Перечислительная геометрия

В математике, числовая геометрия - это ветвь алгебраической геометрии, связанная с подсчетом чисел решений геометрических вопросов, в основном с помощью теории пересечений.

• 1 История
• 2 Ключевые инструменты
• 3 Исчисление Шуберта
• 4 Факторы Фаджа и пятнадцатая проблема Гильберта
• 5 Гипотеза Клеменса
• 6 Примеры
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Проблема Аполлония - один из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует количества и построения окружностей, которые касаются трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем, задача для трех заданных окружностей имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2, причем каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для особого расположения данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (без решений) до шести; нет аранжировки, для которой есть семь решений проблемы Аполлония.

Ряд инструментов, от простых до более сложных, включают:

• подсчет размерностей
• теорема Безу
• исчисление Шуберта и в более общем смысле характеристические классы в когомологиях
• Связь подсчета пересечений с когомологиями - это двойственность Пуанкаре
• Изучение пространств модулей кривых, отображений и другие геометрические объекты, иногда с помощью теории квантовой когомологии. Изучение квантовой когомологии, инвариантов Громова – Виттена и зеркальной симметрии привело к значительному прогрессу в гипотезе Клеменса.

Перечислительная геометрия очень тесно связана к теории пересечений.

Перечислительная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века под руководством Германа Шуберта. С этой целью он ввел исчисление Шуберта, которое доказало свою фундаментальную геометрическую и топологическую ценность в более широких областях. Специфические потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока им не было уделено дополнительное внимание в 1960-х и 1970-х годах (как указано, например, Стивеном Клейманом ). Число пересечений было строго определено (Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы на 1942–1942 гг., И снова впоследствии), но это не исчерпывало надлежащую область перечислительных вопросов.

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые «ложные факторы», которые были строго оправданы лишь десятилетия спустя.

В качестве примера посчитайте конические сечения , касательные к пяти заданным линиям на проекционной плоскости. Коники образуют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов как однородные координаты, а пять точек определяют конику, если точки находятся в общее линейное положение, так как прохождение через заданную точку накладывает линейное условие. Аналогично, касание к данной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, поэтому определена квадрика в P. Однако линейная система делителей, состоящая из всех таких quadric не обходится без базового локуса . Фактически каждая такая квадрика содержит поверхность Веронезе, которая параметризует коники

(aX + bY + cZ) = 0

, называемые «двойными линиями». Это потому, что двойная прямая пересекает каждую прямую на плоскости, поскольку прямые в проективной плоскости пересекаются с кратностью два, потому что она удваивается, и, таким образом, удовлетворяет тому же условию пересечения (пересечение кратности два), что и невырожденная коника, касающаяся линия.

Общая теорема Безу говорит, что 5 общих квадрик в 5-мерном пространстве будут пересекаться в 32 = 2 точках. Но соответствующие квадрики здесь не находятся в общем положении. Из 32 необходимо вычесть 31 и приписать ему веронезе, чтобы оставить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением 'коэффициент выдумки '.

Пятнадцатая проблема Гильберта заключалась в том, чтобы преодолеть явно произвольный характер этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки фундаментального вопроса самого исчисления Шуберта.

В 1984 году Х. Клеменс изучал подсчет количества рациональных кривых на пятерке $X\; \subset \; P\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; subset\; P\; ^\; \{4\}\}$и пришел к следующей гипотезе.

Пусть $X\; \subset \; P\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; subset\; P\; ^\; \{4\}\}$будет общей квинтикой тройной, $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$положительное целое число, то существует только конечное число рациональных кривых со степенью $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Эта гипотеза была решена в случай $d\; \le \; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; leq\; 9\}$, но все еще открыт для более высоких $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$.

В 1991 году статья о зеркальной симметрии на пятикратное тройное в $P\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{4\}\}$с теоретической точки зрения строки дает числа рациональных кривых степени d на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$для всех $d>0\; \{\backslash \; displaystyle\; d>0\}$. До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для $d\; \le \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; leq\; 5\}$.

Некоторые исторические К наиболее важным примерам перечислений в алгебраической геометрии относятся:

• 2 Число прямых, пересекающих 4 общие прямые в пространстве
• 8 Число окружностей, касающихся 3 общих окружностей (проблема Аполлония ).
• 27 Количество линий на гладкой кубической поверхности (Лосось и Кэли )
• 2875 Количество линий на общей пятой тройной
• 3264 Количество коник , касательных к 5 плоским коникам в общем положении (Chasles )
• 609250 Количество коник на общей пятерке
• 4407296 Количество коник, касательных к 8 общие квадратичные поверхности Фултон (1984, стр. 193)
• 666841088 Количество квадратичных поверхностей, касательных к 9 заданным квадратичным поверхностям в общем положении в 3-м пространстве (Schubert 1879, p.106) harv error: no target: CITEREFSchubert1879 (help ) (Fulton 1984, p. 193)
• 5819539783680 Количество скрученных кубических кривых, касательных к 12 заданным квадратичным поверхностям в общем положении в 3-м пространстве (Schubert 1879, p.184) harv error: no target: CITEREFSchubert1879 (help ) (S. Kleiman, SA Strømme S. Xambó 1987)

• Kleiman, S.; Strømme, SA; Xambó, S. (1987), "Набросок проверки числа Шуберта 5819539783680 скрученных кубиков", Космические кривые (Rocca di Papa, 1985), Lecture Notes in Math., 1266, Berlin: Springer, pp. 156–180, doi : 10.1007 / BFb0078183, ISBN 978-3-540-18020- 3, MR 0908713
• Schubert, Hermann (1979) [1879], Kleiman, Steven L. (ed.), Kalkül der abzählenden Geometrie, Перепечатка оригинала 1879 года (на немецком языке), Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-09233-1, MR 0555576

• Bashelor, Andrew; Ксир, Эми; Травес, Уилл (2008). «Перечислительная алгебраическая геометрия коник». Амер. Математика. Ежемесячно. 115 (8): 701–7. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920584. JSTOR 27642583.