Войти
| Струнная теория |
|---|
 |
| Фундаментальные объекты |
| Теория возмущений |
| Непертурбативные результаты |
| Феноменология |
| Математика |
| Связанные понятия |
Теоретики
|
|
Гомологической зеркальной симметрии является математическая гипотеза сделал Максим Концевич. Он ищет систематического математического объяснения явления, называемого зеркальной симметрией, впервые обнаруженного физиками, изучающими теорию струн.
В обращении к 1994 Международному конгрессу математиков в Цюрихе, Концевич (1994) предположил, что зеркальную симметрию для пары Калаби-Яу X и Y может быть объяснена как эквивалентности триангулированной категории, построенных из алгебраической геометрии из X ( производная категория из когерентных пучков на X), а другая триангулированной категория, построенная по симплектической геометрии из Y (производная категория Фукая ).
Виттен первоначально описанный топологическое скручивание N = (2,2) теории суперсимметричного поля в то, что он назвал А и В модели топологической теории струн. Эти модели относятся к отображению римановых поверхностей в фиксированную цель - обычно многообразие Калаби – Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии встроены в физической эквивалентности А-модели на Y с B-моделью на его зеркальный X. Когда римановы поверхности имеют пустую границу, они представляют собой мировые листы замкнутых струн. Чтобы охватить случай открытых струн, необходимо ввести граничные условия для сохранения суперсимметрии. В A-модели, эти граничные условия приходят в виде лагранжевых подмногообразий в Y с некоторой дополнительной структурой (часто называют структуру бранную). В B-модели граничные условия представлены в виде голоморфных (или алгебраических) подмногообразий X с голоморфными (или алгебраическими) векторными расслоениями на них. Это объекты, которые используются для построения соответствующих категорий. Их часто называют бранами A и B. Морфизмы в категориях задаются безмассовым спектром открытых струн, натянутых между двумя бранами.
Модели замкнутой струны A и B охватывают только так называемый топологический сектор - небольшую часть полной теории струн. Точно так же браны в этих моделях являются только топологическими приближениями к полным динамическим объектам, которые являются D-бранами. Даже в этом случае математика, вытекающая из этого небольшого фрагмента теории струн, была одновременно глубокой и сложной.
Школа математики Института перспективных исследований в Принстоне планирует специальный год, посвященный гомологической зеркальной симметрии, в течение 2016-17 учебного года. Среди выдающихся участников будут Пол Зайдель из Массачусетского технологического института, Максим Концевич из IHÉS и Дени Ору из Калифорнийского университета в Беркли.
Лишь на нескольких примерах математики смогли проверить гипотезу. В своем основополагающем выступлении Концевич заметил, что гипотеза может быть доказана в случае эллиптических кривых с использованием тета-функций. Следуя по этому пути, Александр Полищук и Эрик Заслоу представили доказательство версии гипотезы для эллиптических кривых. Кендзи Фукая смог установить элементы гипотезы для абелевых разновидностей. Позже Концевич и Ян Сойбельман представили доказательство большей части гипотезы для неособых торических расслоений над аффинными многообразиями, используя идеи из гипотезы SYZ. В 2003 г. Пауль Зайдель доказал эту гипотезу в случае поверхности четвертой степени. В 2002 году Хаузель и Таддеус (2002) объяснили гипотезу SYZ в контексте системы Хитчина и двойственности Ленглендса.
Размерности h p, q пространств гармонических ( p, q) -дифференциальных форм (то есть когомологий, т. Е. Замкнутых форм по модулю точных форм) условно расположены в форме ромба, называемой ромбом Ходжа. Эти (p, q)-числа Бетти могут быть вычислены для полных пересечений с использованием производящей функции, описанной Фридрихом Хирцебрухом. Например, для трехмерного многообразия ромб Ходжа имеет значения p и q от 0 до 3:
| h 3,3 | ||||||
| h 3,2 | h 2,3 | |||||
| h 3,1 | h 2,2 | h 1,3 | ||||
| ч 3,0 | ч 2,1 | h 1,2 | h 0,3 | |||
| h 2,0 | h 1,1 | ч 0,2 | ||||
| h 1,0 | ч 0,1 | |||||
| ч 0,0 |
Зеркальная симметрия переводит размерное число (p, q) -й дифференциальной формы h p, q для исходного многообразия в h n-p, q для многообразия встречных пар. А именно, для любого многообразия Калаби – Яу ромб Ходжа не изменяется поворотом на π радиан, а ромбы Ходжа зеркальных многообразий Калаби – Яу связаны поворотом на π / 2 радиан.
В случае эллиптической кривой, которая рассматривается как одномерное многообразие Калаби – Яу, ромб Ходжа особенно прост: это следующий рисунок.
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 |
В случае поверхности K3, которая рассматривается как двумерное многообразие Калаби – Яу, поскольку числа Бетти равны {1, 0, 22, 0, 1}, их ромбом Ходжа является следующий рисунок.
| 1 | ||||
| 0 | 0 | |||
| 1 | 20 | 1 | ||
| 0 | 0 | |||
| 1 |
В трехмерном случае, обычно называемом многообразием Калаби – Яу, происходит очень интересная вещь. Иногда встречаются зеркальные пары, например M и W, которые имеют симметричные ромбы Ходжа относительно друг друга вдоль диагональной линии.
Бриллиант М:
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | а | 0 | ||||
| 1 | б | б | 1 | |||
| 0 | а | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
Бриллиант W:
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | б | 0 | ||||
| 1 | а | а | 1 | |||
| 0 | б | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
M и W соответствуют A- и B-модели в теории струн. Зеркальная симметрия заменяет не только гомологические размерности, но также симплектическую структуру и сложную структуру на зеркальных парах. Это источник гомологической зеркальной симметрии.
В 1990–1991 годах Candelas et al. 1991 год оказал большое влияние не только на перечислительную алгебраическую геометрию, но и на всю математику и мотивировал Концевича (1994). Зеркальная пара из двух квинтичных тройников в этой статье имеет следующие ромбы Ходжа.
|
|
