В физике, полюс Ландау (или Московский ноль, или призрак Ландау ) - это масштаб импульса (или энергии), при котором константа связи (сила взаимодействия) квантового поля теория становится бесконечной. На такую возможность указали физик Лев Ландау и его коллеги. Тот факт, что связи зависят от масштаба импульса (или длины), является центральной идеей, лежащей в основе ренормгруппы..
Полюсы Ландау появляются в теориях, которые не являются асимптотически свободными, такими как квантовая электродинамика (QED) или φ-теория - скалярное поле с взаимодействием четвертой степени, которое может описывать бозон Хиггса. В этих теориях ренормированная константа связи растет с энергией. Полюс Ландау появляется, когда связь становится бесконечной при конечном масштабе энергии. В теории, претендующей на полноту, это можно рассматривать как математическое несоответствие. Возможное решение состоит в том, что перенормированный заряд может упасть до нуля при удалении отсечки, что означает, что заряд полностью экранируется квантовыми флуктуациями (поляризация вакуума ). Это случай квантовой тривиальности, что означает, что квантовые поправки полностью подавляют взаимодействия в отсутствие обрезания.
Поскольку полюс Ландау обычно идентифицируется посредством пертурбативных однопетлевых или двухпетлевых вычислений, возможно, что этот полюс является просто признаком того, что пертурбативное приближение не работает при сильной связи. Теория возмущений также может быть недействительной, если существуют неадиабатические состояния. Калибровочная теория на решетке предоставляет средства для решения вопросов квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений, и поэтому была использована для попытки решить этот вопрос.
Численные расчеты, выполненные в этой структуре, похоже, подтверждают вывод Ландау о том, что заряд КЭД полностью экранирован для бесконечного ограничения.
По Ландау, Абрикосов и Халатников, отношение наблюдаемого заряда g obs к «голому» заряду g 0 для перенормируемых теорий поля, когда Λ ≫ m задается как
где m - масса частицы, а Λ - ограничение по импульсу. Если g 0< ∞ and Λ → ∞ then gobs → 0 и теория выглядит тривиальной. Фактически, инвертирование уравнения 1, так что g 0 (связанное с масштабом длины Λ) показывает точное значение g obs,
По мере роста Λ затравочный заряд g 0 = g (Λ) увеличивается, чтобы окончательно расходиться в точке перенормировки
Эта особенность представляет собой полюс Ландау с отрицательным вычетом g (Λ) ≈ −Λ Ландау / (β 2 (Λ - Λ Ландау)).
Фактически, однако, рост g 0 делает недействительными уравнения 1,2 в области g 0 ≈ 1, поскольку они были получены для g 0 ≪ 1, так что непертурбативное существование полюса Ландау становится сомнительным.
Фактическое поведение заряда g (μ) в зависимости от масштаба импульса μ определяется уравнением Гелл-Манна - Лоу
, что дает уравнения 1,2, если интегрировать в условиях g (μ) = g obs для μ = m и g (μ) = g 0 для μ = Λ, когда сохраняется только член с β 2 в правой части. Общее поведение g (μ) зависит от появления функции β (g).
Согласно классификации Боголюбова и Ширкова, есть три качественно разных случая:
Ландау и Померанчук пытались обосновать возможность (c) в случае QED и φ теория. Они отметили, что рост g 0 в уравнении 1 приводит наблюдаемый заряд g obs к постоянному пределу, который не зависит от g 0. Такое же поведение можно получить с помощью функциональных интегралов, исключив квадратичные члены в действии. Если пренебрежение квадратичными членами справедливо уже для g 0 ≪ 1, это тем более справедливо для g 0 порядка или больше единицы: это дает повод рассмотреть уравнение.1, чтобы быть действительным для произвольного g 0. Справедливость этих соображений на количественном уровне исключается из-за неквадратичной формы β-функции.
Тем не менее, качественно они могут быть правильными. Действительно, результат g obs = const (g 0) может быть получен из функциональных интегралов только для g 0 ≫ 1, в то время как его справедливость для g 0 ≪ 1, согласно уравнению 1, может быть связано с другими причинами; при g 0 ≈ 1 этот результат, вероятно, нарушается, но из условия согласования можно ожидать совпадения двух постоянных значений по порядку величины. Результаты Монте-Карло, кажется, подтверждают качественную обоснованность аргументов Ландау – Померанчука, хотя возможна и другая интерпретация.
