Теория скалярного поля

редактировать

В теоретической физике, теория скалярного поля может относиться к релятивистски инвариантному классическая или квантовая теория скалярных полей. Скалярное поле инвариантно относительно любого преобразования Лоренца.

Единственное фундаментальное скалярное квантовое поле, которое наблюдалось в природе, - это поле Хиггса. Однако скалярные квантовые поля присутствуют в теории эффективного поля при описании многих физических явлений. Примером может служить пион, который на самом деле является псевдоскалярным.

Поскольку они не связаны с усложнениями поляризации, скалярные поля часто легче всего оценить при втором квантовании. через. По этой причине теории скалярного поля часто используются для введения новых концепций и методов.

Сигнатура используемой ниже метрики - (+, -, -, -).

Содержание

1 Классическая скалярная теория поля
- 1.1 Линейная (свободная) теория
- 1.2 Нелинейная (взаимодействующая) теория
- 1.3 Анализ размеров и масштабирование
  - 1.3.1 Масштабирование измерения
  - 1.3.2 Масштабная инвариантность
  - 1.3.3 Конформная инвариантность
- 1.4 Теория φ
  - 1.4.1 Спонтанное нарушение симметрии
  - 1.4.2 Кинк-решения
- 1.5 Комплексная скалярная теория поля
- 1.6 O (N) теория
2 Квантовая скалярная теория поля
- 2.1 Интеграл по путям Фейнмана
- 2.2 Перенормировка
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Классическое скалярное поле теория

Общая ссылка на этот раздел - Рамон, Пьер (2001-12-21). Теория поля: современный учебник (второе издание). США: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch 1.

Линейная (свободная) теория

Самая основная теория скалярного поля - это линейная теория. Посредством разложения Фурье полей он представляет нормальные моды из бесконечности связанных осцилляторов, где континуальный предел индекса i осциллятора теперь обозначается x. действие для свободной релятивистской скалярной теории поля тогда будет

S = ∫ d D - 1 xdt L = ∫ d D - 1 xdt [1 2 η μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - 1 2 m 2 ϕ 2] = ∫ d D - 1 xdt [1 2 (∂ t ϕ) 2 - 1 2 δ ij ∂ i ϕ ∂ j ϕ - 1 2 m 2 ϕ 2], {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} \\ = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ nu} \ phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} \ right] \\ [6pt] = \ int \ mathrm {d} ^ {D- 1} x \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} (\ partial _ {t} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ delta ^ {ij} \ partial _ {i} \ phi \ partial _ {j} \ phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} \ right], \ end {выровнено} }}

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi)^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}

где $L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$ известна как плотность лагранжиана ; dx ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx ⋅ dx ⋅ dx для трех пространственных координат; δ - дельта-функция Кронекера ; и ∂ ρ = ∂ / ∂x для ρ-й координаты x.

Это пример квадратичного действия, поскольку каждый из членов квадратичен в поле φ. Член, пропорциональный m, иногда известен как массовый член из-за его последующей интерпретации в квантованной версии этой теории в терминах массы частицы.

Уравнение движения для этой теории получается путем экстремизации действия, указанного выше. Он принимает следующий вид, линейный по φ,

η μ ν ∂ μ ∂ ν ϕ + m 2 ϕ = ∂ t 2 ϕ - ∇ 2 ϕ + m 2 ϕ = 0, {\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi + m ^ {2} \ phi = \ partial _ {t} ^ {2} \ phi - \ nabla ^ {2} \ phi + m ^ {2} \ phi = 0 ~,}

\eta ^{{\mu \nu }}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,

где ∇ - оператор Лапласа. Это уравнение Клейна – Гордона, интерпретируемое как классическое уравнение поля, а не как квантово-механическое волновое уравнение.

Нелинейная (взаимодействующая) теория

Наиболее распространенным обобщением приведенной выше линейной теории является добавление скалярного потенциала V (Φ) к лагранжиану, где обычно В дополнение к массовому члену V - многочлен от Φ. Такую теорию иногда называют взаимодействующим, потому что уравнение Эйлера-Лагранжа теперь нелинейно, подразумевая самодействие. Действие для наиболее общей такой теории:

S = ∫ d D - 1 xdt L = ∫ d D - 1 xdt [1 2 η μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - V (ϕ)] = ∫ d D - 1 xdt [1 2 (∂ t ϕ) 2 - 1 2 δ ij ∂ i ϕ ∂ j ϕ - 1 2 м 2 ϕ 2 - ∑ n = 3 ∞ 1 n! gn ϕ n] {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t {\ mathcal {L} } \\ [3pt] = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ nu} \ phi -V (\ phi) \ right] \\ [3pt] = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} (\ partial _ {t} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ delta ^ {ij} \ partial _ {i} \ phi \ partial _ {j} \ phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} - \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} g_ {n} \ phi ^ {n} \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} \\ [3pt] = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ nu} \ phi -V (\ phi) \ right] \\ [3pt] = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t \ left [{\ frac {1} {2}} (\ partial _ {t} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ delta ^ {ij} \ частичный _ {я } \ phi \ partial _ {j} \ phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} - \ sum _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} G_ {n} \ phi ^ {n} \ right] \ end {align}}}

Функция n! факторы в разложении вводятся, потому что они полезны в расширении диаграммы Фейнмана квантовой теории, как описано ниже.

Соответствующее уравнение движения Эйлера-Лагранжа теперь имеет вид

η μ ν ∂ μ ∂ ν ϕ + V ′ (ϕ) = ∂ t 2 ϕ - ∇ 2 ϕ + V ′ (ϕ) = 0. {\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi + V '(\ phi) = \ partial _ {t} ^ {2} \ phi - \ nabla ^ {2} \ phi + V '(\ phi) = 0.}

\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi)=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi)=0.

Анализ размерностей и масштабирование

Физические величины в этих теориях скалярного поля могут иметь измерения длины, времени или массы, или некоторая комбинация трех.

Однако в релятивистской теории любую величину t, имеющую размерность времени, можно легко преобразовать в длину, l = ct, используя скорость света, c. Аналогично, любая длина l эквивалентна обратной массе, ħ = lmc, с использованием постоянной Планка, ħ. В натуральных единицах измерения время рассматривается как длина, а время или длина - как обратная масса.

Короче говоря, можно думать о размерах любой физической величины как об одном независимом измерении, а не о всех трех. Это чаще всего называют массовой размерностью величины. Знание размерностей каждой величины позволяет однозначно восстановить условные измерения из натуральных единиц, выраженных в терминах этой размерности, путем простого повторного ввода необходимых степеней и c, необходимых для согласованности размеров.

Одно возможное возражение состоит в том, что эта теория является классической, и поэтому не очевидно, как постоянная Планка вообще должна быть частью теории. При желании можно было бы действительно переработать теорию без массовых измерений вообще: однако это было бы за счет небольшого затемнения связи с квантовым скалярным полем. Учитывая, что у человека есть измерения массы, постоянная Планка здесь рассматривается как по существу произвольная фиксированная эталонная величина действия (не обязательно связанная с квантованием), следовательно, с размерами, подходящими для преобразования между массой и обратной длиной.

Масштабное измерение

классический масштабный размер, или массовый размер Δ, φ описывает преобразование поля при изменении масштаба координат:

x → λ x {\ displaystyle x \ rightarrow \ lambda x}

x\rightarrow\lambda x

ϕ → λ - Δ ϕ. {\ displaystyle \ phi \ rightarrow \ lambda ^ {- \ Delta} \ phi ~.}

\phi \rightarrow \lambda ^{{-\Delta }}\phi ~.

