Гармоническое среднее

редактировать
Инверсия среднего значения обратных чисел набора чисел

В математике, среднее гармоническое (иногда называемое средним субпротиворечивым ) является одним из нескольких видов среднего, и, в частности, одним из пифагоровых средних. Обычно это подходит для ситуаций, когда требуется среднее значение скоростей.

Среднее гармоническое значение может быть выражено как , обратное к среднему арифметическому обратных величин данного набора наблюдений. В качестве простого примера, гармоническое среднее для 1, 4 и 4 равно

(1 - 1 + 4 - 1 + 4 - 1 3) - 1 = 3 1 1 + 1 4 + 1 4 = 3 1,5 = 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {1 ^ {- 1} +4 ^ {- 1} +4 ^ {- 1}} {3}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {3} {{\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}}}} = {\ frac {3} {1.5}} = 2 \,.}{\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Связь с другими средствами
  • 3 Гармоническое среднее двух или трех чисел
    • 3.1 Два числа
    • 3.2 Три числа
  • 4 Взвешенное гармоническое среднее
  • 5 Примеры
    • 5.1 В физике
      • 5.1.1 Средняя скорость
      • 5.1.2 Плотность
      • 5.1.3 Электричество
      • 5.1.4 Оптика
    • 5.2 В финансах
    • 5,3 In геометрия
    • 5.4 В других науках
  • 6 Бета-распределение
  • 7 Логнормальное распределение
  • 8 Распределение Парето
  • 9 Статистика
    • 9.1 Выборочные распределения среднего и дисперсии
    • 9.2 Дельта-метод
    • 9.3 Метод складного ножа
    • 9.4 Выборка со смещением размера
    • 9.5 Сдвинутые переменные
    • 9.6 Моменты
    • 9.7 Свойства выборки
    • 9.8 Оценщики смещения и дисперсии
  • 10 Примечания
  • 11 См. Также
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Определение

Среднее гармоническое H положительных действительных чисел x 1, x 2,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}определяется как

H = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 xn знак равно N ∑ я знак равно 1 N 1 xi знак равно (∑ я = 1 nxi - 1 n) - 1. {\ displaystyle H = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} { x_ {n}}}}} = {\ frac {n} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}}}} = \ left ({ \ frac {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {- 1}} {n}} \ right) ^ {- 1}.}{\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.}

Третья формула в приведенном выше уравнение выражает гармоническое среднее как обратное к среднему арифметическому обратных величин.

Из следующей формулы:

H = n ⋅ ∏ j = 1 n x j ∑ i = 1 n {1 x i ∏ j = 1 n x j}. {\ displaystyle H = {\ frac {n \ cdot \ prod \ limits _ {j = 1} ^ {n} x_ {j}} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left \ { {\ frac {1} {x_ {i}}} {\ prod \ limits _ {j = 1} ^ {n} x_ {j}} \ right \}}}.}{\displaystyle H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.}

более очевидно, что гармоническое среднее относится к среднему арифметическому и среднему геометрическому. Это обратное двойное к среднему арифметическому для положительных входных значений:

1 / H (1 / x 1… 1 / xn) = A (x 1… xn) { \ displaystyle 1 / H (1 / x_ {1} \ ldots 1 / x_ {n}) = A (x_ {1} \ ldots x_ {n})}{\displaystyle 1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})}

Гармоническое среднее - это вогнутая по Шуру, и доминирует минимум ее аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов min (x 1… xn) ≤ H (x 1… xn) ≤ n min (x 1… xn) {\ displaystyle \ min (x_ {1} \ ldots x_ {n}) \ leq H (x_ {1} \ ldots x_ {n}) \ leq n \ min (x_ {1} \ ldots x_ {n}))}{\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}. Таким образом, гармоническое среднее нельзя сделать произвольно большим путем изменения некоторых значений на более крупные (при неизменном по крайней мере одном значении).

Среднее гармоническое также вогнутое, что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура. Однако следует позаботиться об использовании только положительных чисел, поскольку среднее значение не может быть вогнутым, если используются отрицательные значения.

Связь с другими средствами

Геометрическое доказательство без слов, что max (a, b)>среднее квадратичное или среднеквадратичное (QM)>среднее арифметическое (AM)>среднее геометрическое (GM)>среднее гармоническое (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b

среднее гармоническое является одним из трех пифагорейских средств. Для всех наборов положительных данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений, гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних, в то время как среднее арифметическое всегда наибольшее из трех и среднее геометрическое всегда находится посередине. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних всегда равны друг другу; например, гармонические, геометрические и арифметические средние для {2, 2, 2} равны 2)

Это частный случай M −1 среднего значения :

H (x 1, x 2,…, xn) = M - 1 (x 1, x 2,…, xn) = nx 1 - 1 + x 2 - 1 + ⋯ + xn - 1 {\ displaystyle H \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right) = M _ {- 1} \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right) = {\ frac {n} {x_ {1} ^ {- 1} + x_ {2} ^ {- 1} + \ cdots + x_ {n} ^ {- 1}}}}{\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}

Поскольку гармоническое среднее значение списка чисел сильно стремится к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) уменьшать влияние крупных выбросов и усугубление воздействия мелких.

Среднее арифметическое часто по ошибке используется в местах, требующих гармонического среднего. В примере скорости ниже, например, среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.

Среднее гармоническое связано с другими пифагоровыми средними, как показано в уравнении ниже. Это можно увидеть, интерпретируя знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел n раз, но каждый раз опуская j-й член. То есть для первого члена мы умножаем все n чисел, кроме первого; для второго мы умножаем все n чисел, кроме второго; и так далее. Числитель, исключая n, который идет со средним арифметическим, представляет собой среднее геометрическое в степени n. Таким образом, n-е гармоническое среднее относится к n-му среднему геометрическому и арифметическому. Общая формула:

H (x 1,…, xn) = (G (x 1,…, xn)) n A (x 2 x 3 ⋯ xn, x 1 x 3 ⋯ xn,…, x 1 x 2 ⋯ xn - 1) = (G (x 1,…, xn)) n A (1 x 1 ∏ i = 1 nxi, 1 x 2 ∏ i = 1 nxi,…, 1 xn ∏ i = 1 nxi). {\ displaystyle H \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = {\ frac {\ left (G \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ справа) ^ {n}} {A \ left (x_ {2} x_ {3} \ cdots x_ {n}, x_ {1} x_ {3} \ cdots x_ {n}, \ ldots, x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-1} \ right)}} = {\ frac {\ left (G \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ right) ^ {n} } {A \ left ({\ frac {1} {x_ {1}}} {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}, {\ frac {1} {x_ {2 }}} {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}, \ ldots, {\ frac {1} {x_ {n}}} {\ prod \ limits _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i}} \ right)}}.}{\displaystyle H\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots,x_{n}\righ t)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}

Если набор неидентичных чисел подвергается спреду с сохранением среднего - то есть двум или более элементам набора "разнесены" друг от друга, при этом среднее арифметическое не изменяется - тогда среднее гармоническое всегда уменьшается.

Среднее гармоническое двух или трех чисел

Два числа

A геометрическое построение трех пифагорейских средних двух чисел, а и b. Среднее гармоническое обозначено буквой H пурпурным цветом. Q обозначает четвертое среднее, среднее квадратичное. Поскольку гипотенуза всегда длиннее, чем катет прямоугольного треугольника , диаграмма показывает, что Q>A>G>H.

Для особого случая всего двух чисел, x 1 {\ displaystyle x_ {1}}x_{1}и x 2 {\ displaystyle x_ {2}}x_{2}, гармоническое среднее может быть записано как

H Знак равно 2 х 1 х 2 х 1 + х 2. {\ displaystyle H = {\ frac {2x_ {1} x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2}}}.}{\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}.}

В этом особом случае среднее гармоническое связано с среднее арифметическое A = x 1 + x 2 2 {\ displaystyle A = {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}}}A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}и среднее геометрическое G = x 1 x 2, {\ displaystyle G = {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}},}G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},на

H = G 2 A = G ⋅ (GA). {\ displaystyle H = {\ frac {G ^ {2}} {A}} = G \ cdot \ left ({\ frac {G} {A}} \ right).}{\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\cdot \left({\frac {G}{A}}\right).}

Поскольку GA ≤ 1 {\ displaystyle {\ tfrac {G} {A}} \ leq 1}{\displays tyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}согласно неравенству средних арифметических и геометрических, это показывает для случая n = 2, что H ≤ G (свойство, которое на самом деле выполняется для всех n). Отсюда также следует, что G = A H {\ displaystyle G = {\ sqrt {AH}}}{\displaystyle G={\sqrt {AH}}}, что означает, что среднее геометрическое два числа равно среднему геометрическому их среднему арифметическому и гармоническому.

Три числа

Для особого случая трех чисел, x 1 {\ displaystyle x_ {1}}x_{1}, x 2 {\ displaystyle x_ {2}}x_{2}и x 3 {\ displaystyle x_ {3}}x_{3}, среднее гармоническое можно записать как

H = 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 + x 1 х 3 + х 2 х 3. {\ displaystyle H = {\ frac {3x_ {1} x_ {2} x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {2} x_ {3}}) }.}{\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}

Три положительных числа H, G и A являются соответственно гармоническим, геометрическим и средним арифметическим трех положительных чисел тогда и только тогда, когда выполняется следующее неравенство

A 3 G 3 + G 3 H 3 + 1 ≤ 3 4 (1 + AH) 2. {\ displaystyle {\ frac {A ^ {3}} {G ^ {3}}} + {\ frac {G ^ {3}} {H ^ {3}}} + 1 \ leq {\ frac {3} {4}} \ left (1 + {\ frac {A} {H}} \ right) ^ {2}.}{\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}

Взвешенное гармоническое среднее

Если набор весов w 1 {\ displaystyle w_ {1}}w_{1},..., wn {\ displaystyle w_ {n}}w_{n}связан с набором данных x 1 {\ displaystyle x_ {1}}x_{1},..., xn {\ displaystyle x_ {n}}x_{n}, средневзвешенное гармоническое значение определяется как

H = ∑ i = 1 nwi ∑ i = 1 nwixi = (∑ i = 1 nwixi - 1 ∑ i = 1 nwi) - 1. {\ displaystyle H = {\ frac {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} }} {x_ {i}}}}} = \ left ({\ frac {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- 1}} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}} \ right) ^ {- 1}.}{\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}

Невзвешенное гармоническое среднее значение можно рассматривать как частный случай, когда все веса равны.

Примеры

В физике

Средняя скорость

Во многих ситуациях с коэффициентами и отношениями, гармоническое среднее обеспечивает правильное среднее. Например, если автомобиль преодолевает определенное расстояние d со скоростью x (например, 60 км / ч) и возвращает то же расстояние со скоростью y (например, 20 км / ч), то его средняя скорость представляет собой гармоническое среднее значение x а y (30 км / ч) - не среднее арифметическое (40 км / ч). Общее время в пути такое же, как если бы он проехал все расстояние со средней скоростью. Это можно доказать следующим образом:

Средняя скорость за весь путь = Общее пройденное расстояние / Сумма времени для каждого сегмента = 2d / d / x + d / y = 2 / 1 / x + 1 / y

Однако, если транспортное средство движется в течение определенного времени со скоростью x, а затем такое же количество времени со скоростью y, то его средняя скорость - среднее арифметическое x и y, которое в приведенном выше примере составляет 40 км / ч. Тот же принцип применяется к более чем двум сегментам: учитывая серию дополнительных поездок с разными скоростями, если каждая дополнительная поездка охватывает одно и то же расстояние, то средняя скорость является гармоническим средним всех скоростей дополнительных поездок; и если каждая дополнительная поездка занимает одинаковое количество времени, то средняя скорость является средним арифметическим всех скоростей дополнительной поездки. (В противном случае необходимо взвешенное среднее гармоническое или средневзвешенное арифметическое. Для среднего арифметического скорость каждой части поездки взвешивается по продолжительности этой части, в то время как для среднего гармонического соответствующий вес - это расстояние. В обоих случаях результирующая формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования гармоники среднее значение для случая «взвешивания по расстоянию». Задайте задачу найти «медленность» поездки, где «медленность» (в часах на километр) является обратной скоростью. Когда определена медленность поездки, инвертируйте ее, чтобы найти "истинную" среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i медленность s i = 1 / скорость i. Затем возьмите взвешенное среднее арифметическое s i, взвешенное по их соответствующим расстояниям (необязательно с нормализованными весами, чтобы они суммировались до 1, разделив их на длину пути). Это дает истинную среднюю медленность (по времени на километр). Оказывается, что эта процедура, которая может быть выполнена без знания среднего гармонического, сводится к тем же математическим операциям, которые можно было бы использовать при решении этой проблемы с использованием среднего гармонического. Таким образом, это показывает, почему в данном случае работает среднее гармоническое.

Плотность

Аналогичным образом, если кто-то желает оценить плотность сплава с учетом плотностей составляющих его элементов и их массовых долей (или, что то же самое, массовых процентов), то прогнозируемая плотность сплава (исключая обычно незначительные изменения объема из-за эффектов упаковки атомов) представляет собой взвешенное среднее гармоническое значение индивидуальных плотностей, взвешенное по массе, а не взвешенное среднее арифметическое, как можно было сначала ожидать. Чтобы использовать средневзвешенное арифметическое значение, плотности должны быть взвешены по объему. Применение анализа размеров к проблеме при маркировке единиц массы по элементам и проверке того, что только аналогичные массы элементов отменяются, проясняет это.

Электричество

Если соединить два электрических резистора параллельно, один из которых имеет сопротивление x (например, 60 Ом ), а другой - сопротивление y ( например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы использовались два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равны среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом. (половина гармонического среднего). Тот же принцип применяется к конденсаторам, включенным последовательно, или к катушкам индуктивности, включенным параллельно.

Однако, если резисторы соединить последовательно, то среднее сопротивление будет средним арифметическим значений x и y (с общим сопротивлением, равным сумме x и y). Этот принцип применяется к конденсаторам, включенным параллельно, или к катушкам индуктивности, включенным последовательно.

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется, когда подключено более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности, при условии, что все они включены параллельно или все включены последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений.

Оптика

Что касается других оптические уравнения, уравнение тонкой линзы 1 / f = 1 / u + 1 / v можно переписать так, чтобы фокусное расстояние f составляло половину гармонического среднего значений расстояний между субъект u и объект v из линзы.

В финансах

Взвешенное гармоническое среднее является предпочтительным методом для усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цена / прибыль (P / E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического, высоким точкам данных присваивается больший вес, чем низким точкам данных. С другой стороны, взвешенное гармоническое среднее правильно взвешивает каждую точку данных. Простое взвешенное среднее арифметическое, применяемое к не нормализованным по цене коэффициентам, таким как P / E, смещено в сторону повышения и не может быть оправдано численно, поскольку оно основано на уравненной прибыли; точно так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше).

Например, рассмотрим две фирмы, одна с рыночной капитализацией 150 миллиардов долларов и прибылью 5 миллиардов долларов (P / E 30) и один с рыночной капитализацией 1 миллиард долларов и прибылью 1 миллион долларов (P / E 1000). Рассмотрим индекс , составленный из двух акций, при этом 30% вложено в первую и 70% - во вторую. Мы хотим рассчитать соотношение P / E этого индекса.

Использование средневзвешенного арифметического (неверно):

P / E = 0,3 × 30 + 0,7 × 1000 = 709 {\ displaystyle P / E = 0,3 \ times 30 + 0,7 \ times 1000 = 709}{\displaystyle P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709}

Использование взвешенного среднего гармонического (правильно):

P / E = 0,3 + 0,7 0,3 / 30 + 0,7 / 1000 ≈ 93,46 {\ displaystyle P / E = {\ frac {0,3 + 0,7} {0,3 / 30 + 0,7 / 1000}} \ приблизительно 93,46}{\displaystyle P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46}

Таким образом, правильный P / E 93,46 этого индекса может быть найден только с использованием взвешенного среднего гармонического, в то время как взвешенное среднее арифметическое будет значительно его завышать.

В геометрии

В любом треугольнике радиус вписанной окружности составляет одну треть гармонического среднего значений высот.

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC с расстояниями q и t от B и C соответственно, и с пересечением PA и BC, находящимся на расстоянии y от точки P, мы имеем, что y является половиной гармонического среднего значений q и t.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и высота h от гипотенузы до прямого угла, h² составляет половину гармонического среднего значения a² и b².

Пусть t и s (t>s) - стороны двух вписанных в квадратов прямоугольного треугольника с гипотенузой c. Тогда s² равно половине гармонического среднего значений c² и t².

Пусть трапеция имеет последовательно вершины A, B, C и D и параллельны сторонам AB и CD. Пусть E будет пересечением диагоналей, и пусть F будет на стороне DA, а G будет на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC. (Это можно доказать с помощью подобных треугольников.)

Перекрещенные лестницы. h - половина гармонического среднего значений A и B

Одно из применений этого результата в виде трапеции - в задаче о перекрещенных лестницах, где две лестницы лежат напротив друг друга поперек переулка, каждая с ножками у основания одной боковой стены, один из которых опирается на стену на высоте A, а другой опирается на противоположную стену на высоте B, как показано. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда h составляет половину гармонического среднего значений A и B. Этот результат все еще сохраняется, если стены наклонены, но все еще параллельны, а «высоты» A, B и h измеряются как расстояния от пола по линиям, параллельным стенам. Это можно легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площади.

В эллипсе , прямая полушатусная мышца (расстояние от фокуса до эллипса вдоль линии, параллельной малой оси), является гармоническим средним значением максимальное и минимальное расстояние эллипса от фокуса.

В других науках

В информатике, особенно в поиске информации и машинном обучении, гармоническое среднее значение точность (истинных положительных результатов на предсказанный положительный результат) и отзыв (истинных положительных результатов на реальное положительное значение) часто используются в качестве агрегированной оценки производительности для оценки алгоритмов и систем: F -оценка (или F-мера). Это используется при поиске информации, потому что только положительный класс имеет релевантность, а количество отрицательных, как правило, велико и неизвестно. Таким образом, это компромисс в отношении того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к количеству предсказанных положительных результатов или количеству реальных положительных результатов, поэтому он измеряется в сравнении с предполагаемым количеством положительных результатов, которое является средним арифметическим двух возможные знаменатели.

Из основной алгебры вытекают последствия, когда люди или системы работают вместе. Например, если газовый насос может осушить бассейн за 4 часа, а насос с батарейным питанием может осушить тот же бассейн за 6 часов, тогда оба насоса потребуют 6 · 4/6 + 4, что равно 2,4 часа, чтобы вместе слить воду из бассейна. Это половина гармонического среднего 6 и 4: 2 · 6 · 4/6 + 4 = 4.8. Это подходящее среднее значение для двух типов насосов - это среднее гармоническое значение, и для одной пары насосов (двух насосов) оно занимает половину этого среднего времени гармоники, тогда как для двух пар насосов (четырех насосов) потребуется четверть времени. этого гармонического среднего времени.

В гидрологии среднее гармоническое значение аналогично используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, перпендикулярного слоям (например, геологического или почвенного) - поток параллельный для слоев используется среднее арифметическое. Эта очевидная разница в усреднении объясняется тем фактом, что в гидрологии используется проводимость, которая является обратной по отношению к удельному сопротивлению.

В sabermetrics, число мощности – скорости игрока является средним гармоническим значением их хоумрана и украденной базы итоги.

В популяционной генетике гармоническое среднее используется при вычислении влияния колебаний численности переписной популяции на эффективный размер популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как «узкое место» популяции , увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это результат того факта, что после «узкого места» очень мало людей вносят вклад в генофонд, ограничивая генетические вариации, присутствующие в популяции для многих будущих поколений.

При рассмотрении экономии топлива в автомобилях обычно используются два показателя - мили на галлон (миль на галлон) и литры на 100 км. Поскольку размеры этих величин являются обратными друг другу (одно - это расстояние на объем, другое - на расстояние), при взятии среднего значения экономии топлива для ряда автомобилей одна мера будет давать гармоническое среднее значение другого - то есть преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон, даст гармоническое среднее значение экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива автопарком из индивидуальных значений расхода топлива следует использовать среднее гармоническое значение, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если парк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные стандарты расхода автомобильного топлива) используют среднее гармоническое значение.

В химии и ядерной физике средняя масса на частицу смеси, состоящей из различных компонентов (например, молекул или изотопов), дается как среднее гармоническое значение массы отдельных видов, взвешенные по их соответствующей массовой доле.

Бета-распределение

Гармоническое среднее для бета-распределения для 0 < α < 5 and 0 < β < 5 (Среднее - HarmonicMean) для бета-распределения по сравнению с альфа- и бета-распределением от 0 до 2 Средние гармонические для бета-распределения Фиолетовый = H (X), Желтый = H (1-X), меньшие значения альфа и бета спереди Гармонические средние для бета-распределения Фиолетовый = H (X), желтый = H (1-X), большие значения альфа и бета впереди

Гармоническое среднее бета-распределения с параметрами формы α и β составляет:

H = α - 1 α + β - 1 при условии α>1 β>0 {\ displaystyle H = {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -1}} {\ text {при условии}} \ alpha>1 \, \, \ \, \, \ beta>0}{\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha>1 \, \, \ \, \, \ beta>0}

Среднее гармоническое с α < 1 is undefined because its defining expression is not bounded in [0, 1].

При α = β

H = α - 1 2 α - 1 {\ displaystyle H = {\ frac {\ alpha -1} {2 \ alpha -1}}}{\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}

показывает, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0 для α = β = 1 до 1/2 f или α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым) и другим параметром, приближающимся к этим пределам:

lim α → 0 H = неопределенное lim α → 1 H = lim β → ∞ H = 0 lim β → 0 H = lim α → ∞ H = 1 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ lim _ {\ alpha \ to 0} H = {\ text {undefined}} \\\ lim _ {\ alpha \ to 1} H = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} H = 0 \\\ lim _ {\ beta \ to 0} H = \ lim _ {\ alpha \ to \ infty} H = 1 \ end {выровнено}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}

При среднем геометрическом среднее гармоническое может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае четырех параметров.

Среднее значение второй гармоники (H 1 - X) также существует для этого распределения

H 1 - X = β - 1 α + β - 1 при условии β>1 α>0 {\ displaystyle H_ {1-X} = {\ frac {\ beta -1} {\ alpha + \ beta -1}} {\ text {при условии}} \ beta>1 \, \, \ \, \, \ alpha>0}{\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta>1 \, \, \ \, \, \ alpha>0}

Это гармоническое среднее с β < 1 is undefined because its defining expression is not bounded in [ 0, 1 ].

Если α = β в приведенном выше выражении

H 1 - X = β - 1 2 β - 1 {\ displaystyle H_ {1-X} = {\ frac {\ beta -1} {2 \ beta -1}}}{\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}

показывает, что для α = β среднее гармоническое колеблется от 0, для от α = β = 1, до 1/2, для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым), а другой приближается к этим пределам:

lim β → 0 H 1 - Икс = неопределенный lim β → 1 H 1 - X = lim α → ∞ H 1 - X = 0 lim α → 0 H 1 - X = lim β → ∞ H 1 - X = 1 {\ displaystyle {\ начало {выровнено} \ lim _ {\ beta \ to 0} H_ {1-X} = {\ text {undefined }} \\\ lim _ {\ beta \ to 1} H_ {1-X} = \ lim _ {\ alpha \ to \ infty} H_ {1-X} = 0 \\\ lim _ {\ alpha \ to 0} H_ {1-X} = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} H_ {1-X} = 1 \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}

Хотя оба гармонических средних асимметричны, когда α = β два средних значения равны.

Логнормальное распределение

Гармоническое среднее (H) логнормального распределения is

H = exp ⁡ (μ - 1 2 σ 2), {\ displaystyle H = \ exp \ left (\ mu - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right),}{\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}

где μ - среднее арифметическое, а σ - дисперсия распределения.

Средние гармонические и арифметические соотносятся следующим образом:

μ H = 1 + C v, {\ displaystyle {\ frac {\ mu} {H}} = 1 + C_ {v} \,,}{\displaystyle {\frac {\mu }{H}}=1+C_{v}\,,}

где C v - коэффициент вариации..

Геометрические (G), арифметические и гармонические средние связаны соотношением

H μ = G 2. {\ displaystyle H \ mu = G ^ {2}.}{\displaystyle H\mu =G^{2}.}

Распределение Парето

Среднее гармоническое значение типа 1 распределение Парето is

H = k (1 + 1 α) {\ displaystyle H = k \ left (1 + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)}{\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}

где k - параметр масштаба, а α - параметр формы.

Статистика

Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. И среднее, и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).

Выборочные распределения среднего и дисперсии

Среднее значение выборки m асимптотически нормально распределено с дисперсией s.

s 2 = m [E ⁡ (1 x - 1)] m 2 n {\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {m \ left [\ operatorname {E} \ left ({\ frac {1 } {x}} - 1 \ right) \ right]} {m ^ {2} n}}}{\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}

Сама дисперсия среднего составляет

Var ⁡ (1 x) = m [E ⁡ (1 х - 1)] нм 2 {\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = {\ frac {m \ left [\ operatorname {E} \ left ({\ frac {1} {x}} - 1 \ right) \ right]} {nm ^ {2}}}}{\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}

где m - среднее арифметическое обратных величин, x - переменные, n - размер популяции и E - оператор ожидания.

Дельта-метод

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что центральная предельная теорема применяется к выборке, затем с помощью дельта-метода дисперсия

Var ⁡ (H) = 1 нс 2 м 4 {\ displaystyle \ operatorname {Var} (H) = {\ frac {1} {n}} {\ frac {s ^ {2}} {m ^ {4}}}}{\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}

где H - среднее гармоническое, m - среднее арифметическое обратных величин

m = 1 n 1 x. {\ displaystyle m = {\ frac {1} {n}} \ sum {\ frac {1} {x}}.}{\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}

s - это дисперсия обратных величин данных

s 2 = Var ⁡ (1 x) {\ displaystyle s ^ {2} = \ operatorname {Var} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}{\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}

, а n - количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа

A складной нож метод оценки дисперсии возможен, если известно среднее значение. Это обычный метод удаления 1, а не вариант удаления m.

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки (m)

m = n ∑ 1 x {\ displaystyle m = {\ frac {n} {\ sum {\ frac {1} {x}}}}}{\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}

где x - значения выборки.

Затем вычисляется последовательность значений w i, где

w i = n - 1 ∑ j ≠ i 1 x. {\ displaystyle w_ {i} = {\ frac {n-1} {\ sum _ {j \ neq i} {\ frac {1} {x}}}}.}{\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}

Среднее значение (h) Затем берется w i :

h = 1 n ∑ wi {\ displaystyle h = {\ frac {1} {n}} \ sum {w_ {i}}}{\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}

Дисперсия среднего составляет

n - 1 n ∑ (m - h) 2. {\ displaystyle {\ frac {n-1} {n}} \ sum {(mh)} ^ {2}.}{\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-h)}^{2}.}

Тестирование значимости и доверительные интервалы для среднего затем можно оценить с помощью t-тест.

Выборка со смещением размера

Предположим, что случайная переменная имеет распределение f (x). Предположим также, что вероятность того, что переменная будет выбрана, пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или размера.

Пусть μ - среднее значение генеральной совокупности. Тогда функция плотности вероятности f * (x) популяции со смещением размера будет

f ∗ (x) = xf (x) μ {\ displaystyle f ^ {*} (x) = {\ frac {xf (x)} {\ mu}}}{\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}

Ожидание этого смещенного по длине распределения E (x) равно

E ∗ ⁡ (x) = μ [1 + σ 2 μ 2] {\ displaystyle \ operatorname {E} ^ {*} (x) = \ mu \ left [1 + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {\ mu ^ {2}}} \ right]}{\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}

где σ дисперсия.

Математическое ожидание гармонического среднего аналогично версии без смещения длины E (x)

E ∗ (x - 1) = E (x) - 1 {\ displaystyle E ^ {* } (x ^ {- 1}) = E (x) ^ {- 1}}{\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}

Проблема смещения выборки по длине возникает в ряде областей, включая анализ родословной текстильного производства и анализ выживаемости

Акман и другие. разработали тест для обнаружения смещения на основе длины в выборках.

Сдвинутые переменные

Если X - положительная случайная величина и q>0, то для всех ε>0

Var ⁡ [1 (X + ϵ) q] < Var ⁡ ( 1 X q). {\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon)^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}{\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon)^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}

Моменты

Если предположить, что X и E (X)>0, тогда

E ⁡ [1 X] ≥ 1 E ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ frac {1} {X}} \ right] \ geq {\ frac {1} {\ operatorname {E} (X)}}}{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}

Это следует из Неравенство Дженсена.

Гурланд показал, что для распределения, которое принимает только положительные значения, для любого n>0

E ⁡ (X - 1) ≥ E ⁡ (X n - 1) E ⁡ (X n). {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (X ^ {- 1} \ right) \ geq {\ frac {\ operatorname {E} \ left (X ^ {n-1} \ right)} {\ operatorname {E } \ left (X ^ {n} \ right)}}.}{\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}

При некоторых условиях

E ⁡ (a + X) - n ∼ E ⁡ (a + X - n) {\ displaystyle \ operatorname { E} (a + X) ^ {- n} \ sim \ operatorname {E} \ left (a + X ^ {- n} \ right)}{\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}

где ~ означает приблизительно.

Свойства выборки

Предполагая, что переменные (x) взяты из логнормального распределения, существует несколько возможных оценок для H:

H 1 = n ∑ (1 x) H 2 = (ехр ⁡ [1 N ∑ журнал е ⁡ (Икс)]) 2 1 N ∑ (Икс) H 3 = ехр ⁡ (м - 1 2 s 2) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} H_ {1} = {\ frac {n} {\ sum \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}} \\ H_ {2} = {\ frac {\ left (\ exp \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum \ log _ {e} (x) \ right] \ right) ^ {2}} {{\ frac {1} {n}} \ sum (x)}} \\ H_ {3} = \ exp \ left (m - {\ frac {1} {2}} s ^ {2} \ right) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}

где

m = 1 n ∑ log е ⁡ (Икс) {\ Displaystyle m = {\ frac {1} {n}} \ sum \ log _ {e} (x)}{\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}
s 2 = 1 n ∑ (журнал e ⁡ (x) - m) 2 {\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum \ left (\ log _ {e} (x) -m \ right) ^ {2}}{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}

из них H 3, вероятно, является лучшей оценкой для выборок из 25 или более.

Оценщики смещения и дисперсии

Приближение первого порядка к смещению и отклонение H 1 составляет

смещение ⁡ [H 1] = HC vn Var ⁡ [H 1] = H 2 C vn {\ displaysty le {\ begin {align} \ operatorname {bias} \ left [H_ {1} \ right] = {\ frac {HC_ {v}} {n}} \\\ operatorname {Var} \ left [H_ {1 } \ right] = {\ frac {H ^ {2} C_ {v}} {n}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}

где C v - коэффициент вариации.

Similarly a first order approximation to the bias and variance of H3are

H log e ⁡ ( 1 + C v) 2 n [ 1 + 1 + C v 2 2 ] H log e ⁡ ( 1 + C v) n [ 1 + 1 + C v 2 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}

In numerical experiments H3is generally a superior estimator of the harmonic mean than H1. H2produces estimates that are largely similar to H1.

Notes

The Environmental Protection Agency recommends the use of the harmonic mean in setting maximum toxin levels in water.

In geophysical reservoir engineering studies, the harmonic mean is widely used.

See also

  • icon Mathematics portal

References

External links

Последняя правка сделана 2021-05-22 13:53:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте