Т-дуальность

редактировать

В теоретической физике, Т-дуальность (сокращение от цель -пространственная двойственность ) является эквивалентом двух физических теорий, которые могут быть либо квантовыми теориями поля, либо теориями струн. В простейшем примере этой связи одна из теорий описывает струны, распространяющиеся в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга некоторого радиуса $R {\ displaystyle R}$ $R$ , в то время как другая теория описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени в форме круга с радиусом, пропорциональным $1 / R {\ displaystyle 1 / R}$ $1 / R$ . Идея T-дуальности была впервые отмечена Бала Сатиапаланом в малоизвестной статье в 1987 году. Две T-дуальные теории эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Например, импульс в одном описании принимает дискретные значения и равен количеству раз, когда строка наматывается по кругу в двойном описании.

Идея T-дуальности может быть распространена на более сложные теории, включая теории суперструн. Существование этих дуальностей подразумевает, что кажущиеся разными теории суперструн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теорий суперструн представляют собой просто разные предельные случаи единой одиннадцатимерной теории, называемой M-теорией.

В общем, T-дуальность связывает две теории с различной геометрией пространства-времени. Таким образом, T-дуальность предлагает возможный сценарий, в котором классические понятия геометрии разрушаются в теории физики планковского масштаба. Геометрические отношения, предлагаемые Т-дуальностью, также важны в чистой математике. Действительно, согласно гипотезе SYZ из Эндрю Строминджера, Шинг-Тунг Яу и Эрика Заслоу, T-дуальность тесно связана к другой двойственности, называемой зеркальной симметрией, которая имеет важные приложения в области математики, называемой перечислительной алгебраической геометрией.

Содержание

1 Обзор
- 1.1 Струны и двойственность
- 1.2 Обмотка числа
- 1.3 Квантованные импульсы
- 1.4 Эквивалентность теорий
2 Суперструны
3 Зеркальная симметрия
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

Обзор

Струны и двойственность

T-дуальность - это частный пример общего понятия двойственности в физике. Термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одна теория может быть каким-то образом трансформирована так, что в итоге она будет выглядеть так же, как другая теория. Затем говорят, что две теории двойственны друг другу при преобразовании. Иными словами, две теории математически представляют собой разные описания одних и тех же явлений.

Как и многие дуальности, изучаемые теоретической физикой, Т-дуальность была открыта в контексте теории струн. В теории струн частицы моделируются не как нульмерные точки, а как одномерные протяженные объекты, называемые струнами. Физику струн можно изучать в различных измерениях. В дополнение к трем измерениям, знакомым из повседневного опыта (вверх / вниз, влево / вправо, вперед / назад), теории струн могут включать одно или несколько компактных измерений, свернутых в кружки.

Стандартная аналогия для этого - рассмотрение многомерного объекта, такого как садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение - его окружность. Таким образом, муравей, проползший внутри него, будет двигаться в двух измерениях. Такие дополнительные измерения важны в T-дуальности, которая связывает теорию, в которой струны распространяются по окружности некоторого радиуса $R {\ displaystyle R}$ $R$ , с теорией, в которой струны распространяются по окружности радиус $1 / R {\ displaystyle 1 / R}$ $1 / R$ .

Число витков

В математике число витков на кривой в плоскость вокруг заданной точки представляет собой целое число, представляющее общее количество раз, когда кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки. Понятие числа намотки важно в математическом описании T-дуальности, где оно используется для измерения намотки струн вокруг компактного дополнительных размеров.

. Например, на изображении ниже показано несколько примеров кривых на плоскости, показанных красным. Предполагается, что каждая кривая является закрытой, что означает, что она не имеет конечных точек и может пересекаться сама с собой. Каждая кривая имеет ориентацию , указанную стрелками на рисунке. В каждой ситуации на плоскости есть выделенная точка, показанная черным цветом. Число витков кривой вокруг этой выделенной точки равно общему числу витков против часовой стрелки, которые кривая делает вокруг этой точки.

$⋯ {\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	−2	−1	0
				$⋯ {\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	1	2	3

При подсчете общего числа оборотов повороты против часовой стрелки считаются положительными, в то время как поворот по часовой стрелке считается отрицательным. Например, если кривая сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, тогда общее число витков кривой равно трем. Согласно этой схеме, кривая, которая вообще не проходит вокруг выделенной точки, имеет номер витка ноль, а кривая, которая движется по часовой стрелке вокруг точки, имеет отрицательное число витка. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом. На рисунках выше показаны кривые с числами витков от -2 до 3:

Квантованные импульсы

Простейшие теории, в которых возникает T-дуальность, - двухмерные модели sigma с круговыми целевыми пространствами. Это простые квантовые теории поля, описывающие распространение струн в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга. Таким образом, струны могут быть смоделированы как кривые на плоскости, ограниченные кругом, скажем, с радиусом $R {\ displaystyle R}$ $R$ относительно начала начала координат. В дальнейшем предполагается, что строки замкнуты (то есть без конечных точек).

Обозначьте этот круг $S R 1 {\ displaystyle S_ {R} ^ {1}}$ $S_ {R} ^ {1}$ . Этот круг можно представить себе как копию реальной линии с двумя точками , обозначенными, если они отличаются на кратную длину окружности $2 π R {\ displaystyle 2 \ пи R}$ $2 \ pi R$ . Отсюда следует, что состояние строки в любой момент времени может быть представлено как функция $φ (θ) {\ displaystyle \ varphi (\ theta)}$ $\ varphi (\ theta)$ одного действительного параметра $θ {\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Такую функцию можно разложить в ряд Фурье как

φ (θ) = m R θ + x + ∑ n ≠ 0 cnein θ {\ displaystyle \ varphi (\ theta) = mR \ theta + x + \ sum _ {n \ neq 0} c_ {n} e ^ {in \ theta}}

\ varphi (\ theta) = mR \ theta + x + \ sum _ {n \ neq 0} c_ {n } e ^ {in \ theta}

Здесь $m {\ displaystyle m}$ $m$ обозначает номер витка строки вокруг круг, и выделена постоянная мода $x = c 0 {\ displaystyle x = c_ {0}}$ $x = c_ {0}$ ряда Фурье. Поскольку это выражение представляет конфигурацию строки в фиксированное время, все коэффициенты ( $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $cn {\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ ) также являются функциями времени.

Пусть $x ˙ {\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ dot {x}}$ обозначает производную по времени от постоянного режима $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Это представляет собой тип импульса в теории. Можно показать, используя тот факт, что рассматриваемые здесь строки замкнуты, что этот импульс может принимать только дискретные значения вида $x ˙ = n / R {\ displaystyle {\ dot {x}} = n / R }$ ${\ dot {x}} = n / R$ для некоторого целого числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Говоря более физическим языком, можно сказать, что импульсный спектр квантован.

Эквивалентность теорий

В ситуации, описанной выше, полная энергия или гамильтониан струны определяется выражением

H = (m R) 2 + x 2 + ∑ n | c ˙ n | 2 + п 2 | c n | 2 {\ Displaystyle H = (MR) ^ {2} + {\ dot {x}} ^ {2} + \ sum _ {n} | {\ dot {c}} _ {n} | ^ {2} + n ^ {2} | c_ {n} | ^ {2}}

H = (mR) ^ {2} + {\ dot {x}} ^ {2} + \ sum _ {n} | {\ dot {c}} _ {n} | ^ {2} + n ^ {2} | c_ {n} | ^ {2}

Поскольку импульсы теории квантованы, первые два члена в этой формуле равны $(m R) 2 + (n / R) 2 {\ displaystyle (mR) ^ {2} + (n / R) ^ {2}}$ $(mR) ^ {2} + (n / R) ^ {2}$ , и это выражение не изменяется при одновременной замене радиуса $R {\ displaystyle R}$ $R$ на $1 / R {\ displaystyle 1 / R}$ $1 / R$ и меняет местами номер витка $m {\ displaystyle m}$ $m$ и целое число <229.>п {\ displaystyle n} $n$ . На суммирование в выражении для $H {\ displaystyle H}$ $H$ эти изменения также не влияют, поэтому общая энергия не изменяется. Фактически, эта эквивалентность гамильтонианов сводится к эквивалентности двух квантово-механических теорий: одна из этих теорий описывает струны, распространяющиеся по окружности радиуса $R {\ displaystyle R}$ $R$ , а другая описывает струну распространяется по кругу с радиусом $1 / R {\ displaystyle 1 / R}$ $1 / R$ с поменяемыми местами числами импульса и витка. Эта эквивалентность теорий - простейшее проявление Т-дуальности.

Суперструны

Диаграмма двойственности теории струн. Синие края указывают на S-двойственность. Красные края указывают на Т-дуальность.

До середины 1990-х физики, работавшие над теорией струн, считали, что существует пять различных версий теории: тип I, тип IIA, тип IIB, и две разновидности теории гетеротической струны (SO (32) и E8×E8 ). Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.

В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одна из этих двойственностей - T-двойственность. Например, было показано, что теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB через T-дуальность, а также что две версии гетеротической теории струн связаны посредством T-дуальности.

Существование этих двойственностей показало, что теории пяти струн на самом деле не были отдельными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий представляют собой просто разные границы одной теории, известной теперь как М-теория. Предложение Виттена было основано на наблюдении, что различные теории суперструн связаны дуальностями, и на том факте, что теории гетеротических струн типа IIA и E 8×E8тесно связаны с теорией гравитации, называемой одиннадцатимерной супергравитацией. Его объявление привело к шквалу работ, теперь известных как вторая суперструнная революция.

Зеркальная симметрия

Гиперповерхность шестимерного многообразия Калаби – Яу.

в теории струн и В алгебраической геометрии термин «зеркальная симметрия » относится к явлению, включающему сложные формы, называемому многообразиями Калаби-Яу. Эти многообразия обеспечивают интересную геометрию, по которой струны могут распространяться, и полученные теории могут найти применение в физике элементарных частиц. В конце 1980-х было замечено, что такое многообразие Калаби-Яу не определяет однозначно физику теории. Вместо этого обнаруживается, что есть два многообразия Калаби-Яу, которые дают начало одной и той же физике. Эти многообразия называются «зеркальными» друг друга. Эта зеркальная двойственность является важным вычислительным инструментом в теории струн, и она позволила математикам решать сложные задачи в числовой геометрии.

A тор представляет собой декартово произведение двух окружностей.

Одним из подходов к пониманию зеркальной симметрии является гипотеза SYZ, которую предложили Эндрю Строминджер, Шинг-Тунг Яу и Эрик Заслоу в 1996 году. Согласно гипотезе SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив сложное многообразие Калаби-Яу на более простые части и рассмотрев влияние T-дуальности на эти части.

Простейший пример многообразия Калаби. -Многообразие Яу - это тор (поверхность в форме бублика). Такую поверхность можно рассматривать как произведение двух окружностей. Это означает, что тор можно рассматривать как объединение набора продольных окружностей (таких как красный кружок на изображении). Существует вспомогательное пространство, в котором рассказывается, как организованы эти круги, и это пространство само по себе является кругом (розовый круг). Говорят, что это пространство параметризует продольные окружности на торе. В этом случае зеркальная симметрия эквивалентна T-дуальности, действующей на продольные окружности, изменяющей их радиус с $R {\ displaystyle R}$ $R$ на $α ′ / R {\ displaystyle \ alpha '/ R}$ $\alpha '/R$ , где $α ′ {\ displaystyle \ alpha'}$ $\alpha '$ величина, обратная натяжению струны.

Гипотеза SYZ обобщает эту идею на более сложный случай шестимерных многообразий Калаби-Яу, подобных тому, который проиллюстрирован выше. Как и в случае с тором, можно разделить шестимерное многообразие Калаби-Яу на более простые части, которые в данном случае являются 3-торами (трехмерными объектами, которые обобщают понятие тора) параметризуется 3-сферой (трехмерное обобщение сферы). T-дуальность может быть расширена с окружностей на трехмерные торы, появляющиеся в этом разложении, и гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим трехмерным торам. Таким образом, гипотеза SYZ дает геометрическую картину того, как зеркальная симметрия действует на многообразии Калаби-Яу.

См. Также

Примечания

Ссылки

Сатиапалан, Бала (1987). «Двойственность в статистической механике и теории струн». Письма с физическим обзором. 58 (16): 1597–9. doi : 10.1103 / PhysRevLett.58.1597. PMID 10034485.
Канделас, Филип; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б. 258 : 46–74. Полномочный код : 1985NuPhB.258... 46C. doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9.
Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые свойства суперструнных компактификаций на орбифолдах и т. Д. На мировом листе». ICTP Ser. Теорет. Phys. 4 : 67–126.
Грин, Брайан (2000). Элегантная вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиски окончательной теории. Рэндом Хаус. ISBN 978-0-9650888-0-0.
Лерче, Вольфганг; Вафа, Джумрун; Уорнер, Николас (1989). «Хиральные кольца в $N = 2 {\ displaystyle N = 2}$ $N = 2$ суперконформных теориях». Ядерная физика Б. 324 (2): 427–474. Bibcode : 1989NuPhB.324..427L. doi : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90474-4.
Сейберг, Натан (2006). «Эмерджентное пространство-время». Квантовая структура пространства и времени: 163–213. arXiv : hep-th / 0601234. DOI : 10.1142 / 9789812706768_0005. ISBN 978-981-256-952-3.
Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия - это Т-двойственность». Ядерная физика Б. 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th / 9606040. Bibcode : 1996NuPhB.479..243S. doi : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00434-8.
Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Proceedings of Strings '95: Перспективы будущего в теории струн. World Scientific.
Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б. 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th / 9503124. Bibcode : 1995NuPhB.443... 85W. doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00158-O.
Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Основные книги. ISBN 978-0-465-02023-2.
Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон по математике. ISBN 978-0-691-11880-2.