Случай (c) в классификации Боголюбова и Ширкова соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста возмущений), как видно из reductio ad absurdum. Действительно, если g obs < ∞, the theory is internally inconsistent. The only way to avoid it, is for μ0→ ∞, что возможно только при g obs → 0. Широко распространено мнение, что и КЭД, и φ-теория тривиальны в континуальном пределе.
В теории, предназначенной для представления физического взаимодействия, где известно, что константа связи отлична от нуля, полюсы Ландау или тривиальность могут рассматриваться как признак неполноты теории.. Например, QED обычно не считается законченной теорией сама по себе и содержит полюс Ландау. Обычно КЭД является частью более фундаментальной теории электрослабого взаимодействия. Группа U (1) Y теории электрослабого взаимодействия также имеет полюс Ландау, который обычно считается сигналом о необходимости окончательного включения в Теорию Великого Объединения. Масштаб большого объединения обеспечит естественное отсечение значительно ниже шкалы Ландау, предотвращая появление у полюса наблюдаемых физических последствий.
Проблема полюса Ландау в КЭД представляет чисто академический интерес по следующей причине. Роль g obs в уравнениях. 1, 2 играет постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, а масштаб Ландау для КЭД оценивается в 10 эВ, что далеко за пределами любой шкалы энергий, относящейся к наблюдаемой физике. Для сравнения: максимальные энергии, доступные на Большом адронном коллайдере, составляют порядка 10 эВ, тогда как планковский масштаб, при котором квантовая гравитация становится важной и актуальной. самой квантовой теории поля может быть поставлено под сомнение, составляет 10 эВ.
бозон Хиггса в Стандартной модели из физики элементарных частиц описывается теорией φ (см. взаимодействие четвертого порядка ). Если последний имеет полюс Ландау, то этот факт используется для установления «тривиальности» массы Хиггса. Граница зависит от масштаба, в котором, как предполагается, вступает новая физика, и от максимального допустимого значения четвертичной связи (ее физическое значение неизвестно). Для больших муфт требуются непертурбативные методы. В этом контексте также были полезны расчеты на решетке.
Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, ведущего к полюсам Ландау, исходит из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина». Идея блокирования - это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях. Этот подход был разработан Кеннетом Уилсоном. Он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад в 1982 году.
Предположим, что у нас есть теория, описываемая некоторой функцией переменных состояния и набор констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием или гамильтонианом. Рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния , число должно быть меньше числа . Теперь давайте попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достигается определенным изменением параметров, , тогда теория называется перенормируемой . Самая важная информация в потоке RG - это его фиксированные точки . Возможные макроскопические состояния системы в крупном масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность и обладает полюсом Ландау. При исследовании решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные фиксированные точки, но неизвестно, соответствуют ли они теориям свободного поля.
Решение Задача о полюсе Ландау требует вычисления функции Гелл-Манна – Лоу β (g) при произвольном g и, в частности, ее асимптотики при g → ∞. Диаграммные расчеты позволяют получить лишь несколько коэффициентов разложения β 2, β 3,..., которые не позволяют исследовать β-функцию в целом. Прогресс стал возможен после разработки метода Липатова для вычисления больших порядков теории возмущений: теперь можно попытаться интерполировать известные коэффициенты β 2, β 3,... с их поведением большого порядка, а затем суммировать ряд возмущений.
Первые попытки восстановления β-функции этим методом указывают на тривиальность φ-теории. Применение более совершенных методов суммирования дало показатель степени α в асимптотике β (g) ∝ g, значение, близкое к единице. Гипотеза асимптотического поведения β (g) ∝ g была недавно представлена аналитически для теории φ и КЭД. Вместе с положительностью β (g), полученной суммированием ряда, это предполагает случай (b) приведенной выше классификации Боголюбова и Ширкова и, следовательно, отсутствие полюса Ландау в этих теориях, если предположить, что теория возмущений справедлива (но см. выше обсуждение во введении).