырехугольников.

Тангенциальный четырехугольник	Ортодиагональный четырехугольник
$a\; +\; c\; =\; b\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; c\; =\; b\; +\; d\}$	$a\; 2\; +\; c\; 2\; =\; b\; 2\; +\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\}$
$R\; 1\; +\; R\; 3\; =\; R\; 2\; +\; R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{3\; \}\; =\; R\_\; \{2\}\; +\; R\_\; \{4\}\}$	$R\; 1\; 2\; +\; R\; 3\; 2\; =\; R\; 2\; 2\; +\; R\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; R\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; R\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}$
$1\; час\; 1\; +\; 1\; час\; 3\; =\; 1\; час\; 2\; +\; 1\; час\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{1\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{4\}\}\}\}$	$1\; час\; 1\; 2\; +\; 1\; час\; 3\; 2\; =\; 1\; час\; 2\; 2\; +\; 1\; час\; 4\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Площадь K ортодиагонального четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q:

$K\; =\; p\; \cdot \; q\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \backslash \; cdot\; q\}\; \{2\}\}.\}$

И наоборот, любой выпуклый четырехугольник, площадь которого можно вычислить по этой формуле, должен быть ортодиагональным. У ортодиагонального четырехугольника самая большая площадь из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями.

• Ортодиагональные четырехугольники - единственные четырехугольники, для которых стороны и угол, образованный диагоналями, не определяют однозначно площадь. Например, два ромба, оба имеют общую сторону a (и, как и все ромбы, оба имеют прямой угол между диагоналями), но один из них имеет меньший острый угол, чем другой, имеют разные площади ( площадь первого, приближающаяся к нулю, когда острый угол приближается к нулю).
• Если квадраты возведены наружу на сторонах любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или пересеченного), то их центры (центроиды ) являются вершинами ортодиагонального четырехугольника, который также является равнодиагональным (то есть имеет диагонали одинаковой длины). Это называется теоремой Ван Обеля.
• Каждая сторона ортодиагонального четырехугольника имеет по крайней мере одну общую точку с окружностью точек Паскаля.

Круговой радиус и площадь

Для циклического ортодиагонального четырехугольника (тот, который может быть вписан в a круг ), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на сегменты длиной p 1 и p 2, а другую диагональ делит на сегменты длиной q 1 и q 2. Тогда (первое равенство - это предложение 11 в Архимед Книга лемм )

$D\; 2\; =\; p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; q\; 1\; 2\; +\; q\; 2\; 2\; =\; a\; 2\; +\; c\; 2\; =\; б\; 2\; +\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; q\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; q\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\}$

где D - диаметр описанной окружности. Это верно потому что диагонали перпендикулярны хордам окружности. Эти уравнения дают выражение описанный радиус

$R\; =\; 1\; 2\; p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; q\; 1\; 2\; +\; q\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; q\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; q\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

или, в терминах сторон четырехугольника, как

$R\; =\; 1\; 2\; a\; 2\; +\; c\; 2\; =\; 1\; 2\; b\; 2\; +\; d\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\; \}\}\}.\}$

Из этого также следует, что

$a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; +\; d\; 2\; =\; 8\; R\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\; \}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; =\; 8R\; ^\; \{2\}.\}$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырехугольнике, описанный радиус можно выразить через диагонали p и q, и расстояние x между серединами диагоналей как

$R\; =\; p\; 2\; +\; q\; 2\; +\; 4\; x\; 2\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; +\; 4x\; ^\; \{2\}\}\; \{8\}\}\}.\}$

Формула для площади K циклического ортодиагонального четырехугольника в терминах четырех сторон получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы для площади ортодиагонального четырехугольника. Результат:

$K\; =\; 1\; 2\; (a\; c\; +\; b\; d).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (ac\; +\; bd).\}$

Другие свойства

• В круговом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой, в которой диагонали пересекаются.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для циклического ортодиагонального четырехугольника перпендикуляр с любой стороны, проходящей через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам.
• Если ортодиагональный четырехугольник также является циклическим, расстояние от центра описанной окружности (центра описанной окружности) до любой стороны равно половине длины противоположной стороны.
• В циклическом ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагонали равны расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.

$ABCD\; \{\backslash \; displaystyle\; ABCD\}$- ортодиагональный четырехугольник, $P\; 1\; X\; 1\; Z\; 1\; Y\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{1\}\; X\_\; \{1\}\; Z\_\; \{1\}\; Y\_\; \{1\}\}$и $P\; 2\; X\; 2\; Z\; 2\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaysty\; le\; P\_\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; Z\_\; \{2\}\; Y\_\; \{2\}\}$- это прямоугольники, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника. $ABCD\; \{\backslash \; displaystyle\; ABCD\}$- ортодиагональный четырехугольник. $P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\}$и $Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\}$- точки Паскаля, образованные кругом $\omega \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\}$, $\sigma \; P\; 1\; Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{P\_\; \{1\}\; Q\_\; \{1\}\}\}$- круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник $P\; 1\; V\; 1\; Q\; 1\; W\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; V\_\; \{1\}\; Q\_\; \{1\}\; W\_\; \{1\}\}$. $P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\}$и $Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{2\}\}$- точки Паскаля, образованные кругом $\omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\}$, $\sigma \; P\; 2\; Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{P\_\; \{2\}\; Q\_\; \{2\}\}\}$круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник $P\; 2\; V\; 2\; Q\; 2\; W\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\; \}\; V\_\; \{2\}\; Q\_\; \{2\}\; W\_\; \{2\}\}$.

Для каждого ортодиагонального четырехугольника мы можем вписать два бесконечных набора прямоугольников:

(i) набор прямоугольников, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник

(ii) набор прямоугольников, образованных окружностями из точек Паскаля.