Единицы действия такие же, как и единицы ħ, поэтому само действие имеет нулевую массовую размерность. Это фиксирует масштабный размер поля φ равным

Δ = D - 2 2. {\ displaystyle \ Delta = {\ frac {D-2} {2}}.}

{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {D-2} {2}}.}

Масштабная инвариантность

Есть определенный смысл, в котором некоторые скалярные теории поля масштабно-инвариантны. Хотя все действия, описанные выше, сконструированы так, чтобы иметь нулевую массовую размерность, не все действия инвариантны относительно преобразования масштабирования

x → λ x {\ displaystyle x \ rightarrow \ lambda x}

x \ rightarrow \ lambda x

ϕ → λ - Δ ϕ. {\ displaystyle \ phi \ rightarrow \ lambda ^ {- \ Delta} \ phi ~.}

\phi \rightarrow \lambda ^{{-\Delta }}\phi ~.

Причина, по которой не все действия инвариантны, заключается в том, что обычно параметры m и g n рассматриваются как фиксированные количества, которые не масштабируются при преобразовании выше. Условие масштабной инвариантности скалярной теории поля в этом случае совершенно очевидно: все параметры, появляющиеся в действии, должны быть безразмерными величинами. Другими словами, масштабно-инвариантная теория - это теория, не имеющая фиксированного масштаба длины (или, что эквивалентно, масштаба массы) в теории.

Для скалярной теории поля с пространственно-временными измерениями D единственный безразмерный параметр g n удовлетворяет n = ⁄ (D - 2). Например, в D = 4 только g 4 классически безразмерен, и поэтому единственная классическая масштабно-инвариантная скалярная теория поля в D = 4 - это безмассовая φ-теория.

Классическая масштабная инвариантность, однако, обычно не подразумевает квантовую масштабную инвариантность из-за задействованной ренормгруппы - см. обсуждение бета-функции ниже.

Конформная инвариантность

Преобразование

x → x ~ (x) {\ displaystyle x \ rightarrow {\ tilde {x}} (x)}

x\rightarrow \tilde{x}(x)

называется конформный, если преобразование удовлетворяет

∂ x μ ~ ∂ x ρ ∂ x ν ~ ∂ x σ η μ ν = λ 2 (x) η ρ σ {\ displaystyle {\ frac {\ partial { \ tilde {x ^ {\ mu}}}} {\ partial x ^ {\ rho}}} {\ frac {\ partial {\ tilde {x ^ {\ nu}}}} {\ partial x ^ {\ sigma }}} \ eta _ {\ mu \ nu} = \ lambda ^ {2} (x) \ eta _ {\ rho \ sigma}}

\ frac {\ partial \ tilde {x ^ \ mu}} {\ partial x ^ \ rho} \ frac {\ partial \ tilde {x ^ \ nu}} {\ partial x ^ \ sigma} \ eta _ {\ mu \ nu} = \ lambda ^ 2 (x) \ eta _ {\ rho \ sigma}

для некоторой функции λ (x).

Конформная группа содержит в качестве подгрупп изометрии метрики $η μ ν {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ $\eta_{\mu\nu}$ ( группа Пуанкаре ), а также масштабные преобразования (или дилатации ), рассмотренные выше. Фактически, масштабно-инвариантные теории из предыдущего раздела также конформно-инвариантны.

Теория φ

Теория массивной φ иллюстрирует ряд интересных явлений в теории скалярного поля.

Плотность лагранжиана

L = 1 2 (∂ t ϕ) 2 - 1 2 δ i j ∂ i ϕ ∂ j ϕ - 1 2 m 2 ϕ 2 - g 4! ϕ 4. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {t} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ delta ^ { ij} \ partial _ {i} \ phi \ partial _ {j} \ phi - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} - {\ frac {g} {4! }} \ phi ^ {4}.}

\ mathcal {L} = \ frac {1} {2} (\ partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g }{4!}\phi^4.

Спонтанное нарушение симметрии

Этот лагранжиан имеет ℤ₂-симметрию относительно преобразования φ → −φ. Это пример внутренней симметрии в отличие от пространственно-временной симметрии.

Если m положительно, потенциал

V (ϕ) = 1 2 m 2 ϕ 2 + г 4! ϕ 4 {\ Displaystyle V (\ phi) = {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} + {\ frac {g} {4!}} \ phi ^ {4} }

V (\ phi) = \ frac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 + \ frac {g } {4!} \ Phi ^ 4

имеет единственный минимум в начале координат. Решение φ = 0, очевидно, инвариантно относительно-симметрии.

И наоборот, если m отрицательно, то легко увидеть, что потенциал

V (ϕ) = 1 2 m 2 ϕ 2 + g 4! ϕ 4 {\ displaystyle \, V (\ phi) = {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} + {\ frac {g} {4!}} \ phi ^ { 4} \!}

\, V (\ phi) = \ frac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 + \ frac {g} {4!} \ Phi ^ 4 \!

имеет два минимума. Это известно как двухъямный потенциал, и состояния с самой низкой энергией (известные как вакуумы на языке теории квантового поля) в такой теории не инвариантны относительно ℤ₂-симметрии действия (фактически, он отображает каждый из двух вакуума в другой). В этом случае-симметрия называется спонтанно нарушенной.

Решения излома

Теория φ с отрицательным m также имеет решение излома, которое является каноническим примером солитон. Такое решение имеет вид

ϕ (x →, t) = ± m 2 g 4! tanh ⁡ [м (Икс - Икс 0) 2] {\ Displaystyle \ phi ({\ vec {x}}, т) = \ pm {\ frac {m} {2 {\ sqrt {\ frac {g} {4 !}}}}} \ tanh \ left [{\ frac {m (x-x_ {0})} {\ sqrt {2}}} \ right]}

\phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]

где x - одна из пространственных переменных (φ считается не зависящим от t и остальных пространственных переменных). Решение интерполирует между двумя различными вакуумами потенциала двойной ямы. Невозможно преобразовать кинк в постоянное решение, не пройдя через раствор с бесконечной энергией, и по этой причине кинк называется устойчивым. Для D>2 (т. Е. Теорий с более чем одним пространственным измерением) это решение называется доменной стенкой.

Другим хорошо известным примером скалярной теории поля с решениями излома является синус-Гордон. теория.

Теория комплексного скалярного поля

В теории комплексного скалярного поля скалярное поле принимает значения в комплексных числах, а не в действительных числах. Рассматриваемое действие обычно имеет вид

S = ∫ d D - 1 xdt L = ∫ d D - 1 xdt [η μ ν ∂ μ ϕ ∗ ∂ ν ϕ - V (| ϕ | 2)] {\ displaystyle { \ mathcal {S}} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t \ left [\ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi ^ {*} \ partial _ {\ nu} \ phi -V (| \ phi | ^ {2}) \ right]}

\ mathcal {S} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t \ mathcal {L} = \ int \ mathrm {d} ^ {D-1} x \, \ mathrm {d} t \ left [\ эта ^ {\ му \ ню} \ partial_ \ mu \ phi ^ * \ partial_ \ nu \ phi -V (| \ phi | ^ 2) \ right]

Имеет U (1), что эквивалентно O (2) -симметрии, действие которой в пространстве полей вращает $ϕ → ei α ϕ { \ displaystyle \ phi \ rightarrow e ^ {i \ alpha} \ phi}$ $\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$ , для некоторого реального фазового угла α.

Что касается реального скалярного поля, спонтанное нарушение симметрии обнаруживается, если m отрицательно. Это приводит к потенциалу мексиканской шляпы Голдстоуна, который представляет собой поворот двухъямного потенциала реального скалярного поля на 2π радиан вокруг V $(ϕ) {\ displaystyle (\ phi)}$ $(\phi)$ ось. Нарушение симметрии происходит в одном более высоком измерении, то есть выбор вакуума нарушает непрерывную симметрию U (1) вместо дискретной. Две компоненты скалярного поля реконфигурируются как массивная мода и безмассовый бозон Голдстоуна.

O (N) теория

Теорию комплексного скалярного поля можно выразить в терминах двух реальных полей, φ = Re φ и φ = Im φ, которые преобразуются в векторное представление внутренней симметрии U (1) = O (2). Хотя такие поля трансформируются как вектор под действием внутренней симметрии, они по-прежнему являются скалярами Лоренца.

Это может быть обобщено на теорию N скалярных полей, преобразующихся в векторное представление симметрии O (N). Лагранжиан для O (N) -инвариантной скалярной теории поля обычно имеет вид

L = 1 2 η μ ν ∂ μ ϕ ⋅ ∂ ν ϕ - V (ϕ ⋅ ϕ) {\ displaystyle {\ mathcal {L }} = {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ cdot \ partial _ {\ nu} \ phi -V (\ phi \ cdot \ phi)}

\ mathcal {L} = \ frac {1} {2} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ cdot \ partial_ \ nu \ phi - V (\ phi \ cdot \ phi)

с использованием соответствующего O (N) -инвариантного внутреннего продукта. Теория также может быть выражена для сложных векторных полей, то есть для $ϕ ∈ C n {\ displaystyle \ phi \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\phi \in \mathbb {C} ^{n}$ , и в этом случае группа симметрии является группой Ли SU (N).

Когда скалярная теория поля связана с калибровочно-инвариантным способом с действием Янга – Миллса получается теория Гинзбурга – Ландау сверхпроводников. топологические солитоны этой теории соответствуют вихрям в сверхпроводнике, минимум потенциала мексиканской шляпы соответствует параметру порядка сверхпроводника.

Квантовая скалярная теория поля

Общая ссылка на этот раздел - Рамон, Пьер (2001-12-21). Теория поля: современный учебник (второе издание). США: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, гл. 4

В квантовой теории поля поля и все наблюдаемые, построенные из них, заменяются квантовыми операторами в гильбертовом пространстве. Это гильбертово пространство построено на вакуумном состоянии, а динамика управляется квантовым гамильтонианом, положительно определенным оператором, который аннигилирует вакуум. Построение квантовой скалярной теории поля подробно описано в статье о каноническом квантовании, которая опирается на канонические коммутационные соотношения между полями. По сути, бесконечное количество классических осцилляторов, переупакованных в скалярном поле в виде его (развязанных) нормальных мод, описанных выше, теперь квантуются стандартным образом, поэтому соответствующее поле квантового оператора описывает бесконечность квантовых гармонических осцилляторов, действующих на соответствующем пространстве Фока.

Вкратце, основными переменными являются квантовое поле φ и его канонический импульс π. Оба этих операторных поля эрмитовы. В пространственных точках x →, y → и в одинаковые моменты времени их канонические коммутационные соотношения задаются как

[ϕ (x →), ϕ ( y →)] = [π (x →), π (y →)] = 0, [ϕ (x →), π (y →)] = я δ (x → - y →), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ left [\ phi \ left ({\ vec {x}} \ right), \ phi \ left ({\ vec {y}} \ right) \ right] = \ left [\ pi \ left ( {\ vec {x}} \ right), \ pi \ left ({\ vec {y}} \ right) \ right] = 0, \\\ left [\ phi \ left ({\ vec {x}} \ right), \ pi \ left ({\ vec {y}} \ right) \ right] = i \ delta \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {y}} \ right), \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y} }\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]=0,\ \\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]=i\delta \left({\vec { x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}

, тогда как свободный гамильтониан, как и выше,

H = ∫ d 3 x [1 2 π 2 + 1 2 (∇ ϕ) 2 + m 2 2 ϕ 2]. {\ displaystyle H = \ int d ^ {3} x \ left [{1 \ over 2} \ pi ^ {2} + {1 \ over 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} + {m ^ { 2} \ over 2} \ phi ^ {2} \ right].}

{\ displaystyle H = \ int d ^ {3} x \ left [{1 \ over 2} \ pi ^ {2} + {1 \ over 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} + {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} \ right].}

Пространственное преобразование Фурье приводит к импульсному пространству полям

ϕ ~ (k →) Знак равно ∫ d 3 xe - ik → ⋅ x → ϕ (x →), π ~ (k →) = ∫ d 3 xe - ik → ⋅ x → π (x →) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ widetilde {\ phi}} ({\ vec {k}}) = \ int d ^ {3} xe ^ {- i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}} \ phi ({ \ vec {x}}), \\ {\ widetilde {\ pi}} ({\ vec {k}}) = \ int d ^ {3} xe ^ {- i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}} \ pi ({\ vec {x}}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ widetilde {\ phi}} ({\ vec {k}}) = \ int d ^ {3} xe ^ {- i {\ vec {k }} \ cdot {\ vec {x}}} \ phi ({\ vec {x}}), \\ {\ widetilde {\ pi}} ({\ vec {k}}) = \ int d ^ { 3} xe ^ {- i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}} \ pi ({\ vec {x}}) \ end {align}}}

, которые разрешаются в операторы уничтожения и создания

a (k →) = (E ϕ ~ ( к →) + я π ~ (к →)), a † (к →) = (E ϕ ~ (k →) - я π ~ (k →)), {\ displaystyle {\ begin {align} a ({ \ vec {k}}) = \ left (E {\ widetilde {\ phi}} ({\ vec {k}}) + i {\ widetilde {\ pi}} ({\ vec {k}}) \ справа), \\ a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}}) = \ left (E {\ widetilde {\ phi}} ({\ vec {k}}) - i {\ widetilde {\ pi}} ({\ vec {k}}) \ right), \ end {align}}}

{\begin{aligned}a({\vec {k}})=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}

где $E = k 2 + m 2 {\ displaystyle E = {\ sq rt {k ^ {2} + m ^ {2}}}}$ $E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

[a (k → 1), a (k → 2)] = [a † (k → 1), a † (k → 2)] = 0, [a (k → 1), a † (k → 2)] = (2 π) 3 2 E δ (k → 1 - k → 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [a ({\ vec {k}} _ {1}), a ({\ vec {k}} _ {2}) \ right] = \ left [a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}} _ {1}), a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}} _ {2}) \ right] = 0, \\\ left [a ({\ vec {k}} _ {1}), a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}} _ {2}) \ right] = (2 \ pi) ^ {3} 2E \ delta ({\ vec {k}} _ {1} - {\ vec {k}} _ {2}). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]=(2\pi)^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}

Состояние $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ , уничтоженный всеми операторами a, идентифицируется как чистый вакуум, а частица с импульсом k → создается путем применения $a † (k →) {\ displaystyle a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}})}$ $a ^ \ dagger (\ vec {k})$ в вакуум.

Применение всех возможных комбинаций операторов создания к вакууму создает соответствующее гильбертово пространство : Эта конструкция называется пространством Фока. Вакуум уничтожается гамильтонианом

H = ∫ d 3 k (2 π) 3 1 2 a † (k →) a (k →), {\ displaystyle H = \ int {d ^ {3} k \ над (2 \ pi) ^ {3}} {\ frac {1} {2}} a ^ {\ dagger} ({\ vec {k}}) a ({\ vec {k}}),}

H=\int {d^{3}k \over (2\pi)^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),

, где энергия нулевой точки была удалена упорядочиванием Вика. (См. каноническое квантование.)

Взаимодействия могут быть включены путем добавления гамильтониана взаимодействия. Для теории φ это соответствует добавлению упорядоченного по Вику члена g: φ: / 4! к гамильтониану и интегрируя по x. Амплитуды рассеяния могут быть вычислены из этого гамильтониана в картине взаимодействия. Они построены в теории возмущений с помощью ряда Дайсона, который дает упорядоченные во времени произведения или n-частичные функции Грина $⟨0 | T {ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n)} | 0⟩ {\ displaystyle \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | 0 \ rangle}$ $\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$ как описано в статье Dyson series. Функции Грина также могут быть получены из производящей функции, которая построена как решение уравнения Швингера – Дайсона.

интеграл по путям Фейнмана

Разложение диаграммы Фейнмана может быть полученный также из формулировки интеграла по путям Фейнмана . упорядоченные по времени математические ожидания полиномов от φ, известные как n-частичные функции Грина, строятся путем интегрирования по всем возможным полям, нормированным на математическое ожидание. без внешних полей,

⟨0 | T {ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n)} | 0⟩ = ∫ D ϕ ϕ (x 1) ⋯ ϕ (xn) ei ∫ d 4 x (1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ - m 2 2 ϕ 2 - g 4! Φ 4) ∫ D ϕ ei ∫ d 4 x (1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ - m 2 2 ϕ 2 - g 4! ϕ 4). {\ Displaystyle \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | 0 \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {g \ over 4!} \ phi ^ {4} \ right)}} { \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {g \ over 4!} \ phi ^ {4} \ right)}}}.}

\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}) \}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4 }x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \ over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right) }}}.

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты по J (x) φ (x) в производящую функцию

Z [J] = ∫ D ϕ ei ∫ d 4 x (1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ - m 2 2 ϕ 2 - g 4! Φ 4 + J ϕ) = Z [0] ∑ n = 0 ∞ inn! J (x 1) ⋯ J (x n) ⟨0 | T {ϕ (x 1) ⋯ ϕ (x n)} | 0⟩. {\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ частичный _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {g \ over 4!} \ phi ^ {4} + J \ phi \ right)} = Z [ 0] \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {n}} {n!}} J (x_ {1}) \ cdots J (x_ {n}) \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | 0 \ rangle.}

{\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {g \ over 4!} \ Phi ^ {4} + J \ phi \ right)} = Z [0] \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {i ^ {n}} {n!}} J (x_ {1}) \ cdots J (x_ {n}) \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | 0 \ rangle.}

A Вращение фитиля может быть применено, чтобы сделать время воображаемым. Изменение подписи на (++++) затем превращает интеграл Фейнмана в статистическую сумму статистической механики в евклидовом пространстве,

Z [J] = ∫ D ϕ e - ∫ d 4 x [1 2 (∇ ϕ) 2 + m 2 2 ϕ 2 + g 4! ϕ 4 + J ϕ]. {\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {- \ int d ^ {4} x \ left [{1 \ over 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} + {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} + {g \ over 4!} \ phi ^ {4} + J \ phi \ right]}.}

{\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {- \ int d ^ {4} x \ left [{1 \ over 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} + {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} + {g \ over 4!} \ phi ^ {4} + J \ phi \ right]}. }

Обычно это применяется к рассеяние частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае преобразование Фурье полезно, давая вместо этого

Z ~ [J ~] = ∫ D ϕ ~ e - ∫ d 4 p [1 2 ( p 2 + m 2) ϕ ~ 2 + λ 4! ϕ ~ 4 - J ~ ϕ ~]. {\ displaystyle {\ widetilde {Z}} [{\ widetilde {J}}] = \ int {\ mathcal {D}} {\ widetilde {\ phi}} e ^ {- \ int d ^ {4} p \ left [{1 \ over 2} \ left (p ^ {2} + m ^ {2} \ right) {\ widetilde {\ phi}} ^ {2} + {\ lambda \ over 4!} {\ widetilde { \ phi}} ^ {4} - {\ widetilde {J}} {\ widetilde {\ phi}} \ right]}.}

{\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left[{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}+{\lambda \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}-{\widetilde {J}}{\widetilde {\phi }}\right]}.

Стандартный прием для вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы написать это как произведение экспоненциальных множителей, схематично

Z ~ [J ~] ∼ ∫ D ϕ ~ ∏ p [e - 1 2 (p 2 + m 2) ϕ ~ 2 e - g 4! ϕ ~ 4 e J ~ ϕ ~]. {\ displaystyle {\ widetilde {Z}} [{\ widetilde {J}}] \ sim \ int {\ mathcal {D}} {\ widetilde {\ phi}} \ prod _ {p} \ left [e ^ { - {1 \ over 2} \ left (p ^ {2} + m ^ {2} \ right) {\ widetilde {\ phi}} ^ {2}} e ^ {- {g \ over 4!} {\ widetilde {\ phi}} ^ {4}} e ^ {{\ widetilde {J}} {\ widetilde {\ phi}}} \ right].}

{\widetilde {Z}}[{\widetilde {J}}]\sim \int {\mathcal {D}}{\widetilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-{1 \over 2}\left(p^{2}+m^{2}\right){\widetilde {\phi }}^{2}}e^{-{g \over 4!}{\widetilde {\phi }}^{4}}e^{{\widetilde {J }}{\widetilde {\phi }}}\right].

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в степенной ряд, и комбинаторику этого разложения можно представить графически с помощью диаграмм Фейнмана.

Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов: результат может быть выражен как сумма Диаграммы Фейнмана, рассчитанные с использованием следующих правил Фейнмана:

Каждое поле ~ φ (p) в n-точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p.
Каждая вершина представлена множителем −g.
При заданном порядке g все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, текущие в eac h вершина равна нулю. Каждая внутренняя линия представлена пропагатором 1 / (q + m), где q - импульс, текущий через эту линию.
Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
Результатом является делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перегруппировки линий и вершин графа без изменения его связности.
Не включайте графы, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ~ Z [0]. Правила Фейнмана для пространства Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена символом −ig, а каждая внутренняя линия представлена пропагатором i / (q − m + iε), где ε-член представляет собой небольшое вращение Вика, необходимое для выполнения гауссовский интеграл в пространстве Минковского сходится.

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графах Фейнмана обычно расходятся. Обычно это выполняется с помощью перенормировки, которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, и от него зависят константа связи и масса.

Зависимость константы связи g от масштаба λ кодируется с помощью бета-функции, β (g), определяемой как

β (g) = λ ∂ g ∂ λ. {\ displaystyle \ beta (g) = \ lambda \, {\ frac {\ partial g} {\ partial \ lambda}} ~.}

\ beta (g) = \ lambda \, {\ frac {\ partial g} {\ partial \ lambda}} ~.

Эта зависимость от энергетической шкалы известна как "изменение параметра связи ", и теория этой систематической масштабной зависимости в квантовой теории поля описывается ренормгруппой.

Бета-функции обычно вычисляются в схеме аппроксимации, чаще всего теории возмущений, где один предполагает, что константа связи мала. Затем можно выполнить разложение по степеням параметров связи и усечь члены более высокого порядка (также известные как вклады более высоких петли из-за количества петель в соответствующих графах Фейнмана ).

β-функция в одном контуре (первый пертурбативный вклад) для теории φ равна

β (g) = 3 16 π 2 g 2 + O (g 3). {\ displaystyle \ beta (g) = {\ frac {3} {16 \ pi ^ {2}}} g ^ {2} + O \ left (g ^ {3} \ right) ~.}

\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.

Тот факт, что знак перед членом низшего порядка положительный, предполагает, что константа связи увеличивается с энергией. Если бы такое поведение сохранялось при больших взаимодействиях, это указывало бы на наличие полюса Ландау при конечной энергии, возникающее из квантовой тривиальности. Однако на этот вопрос можно ответить только непертурбативно, поскольку он включает сильную связь.

Квантовая теория поля называется тривиальной, когда перенормированная связь, вычисленная с помощью ее бета-функции, стремится к нулю при удалении ультрафиолетового обрезания. Следовательно, пропагатор становится пропагатором свободной частицы, и поле больше не взаимодействует.

Для φ-взаимодействия Майкл Айзенман доказал, что теория действительно тривиальна для размерности пространства-времени D ≥ 5.

Для D = 4 тривиальность имеет еще предстоит строго доказать, но вычисления на решетке предоставили убедительные доказательства этого. Этот факт важен, поскольку квантовая тривиальность может использоваться для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса. Это также может привести к предсказуемой массе Хиггса в сценариях асимптотической безопасности.

См. Также

Примечания

Ссылки

Пескин, М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей. I. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0 521 55001 7.
Вайнберг, С. (1998). Квантовая теория полей. II. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0 521 55002 5.
Средницки, М. (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521864497.
Зинн-Джастин, Дж. (2002). Квантовая теория поля и критические явления. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198509233.

Внешние ссылки

Концептуальные основы квантовой теории поля Щелкните ссылку для перехода к главе. 3, чтобы найти обширное упрощенное введение в скаляры в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля.