В математике, норма - это функция из вещественного или комплексного векторного пространства к неотрицательным действительным числам, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от исходной точки : it коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равен нулю только в начале координат. В частности, евклидово расстояние вектора от начала координат является нормой, называемой евклидовой нормой или 2-нормой, которую также можно определить как квадратный корень внутреннего произведения вектора с самим собой.
A псевдонорма или полунорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть нулем для других векторов, кроме исходных. Векторное пространство с указанной нормой называется нормированным векторным пространством. Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством.
Учитывая векторное пространство V над полем 𝔽 действительных чисел ℝ или комплексных чисел ℂ, норма на V является неотрицательной функцией p: V → ℝ с следующие свойства:
для всех a ∈ 𝔽 и всех u, v∈ V,
A полунорма на V - это функция p: V → ℝ со свойствами 1 и 2 выше.
Предположим, что p и q - две нормы (или полунормы) в векторном пространстве V. Тогда p и q называются эквивалентными, если существуют две действительные константы c и C с c>0 такой, что для любого вектора v ∈ V,
нормы p и q эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию на V. Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства.
Если на векторном пространстве X задана норма p: X → ℝ, то норму вектора v ∈ X обычно обозначают заключением его в двойные вертикальные линии: ‖v‖ = p (v). Такое обозначение также иногда используется если p - только полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (который является примером нормы, как объясняется ниже), обозначение | v | с одиночными вертикальными линиями также широко распространено.
В Unicode кодовая точка символа «двойная вертикальная линия» ‖ - U + 2016. Двойную вертикальную линию не следует путать с символом «параллельно», Unicode U + 2225 (∥), который используется для обозначения параллельных линий в геометрии и оператор параллельного сложения в теории сетей, различных областях техники и прикладной электронике. Двойную вертикальную линию также не следует путать с Unicode U + 01C1 (ǁ), символом, используемым для обозначения боковых щелчков в лингвистике.
Одиночная вертикальная линия | называется «вертикальной линией» в Юникоде, а его кодовая точка - U + 007C.
В LaTeX и родственных языках разметки макрос \ |
часто используется для обозначения нормы.
Каждое (действительное или комплексное) векторное пространство допускает норму: Если x • = (x i)i ∈ I равно Базис Гамеля для векторного пространства X, затем вещественное отображение, которое отправляет x = ∑ i ∈ I sixi∈ X (где все, кроме конечного числа скаляров s i равны 0) до ∑ i ∈ I |si| является нормой на X. Существует также большое количество норм, которые демонстрируют дополнительные свойства, которые делают их полезными для конкретных задач.
является нормой на одномерных векторных пространствах, образованных вещественными или комплексными числами.
. Любая норма p в одномерном векторном пространстве X эквивалентна (с точностью до масштабирования) к норме абсолютного значения, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств f: 𝔽 → X, где 𝔽 либо ℝ, либо ℂ, а сохранение нормы означает, что . Этот изоморфизм задается отправкой 1 ∈ 𝔽 вектору нормы 1, который существует, поскольку такой вектор получается путем умножения любого ненулевого вектора на обратный к его норме.
В n-мерном евклидовом пространстве ℝ интуитивное понятие длины вектора x = (x 1, x 2,..., x n) захватывается формулой
Это евклидова норма, которая дает обычное расстояние от начала координат до точки X - следствие теоремы Пифагора. Эта операция также может называться «SRSS», что является аббревиатурой от s quare r oot s um of s quares.
Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой на, но есть и другие нормы в этом векторном пространстве, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию.
Внутреннее произведение двух векторов евклидова векторного пространства является скалярным произведением их координатных векторов над ортонормированный базис. Следовательно, евклидова норма может быть записана безкоординатным образом как
Евклидова норма также называется нормой L, ℓ нормой, 2-нормой или квадратной нормой ; см. L пробел. Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной, L расстоянием или ℓ расстоянием .
. Набор векторов в ℝ, евклидова норма которых равна заданная положительная константа образует n-сферу.
Евклидова норма комплексного числа - это абсолютное значение ( также называется модулем ) его, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью ℝ. Такая идентификация комплексного числа x + iy как вектора на евклидовой плоскости дает величину (как впервые было предложено Эйлером) евклидова норма, связанная с комплексным числом.
Есть ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица над действительными числами. Это действительные числа ℝ, комплексные числа ℂ, кватернионы ℍ и, наконец, октонионы 𝕆, где размеры этих пространств над действительными числами равны 1, 2, 4., и 8 соответственно. Канонические нормы для ℝ и ℂ являются их функциями абсолютного значения, как обсуждалось ранее.
Каноническая норма на ℍ для кватернионов определяется как
для каждого кватерниона в ℍ. Это то же самое, что и евклидова норма на, рассматриваемом как векторное пространство. Точно так же каноническая норма на октонионах является точной евклидовой нормой на ℝ.
В n-мерном комплексном пространстве ℂ наиболее распространенной нормой является
В этом случае норма может быть выражена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора и самого себя:
где представлен как вектор-столбец ([x 1 ; x 2 ;...; x n ]), а обозначает его сопряженное транспонирование.
Эта формула действительна для любого внутреннего пространства продукта, включая евклидовы и комплексные пространства. Для сложных пробелов внутренний продукт эквивалентен сложному скалярному произведению. Следовательно, формулу в этом случае также можно записать, используя следующие обозначения:
Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать в прямоугольной сетке улиц, чтобы добраться от исходной точки до точки x.
Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность кросс-многогранника размерности, эквивалентной размерности нормы минус 1. Норма такси также называется 1norm . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или 1расстоянием .
1-норма - это просто сумма абсолютных значений. колонн.
Напротив,
не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам..
Пусть p ≥ 1 действительное число. P-норма (также называемая -norm) вектора равно
Для p = 1 мы получаем норму такси, для p = 2 получаем евклидову норму, и когда p приближается к ∞, p-норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме :
p-норма связана до обобщенного среднего или степенного среднего.
Это определение все еще представляет интерес для 0 < p < 1, but the resulting function does not define a norm, because it violates the неравенства треугольника. Что верно для этого случая 0 < p < 1, even in the measurable analog, is that the corresponding L class is a vector space, and it is also true that the function
(без корня pth) определяет расстояние что превращает L (X) в полное метрическое топологическое векторное пространство. Эти пространства представляют большой интерес в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе. Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое двойственное пространство содержит только нулевой функционал.
Частная производная p-нормы задается как
Производная по x, следовательно, is
где ∘ означает произведение Адамара и используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.
Для особого случая p = 2 это становится
или
Если - некоторый вектор такой, что , затем :
Набор векторов, бесконечная норма которых является заданной константой c, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра 2c.
В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и для F-пространства последовательностей с F –Norm . Здесь мы подразумеваем под F-нормой некоторую вещественнозначную функцию в F-пространстве с расстоянием d, такую что . Описанная выше F-норма не является нормой в обычном понимании, потому что ей не хватает требуемого свойства однородности.
В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль в противном случае. При применении координатно к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга, что важно в кодировании и теории информации. В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единичным, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля действительно удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая считает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.
В обработке сигналов и статистика, Дэвид Донохо ссылался на нулевую «норму » в кавычках. Следуя обозначениям Донохо, нулевая «норма» x - это просто количество ненулевых координат x или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта "норма" локализована в ограниченном множестве, это предел p-норм, когда p приближается к 0. Конечно, нулевая "норма" не действительно норма, потому что это не положительный однородный. В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна, совместно и по отдельности, относительно скалярного аргумента в умножении скаляр-вектор и относительно его векторного аргумента. Злоупотребляя терминологией, некоторые инженеры опускают кавычки Донохо и неправильно называют функцию числа ненулевых норм L нормой, повторяя обозначение для пространства Лебега из измеримых функций.
Обобщение вышеуказанных норм на бесконечное число компонентов приводит к ℓ и L пространствам с нормами
для комплекснозначных последовательностей и функций на X ⊆ ℝ соответственно, которые могут быть дополнительно обобщены (см. мера Хаара ).
Любое внутреннее произведение естественным образом индуцирует норму
Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в Banach пробел артикул.
Другие нормы на ℝ могут быть построены путем объединения вышеуказанного; например
- это норма на.
Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования A мы можем определить новую норму x, равную
В 2D, с поворотом A на 45 ° и подходящим масштабированием, это изменяет норму такси на максимальную норму. Каждый A, применяемый к норме такси, вплоть до инверсии и смены осей, дает другой единичный шар: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.
В 3D это аналогично, но отличается для 1-нормы (октаэдры ) и максимальной нормы (призмы с основанием параллелограмма).
Есть примеры норм, которые не определяются «пошаговыми» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ниже).
Все приведенные выше формулы также дают нормы на ℂ без изменений.
Существуют также нормы на пространствах матриц (с действительными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы.
Пусть E будет конечное расширение поля k неотделимой степени p, и пусть k имеет алгебраическое замыкание K. Если различные вложения поля E равны {σ j}j, то Теоретико-Галуа норма элемента α∈E - это значение . Поскольку эта функция однородна степени [E: k], норма теории Галуа не является нормой в смысле этой статьи. Однако корень [E: k] нормы (при условии, что эта концепция имеет смысл) является нормой.
Концепция нормы в композиционных алгебрах не разделяет обычные свойства нормы, поскольку она может быть отрицательной или нулевой для z ≠ 0. Композиционная алгебра (A, *, N) состоит из алгебры над полем A, инволюции * и квадратичной формы что называется «нормой».
Характерной чертой композиционных алгебр является свойство гомоморфизма элемента N: для произведения wz двух элементов w и z композиционной алгебры его норма удовлетворяет Для ℝ, ℂ, ℍ и O норма композиционной алгебры - это квадрат обсуждаемой нормы над. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма. В других композиционных алгебрах норма - это изотропная квадратичная форма.
Для любой нормы p в векторном пространстве V выполняется неравенство обратного треугольника : для всех u и v ∈ V,
Если u: X → Y - непрерывное линейное отображение между нормированное пространство, то норма u и норма транспонирования u равны.
Для норм L мы имеем неравенство Гёльдера
Особый случай из этого неравенство Коши – Шварца :
Иллюстрации единичных окружностей в разных нормах.Понятие единичной окружности (множество всех векторов нормы 1) есть различаются по разным нормам: для 1-нормы единичный круг представляет собой квадрат, для 2-нормы (евклидова норма) это хорошо известный единичный круг, а для нормы бесконечности это другой квадрат. Для любой p-нормы это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. Сопроводительную иллюстрацию). В соответствии с определением нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, и для p-нормы).
В терминах векторного пространства полунорма определяет топологию на пространстве, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенная таким образом топология (либо нормой, либо полунормой) может быть понята в терминах последовательностей или открытых множеств. Считается, что последовательность векторов сходится по норме к , если как . Эквивалентно топология состоит из всех наборов, которые могут быть представлены как объединение открытых шаров. Если (X, || ⋅ ||) - нормированное пространство, то || x - y || = || x - z || + || z - y || для всех x, y, z ∈ X.
Две нормы ‖ • ‖ α и ‖ • ‖ β на векторном пространстве V называются эквивалентными, если они индуцируют одну и ту же топологию, что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа C и D такие, что для всех x в V
Например, если p>r>0 на , то
В частности,
То есть
Если векторное пространство является конечномерным реальный или сложный, все нормы равнозначны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.
Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей нет необходимости различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами в векторном пространстве, равномерно изоморфна.
Все полунормы в векторном пространстве V можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств A из V. Каждому такому подмножеству соответствует полунорма p A, называемая калибром элемента A, определяемого как
со свойством, что
И наоборот:
Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальный базис, состоящий из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства (p) полунорм p, которое разделяет точки : совокупность всех конечных пересечений множеств {p <1 / n} превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждый p непрерывен.
Такой метод используется для разработки слабых и слабых * топологий.
нормальный случай: