Классический электромагнетизм

редактировать

Раздел теоретической физики, изучающий последствия электромагнитных сил между электрическими зарядами и токами

Классический электромагнетизм или классическая электродинамика - это раздел теоретической физики, изучающий взаимодействие между электрическими зарядами и токами с использованием продолжение классической модели New тонианская модель. Теория обеспечивает описание электромагнитных явлений, когда соответствующие масштабы длины и напряженности поля достаточно велики, чтобы квантово-механическими эффектами можно пренебречь. Для небольших расстояний и слабых полей такие взаимодействия лучше описываются квантовой электродинамикой.

Фундаментальные физические аспекты классической электродинамики представлены во многих текстах, например, Фейнман, Лейтон. и Сэндс, Гриффитс, Панофски и Филлипс и Джексон.

Содержание

1 История
2 Сила Лоренца
3 Электрическое поле E
4 Электромагнитные волны
5 Общие уравнения поля
6 Модели
7 См. Также
8 Ссылки

История

Физические явления описываемый электромагнетизмом изучались как отдельные области с древних времен. Например, было много достижений в области оптики за столетия до того, как свет стал пониматься как электромагнитная волна. Однако теория электромагнетизма, как она понимается в настоящее время, выросла из экспериментов Майкла Фарадея, предполагающих электромагнитное поле и Джеймс Клерк Максвелл. использует дифференциальные уравнения для его описания в своем Трактате об электричестве и магнетизме (1873). За подробным историческим отчетом обратитесь к Паули, Уиттекеру, Пайсу и Ханту.

Сила Лоренца

Электромагнитное поле оказывает следующую силу (часто называемую силой Лоренца) на заряженный частицы:

F = q E + qv × B {\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}

\ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}

где все жирным шрифтом обозначены векторы, : F- сила, которую испытывает частица с зарядом q, E - электрическое поле в месте расположения частицы, v - скорость частицы, B - магнитное поле в месте нахождения частицы.

Вышеприведенное уравнение показывает, что сила Лоренца представляет собой сумму двух векторов. Один - это векторное произведение векторов скорости и магнитного поля. На основании свойств перекрестного произведения получается вектор, перпендикулярный векторам скорости и магнитного поля. Другой вектор находится в том же направлении, что и электрическое поле. Сумма этих двух векторов и есть сила Лоренца.

Следовательно, в отсутствие магнитного поля сила направлена в направлении электрического поля, и величина силы зависит от величины заряда и напряженности электрического поля. В отсутствие электрического поля сила перпендикулярна скорости частицы и направлению магнитного поля. Если присутствуют и электрическое, и магнитное поля, сила Лоренца представляет собой сумму обоих этих векторов.

Хотя уравнение предполагает, что электрическое и магнитное поля независимы, уравнение можно переписать в терминах четырехтокового (вместо заряда) и одиночный тензор, представляющий объединенное электромагнитное поле ( $F μ ν {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {\ mu \ nu}$ )

f α = F α β J β. {\ Displaystyle f_ {\ alpha} = F _ {\ alpha \ beta} J ^ {\ beta}. \!}

f _ {\ alpha} = F _ {\ alpha \ beta} J ^ {\ beta}. \!

Электрическое поле E

электрическое поле Eопределяется таким образом, что на стационарный заряд:

F = q 0 E {\ displaystyle \ mathbf {F} = q_ {0} \ mathbf {E}}

\ mathbf {F} = q_0 \ mathbf {E}

, где q 0 - так называемый тест. заряд, а F - это сила, действующая на этот заряд. Размер заряда на самом деле не имеет значения, если он достаточно мал, чтобы не влиять на электрическое поле одним своим присутствием. Однако из этого определения ясно, что единица измерения E равна N / C (ньютонов на кулон ). Эта единица равна V / м (вольт на метр); см. ниже.

В электростатике, где заряды не движутся, вокруг распределения точечных зарядов силы, определенные по закону Кулона, могут быть суммированы. Результат после деления на q 0 :

E (r) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i (r - r i) | г - г я | 3 {\ displaystyle \ mathbf {E (r)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {q_ {i } \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} \ right | ^ {3}} }}

\ mathbf {E (r)} = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {q_i \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _i \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _i \ right | ^ 3}

где n - количество зарядов, q i - количество заряда, связанного с i-м зарядом, ri- позиция i-го заряда, r - положение, в котором определяется электрическое поле, а ε 0 - электрическая постоянная.

. Если вместо этого поле создается непрерывным распределением заряда, суммирование становится интегралом:

E (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r ′) (r - r ′) | г - г '| 3 d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathbf {E (r)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r '}) \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r'} \ right | ^ {3}}} \ mathrm {d ^ {3}} \ mathbf {r '}}

\mathbf{E(r)} = \frac{1}{ 4 \pi \varepsilon_0 } \int \frac{\rho(\mathbf{r'}) \left( \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|^3} \mathrm{d^3}\mathbf{r'}

где $ρ (r') {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r '})}$ $\rho(\mathbf{r'})$ - плотность заряда и $r - r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r '}}$ $\mathbf{r}-\mathbf{r'}$ - вектор, который указывает от элемента объема $d 3 r ′ { \ displaystyle \ mathrm {d ^ {3}} \ mathbf {r '}}$ $\mathrm{d^3}\mathbf{r'}$ до точки в пространстве, где определяется E .

Оба приведенных выше уравнения являются громоздкими, особенно если кто-то хочет определить E как функцию положения. Может помочь скалярная функция, называемая электрическим потенциалом. Электрический потенциал, также называемый напряжением (единицы измерения - вольт), определяется линейным интегралом

φ (r) = - ∫ CE ⋅ dl {\ displaystyle \ varphi \ mathbf {(r)} = - \ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

\ varphi \ mathbf {(r)} = - \ int_C \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}

где φ (r) - электрический потенциал, а C - путь, по которому интеграл взят.

К сожалению, в этом определении есть оговорка. Из уравнений Максвелла ясно, что × E не всегда равно нулю, и, следовательно, одного скалярного потенциала недостаточно для точного определения электрического поля. В результате необходимо добавить поправочный коэффициент, что обычно выполняется путем вычитания производной по времени векторного потенциала A, описанного ниже. Однако, когда заряды квазистатические, это условие по существу выполняется.

Из определения заряда легко показать, что электрический потенциал точечного заряда как функция положения равен:

φ (r) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i | г - г я | {\ displaystyle \ varphi \ mathbf {(r)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {q_ {i }} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} \ right |}}}

\ varphi \ mathbf {(r)} = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {q_i} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _i \ right |}

где q - заряд точечного заряда, r - позиция, в которой потенциал определяется, а ri- это положение каждого точечного заряда. Потенциал непрерывного распределения заряда:

φ (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r ′) | г - г '| d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi \ mathbf {(r)} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r '})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} |}} \, \ mathrm {d ^ {3}} \ mathbf {r'}}

\varphi \mathbf{(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\, \mathrm{d^3}\mathbf{r'}

где $ρ (r ′) { \ displaystyle \ rho (\ mathbf {r '})}$ $\rho(\mathbf{r'})$ - плотность заряда, а $r - r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r'}}$ $\mathbf{r}-\mathbf{r'}$ - это расстояние от элемента объема $d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathrm {d ^ {3}} \ mathbf {r '}}$ $\mathrm{d^3}\mathbf{r'}$ до точки в пространстве, где φ - определяется.

Скаляр φ будет добавляться к другим потенциалам как скаляр. Это позволяет относительно легко разбить сложные проблемы на простые части и добавить их потенциал. Взяв определение φ назад, мы видим, что электрическое поле - это просто отрицательный градиент (оператор del ) потенциала. Или:

E (r) = - ∇ φ (r). {\ displaystyle \ mathbf {E (r)} = - \ nabla \ varphi \ mathbf {(r)}.}

\ mathbf {E (r)} = - \ nabla \ varphi \ mathbf {(r)}.

Из этой формулы ясно, что E может быть выражено в В / м (вольт на метр).

Электромагнитные волны

Изменяющееся электромагнитное поле распространяется от источника в виде волны. Эти волны распространяются в вакууме со скоростью скорости света и существуют в широком спектре из длин волн. Примеры динамических полей электромагнитного излучения (в порядке увеличения частоты): радиоволны, микроволны, свет (инфракрасный, видимый свет и ультрафиолет ), рентгеновские лучи и гамма-лучи. В области физики элементарных частиц это электромагнитное излучение является проявлением электромагнитного взаимодействия между заряженными частицами.

Общие уравнения поля

Каким бы простым и удовлетворительным ни было уравнение Кулона, оно не совсем корректно в контексте классического электромагнетизма. Проблемы возникают из-за того, что изменения в распределении зарядов требуют ненулевого количества времени, чтобы их можно было «почувствовать» где-то еще (требуется специальной теорией относительности).

Для полей с общим распределением зарядов запаздывающие потенциалы можно вычислить и дифференцировать соответственно, чтобы получить уравнения Ефименко.

Запаздывающие потенциалы можно также вывести для точечных зарядов, и эти уравнения известны как Потенциалы Льенара – Вихерта. скалярный потенциал равен:

φ = 1 4 π ε 0 q | г - р д (т р е т) | - vq (tret) c ⋅ (r - rq (tret)) {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {q} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {q} (t_ {ret}) \ right | - {\ frac {\ mathbf {v} _ {q} (t_ {ret})} {c}} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {q} (t_ {ret}))}}}

\ varphi = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {q} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _q (t_ {ret }) \ right | - \ frac {\ mathbf {v} _q (t_ {ret})} {c} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _q (t_ {ret}))}

где q - заряд точечного заряда, а r - позиция. rqи vq- положение и скорость заряда, соответственно, как функция запаздывающего времени. Векторный потенциал аналогичен:

A = μ 0 4 π q v q (t r e t) | г - р д (т р е т) | - v q (t r e t) c ⋅ (r - r q (t r e t)). {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {q \ mathbf {v} _ {q} (t_ {ret})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {q} (t_ {ret}) \ right | - {\ frac {\ mathbf {v} _ {q} (t_ {ret})} {c}} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {q} (t_ {ret}))}}.}

\ mathbf {A} = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ frac {q \ mathbf {v} _q (t_ {ret})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _q (t_ {ret}) \ right | - \ frac {\ mathbf {v} _q (t_ {ret})} {c} \ cdot (\ mat hbf {r} - \ mathbf {r} _q (t_ {ret}))}.

Затем их можно дифференцировать соответствующим образом, чтобы получить полные уравнения поля для движущейся точечной частицы.

Модели

Отрасли классического электромагнетизма, такие как оптика, электротехника и электроника, состоят из набора соответствующих математических моделей разной степени упрощения и идеализации для улучшения понимания специфических электродинамических явлений, ср. Явление электродинамики определяется конкретными полями, удельной плотностью электрических зарядов и токов и конкретной средой передачи. Поскольку их бесконечно много, при моделировании необходимы некоторые типичные репрезентативные

(а) электрические заряды и токи, например движущиеся точечные заряды, электрические и магнитные диполи, электрические токи в проводнике и т.д.;

(b) электромагнитные поля, например напряжения, потенциалы Льенара – Вихерта, плоские монохроматические волны, оптические лучи; радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи и т.д.;

(c) средства передачи, например электронные компоненты, антенны, электромагнитные волноводы, плоские зеркала, зеркала с криволинейными поверхностями, выпуклые линзы, вогнутые линзы; резисторы, индукторы, конденсаторы, переключатели; провода, электрические и оптические кабели, линии передачи, интегральные схемы и т.д.;

все из которых имеют лишь несколько переменных характеристик. Следует отметить, что точное представление электромагнитного поля используется при анализе и проектировании антенн.

См. Также

Литература

^Feynman, RP, R.B.. Лейтон и М. Сэндс, 1965, Лекции Фейнмана по физике, Vol. II: Электромагнитное поле, Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс
^Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Бостон, Массачусетс: Пирсон. ISBN 978-0321856562.
^Панофски, У.К. и М. Филлипс, 1969, Классическое электричество и магнетизм, 2-е издание, Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс
^Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-30932-1.
^Паули, У., 1958, Теория относительности, Пергамон, Лондон
^Уиттакер, ET, 1960, История теорий Эфир и электричество, Harper Torchbooks, Нью-Йорк.
^Паис, А., 1983, «Тонок Господь...»; Наука и жизнь Альберта Эйнштейна, Oxford University Press, Oxford
^Брюс Дж. Хант (1991) Максвеллианцы
^Пайерлс, Рудольф. Построение моделей в физике, Contemporary Physics, Volume 21 (1), January 1980, 3-17.