Гипотеза SYZ

Гипотеза SYZ - это попытка понять гипотезу зеркальной симметрии, проблему в теоретической физике и математике. Первоначальная гипотеза была предложена в статье Строминджера, Яу и Заслоу, озаглавленной «Зеркальная симметрия - это T-двойственность».

Наряду с гипотезой о гомологической зеркальной симметрии, это один из наиболее изученных инструментов, применяемых для понимания зеркальной симметрии в математических терминах. В то время как гомологическая зеркальная симметрия на гомологической алгебре, гипотеза SYZ является геометрической реализацией зеркальной симметрии.

В теории струн зеркальная симметрия связывает теории типа IIA и типа IIB. Он обнаруживает, что эффективная теория типа IIA и IIB должна быть предсказуемой, если две теории компактифицированы на зеркальных парных поляиях.

Гипотеза SYZ использует этот факт для реализации зеркальной симметрии. Он начинается с рассмотрения состояний BPS теорий типа IIA, компактифицированных на X, особенно тех, которые имеют пространство модулей X. Известно, что все состояния BPS теорий типа IIB компактифицированы на Y. Следовательно, зеркальная симметрия отображает 0-браны теорий типа IIA в подмножество 3-бран теорий типа IIB.

Путем рассмотрения суперсимметричных условий было показано, что эти 3-браны должны быть специальными лагранжевыми подмногообразиями. С другой стороны, T-дуальность представляет собой то же преобразование в этом случае, таким, «зеркальная симметрия - это T-дуальность».

Первоначальное предложение гипотезы SYZ Строминджера, Яу и Заслоу не было точным математическим утверждением. Одна часть математического решения гипотезы SYZ состоит в том, чтобы в некотором смысле правильно сформулировать самую гипотезы. В математической математике нет согласованного точного утверждения гипотезы, но есть общее утверждение, как ожидается, будет близко к правильной формулировке гипотезы, представленной здесь. Это подчеркивает топологическую картину зеркальной симметрии, но не указано точно взаимосвязь между сложной и симплектической структурми зеркальных пар и не указана на связанные римановы метрики.

Гипотеза SYZ: Каждое 6-мерное разнообразие имеет Калаби - Яу $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$зеркальное 6-мерное разнообразие Калаби - Яу $X\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{X\}\}\}$такие, что есть непрерывные сюръекции $f:\; X\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; B\}$, $f\; ^:\; X\; ^\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}:\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; \backslash \; to\; B\}$к компактному топологическому разнообразию $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$размерности 3, такое, что

1. существует плотное открытое подмножество $B\; reg\; \subset \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\; \backslash \; subset\; B\}$, на котором карты $f,\; f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$- это расслоения на неособые специальные лагранжианы 3-торы. Кроме того, для каждой точки $b\; \in \; B\; reg\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; in\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\}$слои тора $f\; -\; 1\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-1\}\; (b)\}$и $f\; ^\; -\; 1\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (b)\}$должны быть в некотором смысле двойными друг другу, аналогично двойственности абелевых разнообразных.
2. Для $b\; \in \; B\; \setminus \; B\; reg\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; in\; B\; \backslash \; backslash\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\}$, волокна $f\; -\; 1\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (b)\}$и $f\; ^\; -\; 1\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{f\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (b)\}$должно быть сингулярным трехмерным специальным лагранжевым подмногообразием $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $X\; ^\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\}$соответственно.

Схема специального лагранжевого расслоения тора. Волокна $f:\; X\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; B\}$над точками в $B\; reg\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\}$являются 3-торами, и на особом множестве $B\; \setminus \; B\; reg\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; backslash\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\}$слой может быть, возможно, особенным специальным лагранжианом подмногообразие $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$.

Ситуация, в которой $B\; reg\; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\; =\; B\}$, чтобы не было единственного числа locus называется полуплоским пределом гипотезы SYZ и часто используется в качестве модельной ситуации для описания слоений тора. Можно показать, что гипотеза SYZ верна в некоторых простых случаях полуплоских пределов, например, заданных абелевыми разнообразиями и поверхностями K3, которые расслоены эллиптическими кривыми.

Ожидается, что правильная формулировка гипотезы SYZ будет несколько отличаться от приведенного выше утверждения. Например, возможное поведение сингулярного набора $B\; \setminus \; B\; reg\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; backslash\; B\; \_\; \{\backslash \; text\; \{reg\}\}\}$не совсем понятно, и этот набор может быть довольно большим в сравнении с $В\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\}$. Зеркальная симметрия также часто выражается в терминах вырождающихся семейств различных продуктов - Яу, а не в терминах одного терминала - Яу, и можно было бы ожидать, что гипотеза SYZ будет переформулирована более точно на этом языке.

.