Прямоугольная волна

редактировать
Тип несинусоидальной формы волны Синус, квадрат, треугольник и пилообразный сигнал

A прямоугольный сигнал - это несинусоидальный периодический сигнал, в котором амплитуда чередуется с постоянной частотой между фиксированными минимальным и максимальным значениями, с одинаковая продолжительность как минимум, так и максимум. В идеальной прямоугольной волне переходы между минимумом и максимумом мгновенны.

Прямоугольная волна - это частный случай пульсовой волны, которая допускает произвольные минимальные и максимальные длительности. Отношение высокого периода к общему периоду пульсовой волны называется рабочим циклом. Настоящая прямоугольная волна имеет рабочий цикл 50% (равные высокие и низкие периоды).

Прямоугольные волны часто встречаются в электронике и обработке сигналов, особенно в цифровой электронике и цифровой обработке сигналов. Его стохастический аналог - траектория с двумя состояниями.

Содержание

  • 1 Начало и использует
  • 2 Определения
  • 3 Анализ Фурье
  • 4 Характеристики несовершенных прямоугольных волн
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Источник и использование

Прямоугольные волны повсеместно встречаются в цифровых схемах переключения и, естественно, генерируются двоичными ( двухуровневые) логические устройства. Прямоугольные волны обычно генерируются полевыми транзисторами металл-оксид-полупроводник (MOSFET) из-за их быстрого включения-выключения электронного переключения, в отличие от BJT транзисторы, которые медленно генерируют сигналы, более похожие на синусоидальные, а не прямоугольные волны.

Прямоугольные волны используются в качестве эталонов синхронизации или «тактовых сигналов ", поскольку их быстрые переходы подходят для запуска схем синхронной логики через точно определенные интервалы. Однако, как показывает график в частотной области, прямоугольные волны содержат широкий диапазон гармоник; они могут генерировать электромагнитное излучение или импульсы тока, которые мешают работе других близлежащих цепей, вызывая шум или ошибки. Чтобы избежать этой проблемы в очень чувствительных схемах, таких как прецизионные аналого-цифровые преобразователи, синусоидальные волны используются вместо прямоугольных сигналов в качестве эталонов синхронизации.

В музыкальных терминах они часто описываются как звучащие пустотелыми и поэтому используются в качестве основы для звуков духовых инструментов, созданных с использованием субтрактивного синтеза. Кроме того, эффект искажения, используемый в электрогитарах, обрезает самые внешние области формы волны, заставляя ее все больше напоминать прямоугольную волну по мере того, как применяется большее искажение.

Простые двухуровневые функции Радемахера представляют собой прямоугольные волны.

Определения

У прямоугольной волны в математике есть много определений, которые эквивалентны, за исключением разрывов:

Ее можно определить просто как знаковая функция синусоиды:

x (t) = sgn ⁡ (sin ⁡ 2 π t T) = sign ⁡ (sin ⁡ 2 π ft) v (t) = sign ⁡ (cos ⁡ 2 π t T) = sign ⁡ (соз ⁡ 2 π ft), {\ Displaystyle {\ begin {align} x (t) = \ operatorname {sgn} \ left (\ sin {\ frac {2 \ pi t} {T}} \ right) = \ operatorname {sgn} (\ sin 2 \ pi ft) \\ v (t) = \ operatorname {sgn} \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}} \ right) = \ operatorname {sgn} (\ cos 2 \ pi ft), \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} x (t) = \ operatorname {sgn} \ left (\ sin {\ frac {2 \ pi t} {T}} \ right) = \ operatorname {sgn} (\ sin 2 \ pi ft) \\ v (t) = \ operatorname {sgn} \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}} \ right) = \ operatorname {sgn} (\ соз 2 \ пи фут), \ конец {выровнено}}}

который будет равен 1, когда синусоида положительна, -1, когда синусоида отрицательна, и 0 на разрывах. Здесь T - период прямоугольной волны, а f - ее частота, которые связаны уравнением f = 1 / T.

Прямоугольная волна также может быть определена относительно ступенчатой ​​функции Хевисайда u (t) или прямоугольной функции Π (t):

x ( t) = 2 [∑ n = - ∞ ∞ Π (2 (t - n T) T - 1 2)] - 1 = 2 ∑ n = - ∞ ∞ [u (t T - n) - u (t T - n - 1 2)] - 1. {\ displaystyle {\ begin {align} x (t) = 2 \ left [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ Pi \ left ({\ frac {2 (t-nT)} {T}} - {\ frac {1} {2}} \ right) \ right] -1 \\ = 2 \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [u \ left ({\ frac {t} {T}} - n \ right) -u \ left ({\ frac {t} {T}} - n - {\ frac {1} {2 }} \ right) \ right] -1. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} x (t) = 2 \ left [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ Pi \ left ( {\ frac {2 (t-nT)} {T}} - {\ frac {1} {2}} \ right) \ right] -1 \\ = 2 \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [u \ left ({\ frac {t} {T}} - n \ right) -u \ left ({\ frac {t} {T}} - n - {\ frac {1}) {2}} \ right) \ right] -1. \ End {align}}}

Прямоугольную волну также можно сгенерировать с помощью функции floor напрямую:

x (t) = 2 ( 2 ⌊ ft ⌋ - ⌊ 2 ft ⌋) + 1 {\ displaystyle x (t) = 2 \ left (2 \ lfloor ft \ rfloor - \ lfloor 2ft \ rfloor \ right) +1}{\ displaystyle x (t) = 2 \ left (2 \ lfloor ft \ rfloor - \ lfloor 2ft \ rfloor \ right) +1}

и косвенно:

x (t) = (- 1) ⌊ 2 футов ⌋. {\ displaystyle x (t) = \ left (-1 \ right) ^ {\ lfloor 2ft \ rfloor}.}{\ displaystyle x (t) = \ left (-1 \ right) ^ {\ lfloor 2ft \ rfloor}.}

Анализ Фурье

Шесть стрелок представляют первые шесть членов ряда Фурье прямоугольной волны.. Два кружка внизу представляют точный прямоугольный сигнал (синий) и его приближение ряда Фурье (фиолетовый). (Нечетные) гармоники прямоугольного сигнала 1000 Гц График, показывающий первые 3 члена ряда Фурье прямоугольной волны

Используя разложение Фурье с периодической частотой f за время t, идеальная прямоугольная волна с амплитудой 1 может быть представлена ​​как бесконечная сумма синусоидальных волн:

x (t) = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ (2 π (2 k - 1) ft) 2 k - 1 = 4 π (sin ⁡ (ω t) + 1 3 sin ⁡ (3 ω t) + 1 5 sin ⁡ (5 ω t) +…), где ω = 2 π f. {\ displaystyle {\ begin {align} x (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left (2 \ pi (2k-1) ft \ right)} {2k-1}} \\ = {\ frac {4} {\ pi}} \ left (\ sin (\ omega t) + {\ frac {1} { 3}} \ sin (3 \ omega t) + {\ frac {1} {5}} \ sin (5 \ omega t) + \ ldots \ right), {\ text {where}} \ omega = 2 \ pi f. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} x (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ { k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left (2 \ pi (2k-1) ft \ right)} {2k-1}} \\ = {\ frac {4} {\ pi }} \ left (\ sin (\ omega t) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3 \ omega t) + {\ frac {1} {5}} \ sin (5 \ omega t) + \ ldots \ right), {\ text {where}} \ omega = 2 \ pi f. \ end {выровнен}}}
Демонстрация аддитивного квадрата прямоугольная волна 220 Гц, создаваемая гармониками, добавляемыми каждую секунду по синусоиде

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. .

Идеальная прямоугольная волна содержит только компоненты нечетно-целых гармонических частот (в форме 2π (2k - 1) f). Пилообразные волны и реальные сигналы содержат все целые гармоники.

Любопытной особенностью сходимости представления прямоугольной волны в виде ряда Фурье является феномен Гиббса. Звонящие артефакты в неидеальных прямоугольных волнах могут быть связаны с этим явлением. Явление Гиббса можно предотвратить с помощью σ-аппроксимации, в которой используются сигма-факторы Ланцоша, чтобы последовательность сходилась более плавно.

Идеальная математическая прямоугольная волна мгновенно переключается между высоким и низким состоянием и без недо- или перерегулирования. Этого невозможно достичь в физических системах, поскольку для этого потребуется бесконечная полоса пропускания.

Анимация аддитивного синтеза прямоугольной волны с увеличивающимся числом гармоник

Прямоугольные волны в физических системах имеют только конечную полосу пропускания и часто проявляют эффекты звона, аналогичные эффектам явления Гиббса, или эффекты пульсации, аналогичные эффектам σ-приближения.

Для разумного приближения формы прямоугольной волны должны присутствовать по крайней мере основная и третья гармоники, при этом желательна пятая гармоника. Эти требования к полосе пропускания важны в цифровой электронике, где используются аналоговые аппроксимации с конечной полосой пропускания для прямоугольных сигналов. (Вызывающие переходные процессы являются здесь важным электронным соображением, поскольку они могут выходить за пределы электрических характеристик схемы или вызывать многократное превышение неправильно установленного порога.)

Образец звука прямоугольной формы 5 секунд квадрата волна на частоте 1 кГц

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. .

Характеристики несовершенных прямоугольных волн

Как уже упоминалось, идеальная прямоугольная волна имеет мгновенные переходы между высоким и низким уровнями. На практике это никогда не достигается из-за физических ограничений системы, генерирующей сигнал. Время, необходимое для повышения сигнала с низкого уровня до высокого и обратно, называется временем нарастания и временем спада соответственно.

Если система передемпфирована, тогда форма волны может никогда не достичь теоретических высоких и низких уровней, а если система недостаточно демпфирована, она будет колебаться около высокого и низкого уровней перед установкой. вниз. В этих случаях время нарастания и спада измеряется между указанными промежуточными уровнями, такими как 5% и 95% или 10% и 90%. Полоса пропускания системы связана с временами перехода сигнала; есть формулы, позволяющие приблизительно определить одно из другого.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-09 04:14:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте