Магнитный диполь

редактировать

Магнитное поле из - за естественные магнитные диполи (верхний левый), магнитные монополи (верхний правый), на электрический ток в круговом контуре (внизу слева) или в соленоиде (нижняя правый). Все они создают одинаковый профиль поля, когда расположение бесконечно мало.

Магнитный диполь является пределом либо замкнутой петли электрического тока или пары полюсов, как размер источника уменьшается до нуля, сохраняя при этом магнитный момент константу. Это магнитный аналог электрического диполя, но аналогия не идеальна. В частности, истинный магнитный монополь, магнитный аналог электрического заряда, никогда не наблюдался в природе. Однако квазичастицы магнитного монополя наблюдались как эмерджентные свойства некоторых систем конденсированного состояния. Кроме того, одна формы магнитного дипольного момента связана с фундаментальным квантовым свойством-за спином из элементарных частиц.

Поскольку магнитных монополей не существует, магнитное поле на большом расстоянии от любого статического магнитного источника выглядит как поле диполя с тем же дипольным моментом. Для источников более высокого порядка (например, квадруполей ) без дипольного момента их поле затухает с расстоянием до нуля быстрее, чем поле диполя.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом
2 Внутреннее магнитное поле диполя
3 Силы между двумя магнитными диполями
4 Диполярные поля от конечных источников
5 Примечания
6 Ссылки

Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом

Электростатический аналог магнитного момента: два противоположных заряда, разделенных конечным расстоянием. Каждая стрелка представляет направление вектора поля в этой точке.

Магнитное поле токовой петли. Кольцо представляет текущий цикл, который переходит на страницу в точке x и выходит в точке.

В классической физике магнитное поле диполя рассчитывается как предел либо токовой петли, либо пары зарядов, когда источник сжимается до точки, сохраняя при этом постоянный магнитный момент m. Для токовой петли этот предел легче всего получить из векторного потенциала :

{\ displaystyle {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {2}}} {\ frac {{\ mathbf { m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ mathbf {m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r ^ {3}}},}

{\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {2}}} {\ frac {{\ mathbf {m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ mathbf {m}} \ times {\ mathbf {r }}} {r ^ {3}}},

где μ 0 - постоянная проницаемости вакуума, а 4 π r ² - поверхность сферы радиуса r. Плотность магнитного потока (напряженность B-поля) тогда равна

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [ {\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3} }}\Правильно].}

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [ {\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3} }}\Правильно].}

В качестве альтернативы можно сначала получить скалярный потенциал из предела магнитного полюса,

{\ displaystyle \ psi ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {r}}} {4 \ pi r ^ {3}}},}

\ psi ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {r}}} {4 \ pi r ^ {3}}},

и, следовательно, напряженность магнитного поля (или напряженность H-поля) равна

{\ displaystyle {\ mathbf {H}} ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ шляпа {r}} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}}) - \ mathbf {m}} {r ^ {3}}} \ right] = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu _ {0}}}.}

{\ displaystyle {\ mathbf {H}} ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ шляпа {r}} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}}) - \ mathbf {m}} {r ^ {3}}} \ right] = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu _ {0}}}.}

Напряженность магнитного поля симметрична относительно вращений вокруг оси магнитного момента. В сферических координатах с магнитным моментом, направленным вдоль оси z, напряженность поля проще выразить как ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = \ mathbf {\ hat {r}} \ cos \ theta - {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = \ mathbf {\ hat {r}} \ cos \ theta - {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ sin \ theta}$

{\ displaystyle \ mathbf {H} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {| \ mathbf {m} |} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (2 \ cos \ theta \, \ mathbf {\ hat {r}} + \ sin \ theta \, {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ right).}

{\ displaystyle \ mathbf {H} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {| \ mathbf {m} |} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (2 \ cos \ theta \, \ mathbf {\ hat {r}} + \ sin \ theta \, {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ right).}

Внутреннее магнитное поле диполя

См. Также: Магнитный момент § Определение магнитного полюса

Две модели диполя (токовая петля и магнитные полюса) дают одинаковые предсказания для магнитного поля вдали от источника. Однако внутри области источника они дают разные прогнозы. Магнитное поле между полюсами имеет направление, противоположное магнитному моменту (который указывает от отрицательного заряда к положительному), в то время как внутри токовой петли оно находится в том же направлении (см. Рисунок справа). Ясно, что пределы этих полей также должны быть другими, поскольку источники уменьшаются до нулевого размера. Это различие имеет значение только в том случае, если дипольный предел используется для расчета полей внутри магнитного материала.

Если магнитный диполь создается путем уменьшения и уменьшения токовой петли, но при сохранении постоянного произведения тока и площади, ограничивающее поле равно

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + {\ frac {8 \ pi} {3 }} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r}) \ right],}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + {\ frac {8 \ pi} {3 }} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r}) \ right],}

где δ ( r) - трехмерная дельта-функция Дирака. В отличие от выражений в предыдущем разделе, этот предел верен для внутреннего поля диполя.

Если магнитный диполь сформирован путем взятия «северного полюса» и «южного полюса», приведения их все ближе и ближе друг к другу, но при сохранении постоянного произведения заряда магнитного полюса и расстояния, ограничивающее поле равно

{\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ шляпа {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} - {\ frac {4 \ pi} {3}} \ mathbf { m} \ delta (\ mathbf {r}) \ right].}

{\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ шляпа {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} - {\ frac {4 \ pi} {3}} \ mathbf { m} \ delta (\ mathbf {r}) \ right].}

Эти поля связаны соотношением B = μ 0 ( H + M), где

{\ Displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r})}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r})}

это намагниченность.

Силы между двумя магнитными диполями

Сила F, действующая одним дипольным моментом m 1 на другой m 2, разделенный в пространстве вектором r, может быть вычислена с помощью:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ left (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {B} _ {1} \ right),}

{\ mathbf {F}} = \ nabla \ left ({\ mathbf {m}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {B}} _ {1} \ right),

или

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {m} _ {1}, \ mathbf {m} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [(\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {2} + (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {1} + (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {m} _ {2}) \ mathbf {r} - {\ dfrac { 5 (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {2}}} \ mathbf {r } \Правильно],}

{\ mathbf {F}} ({\ mathbf {r}}, {\ mathbf {m}} _ {1}, {\ mathbf {m}} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ { 0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [({\ mathbf {m}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {r}}) {\ mathbf {m}} _ {2} + ({\ mathbf {m}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {r}}) {\ mathbf {m}} _ {1} + ({\ mathbf {m}} _ {1} \ cdot { \ mathbf {m}} _ {2}) {\ mathbf {r}} - {\ dfrac {5 ({\ mathbf {m}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {r}}) ({\ mathbf {m}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {r}})} {r ^ {2}}} {\ mathbf {r}} \ right],

где r - расстояние между диполями. Сила, действующая на m 1, находится в противоположном направлении.

Крутящий момент можно получить по формуле

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {m} _ {2} \ times \ mathbf {B} _ {1}.}

\ boldsymbol {\ tau} = \ mathbf {m} _2 \ times \ mathbf {B} _1.

Диполярные поля от конечных источников

См. Также: Ближнее и дальнее поле

Магнитный скалярный потенциал ψ производства конечного источником, но внешний по отношению к ней, может быть представлены в виде мультипольным разложения. Каждый член в разложении связан с характерным моментом и потенциалом, имеющим характерную скорость убывания с расстоянием r от источника. Монопольные моменты имеют скорость уменьшения 1 / r, дипольные моменты имеют скорость 1 / r², квадрупольные моменты имеют скорость 1 / r³ и так далее. Чем выше порядок, тем быстрее падает потенциал. Поскольку член низшего порядка, наблюдаемый в магнитных источниках, является дипольным членом, он доминирует на больших расстояниях. Поэтому на больших расстояниях любой магнитный источник выглядит как диполь того же магнитного момента.

Примечания

использованная литература

Чоу, Тай Л. (2006). Введение в теорию электромагнетизма: современная перспектива. Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-3827-3.
Джексон, Джон Д. (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-43132-X.
Фурлани, Эдвард П. (2001). Постоянный магнит и электромеханические устройства: материалы, анализ, применение. Академическая пресса. ISBN 0-12-269951-3.
Шилль, РА (2003). «Общее соотношение для векторного магнитного поля круговой токовой петли: более пристальный взгляд». IEEE Transactions on Magnetics. 39 (2): 961–967. Bibcode : 2003ITM.... 39..961S. DOI : 10,1109 / TMAG.2003.808597.