Двойственность Монтонена – Оливии

редактировать

Двойственность Монтонена-Олива или электрическая-магнитная дуальность - самый старый известный пример сильной-слабой дуальности или S-дуальности, согласно современной терминологии. Он обобщает электромагнитную симметрию уравнений Максвелла, утверждая, что магнитные монополи, которые обычно рассматриваются как возникающие квазичастицы, являющиеся «составными» (т.е. они являются солитонами или топологическими дефектами ), на самом деле могут рассматриваться как «элементарные» квантованные частицы с электроны, играющие обратную роль «составных» топологических солитонов ; точки зрения эквивалентны, а ситуация зависит от двойственности. Позднее было доказано, что это справедливо при рассмотрении N = 4 суперсимметричной теории Янга – Миллса. Он назван в честь финского физика Клауса Монтонена и британского физика Дэвида Олива после того, как они предложили идею в своей академической статье. Магнитные монополи как калибровочные частицы? где они заявляют:

Должны существовать две «дуально эквивалентные» полевые формулировки одной и той же теории, в которых электрические (нётер) и магнитные (топологические) квантовые числа меняются ролями.

-  Montonen amp; Olive (1977), стр. 117

S-двойственность в настоящее время является основным ингредиентом в теориях поля топологической квантовой и теории струн, особенно с 1990 - х годов с появлением второй суперструнной революции. Эта двойственность сейчас является одной из нескольких в теории струн, а соответствие AdS / CFT, порождающее голографический принцип, рассматривается как одно из самых важных. Эти двойственности сыграли важную роль в физике конденсированного состояния, от предсказания дробных зарядов электрона до открытия магнитного монополя.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Электромагнитная двойственность
  • 2 Двойная гравитация
  • 3 Математический формализм
  • 4 Философские последствия
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Дальнейшее чтение

Электро-магнитная двойственность

Идея о близком сходстве между электричеством и магнетизмом, восходящая ко временам Андре-Мари Ампера и Майкла Фарадея, была впервые уточнена благодаря формулировке Джеймсом Клерком Максвеллом его знаменитых уравнений единой теории электрического и магнитного полей.:

E знак равно ρ × E + B ˙ знак равно 0 B знак равно 0 × B - E ˙ знак равно j . {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} amp; = \ rho \ quad amp; \ nabla \ times \ mathbf {E} + {\ dot {\ mathbf {B}}} amp; = 0 \ \\ nabla \ cdot \ mathbf {B} amp; = 0 \ quad amp; \ nabla \ times \ mathbf {B} - {\ dot {\ mathbf {E}}} amp; = \ mathbf {j}. \ end {выровнено} }}

Симметрия между и в этих уравнениях поразительна. Если игнорировать источники или добавлять магнитные источники, уравнения инвариантны относительно и. E {\ displaystyle \ mathbf {E}} B {\ displaystyle \ mathbf {B}} E B {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ rightarrow \ mathbf {B}} B - E {\ displaystyle \ mathbf {B} \ rightarrow - \ mathbf {E}}

Почему между и должна быть такая симметрия ? В 1931 году Поль Дирак изучал квантовую механику электрического заряда, движущегося в магнитном монопольном поле, и обнаружил, что может последовательно определять волновую функцию только в том случае, если электрический заряд и магнитный заряд удовлетворяют условию квантования: E {\ displaystyle \ mathbf {E}} B {\ displaystyle \ mathbf {B}} е {\ displaystyle e} q {\ displaystyle q}

е q знак равно 2 π п п знак равно 0 , ± 1 , ± 2... {\ displaystyle {\ begin {align} eq = 2 \ pi \ hbar n \ quad \ quad amp; n = 0, \ pm 1, \ pm 2... \\\ конец {выровнено}}}

Обратите внимание, что из вышесказанного, если где-то существует только один монополь некоторого заряда, то все электрические заряды должны быть кратны единице. Это могло бы «объяснить», почему величина заряда электрона и заряда протона должна быть в точности равной и одинаковой независимо от того, какой электрон или протон мы рассматриваем, факт, который, как известно, справедлив до одной части из 10 21. Это заставило Дирака заявить: q {\ displaystyle q} 2 π / q {\ displaystyle 2 \ pi \ hbar / q}

Интерес теории магнитных полюсов состоит в том, что она представляет собой естественное обобщение обычной электродинамики и приводит к квантованию электричества. [...] Квантование электричества - одна из самых фундаментальных и поразительных особенностей атомной физики, и, похоже, ей нет объяснения, кроме теории полюсов. Это дает некоторые основания верить в существование этих полюсов.

-  Дирак (1948), с. 817

Направление магнитных монополей сделало шаг вперед в 1974 году, когда Герард 'т Хоофт и Александр Маркович Поляков независимо построили монополи не как квантованные точечные частицы, а как солитоны, в системе Янга-Миллса-Хиггса ранее магнитные монополи всегда включали точечная особенность. Тема была мотивирована вихрями Нильсена – Олесена. SU ( 2 ) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}

При слабой связи электрически и магнитно заряженные объекты выглядят совершенно по-разному: один - точечная электронная частица со слабой связью, а другой - монопольный солитон с сильной связью. Постоянная магнитной тонкой структуры примерно обратна обычной: α м q 2 / 4 π знак равно п 2 / 4 α {\ displaystyle \ alpha _ {m} q ^ {2} / 4 \ pi \ hbar = n ^ {2} / 4 \ alpha}

В 1977 году Клаус Монтонен и Дэвид Олив предположили, что при сильной связи ситуация изменится на противоположную: электрически заряженные объекты будут сильно связаны и иметь несингулярные ядра, в то время как магнитно заряженные объекты станут слабо связанными и будут похожи на точки. Теория сильной связи была бы эквивалентна теории слабосвязанной, в которой основные кванты несли магнитные, а не электрические заряды. В последующей работе эта гипотеза была уточнена Ed Витте и Дэвид Олив, они показали, что в суперсимметрич- расширения модели Джорджи-Глэшоу, то суперсимметричная версия (N это числа сохраняющихся суперсимметрий), не были никаких квантовых поправок к классической массе спектр и расчет точных масс могут быть получены. Проблема, связанная с единичным спином монополя, осталась и для этого случая, но вскоре после того, как ее решение было получено для случая суперсимметрии: Хью Осборн смог показать, что когда в суперсимметричной калибровочной теории N = 4 накладывается спонтанное нарушение симметрии, спины топологических монопольных состояний идентичны спинам массивных калибровочных частиц. N знак равно 2 {\ Displaystyle N = 2} N знак равно 2 {\ Displaystyle N = 2} N знак равно 4 {\ Displaystyle N = 4}

Двойная гравитация

В 1979–1980 годах дуальность Монтонена – Олива послужила стимулом для разработки смешанного симметричного поля Кертрайта с высшими спинами. Для случая спина 2 динамика калибровочного преобразования поля Кертрайта двойственна гравитону в пространстве-времени Dgt; 4. В то же время, спин-0 поля, разработанный Curtright - Freund, двойственна Freund - Nambu поле, который соединен с следа его тензора энергии-импульса.

Безмассовы линеаризуется двойной гравитации теоретически реализован в 2000 - е годы для широкого класса полей высших спинов калибровочных, особенно, что связано с, и супергравитацией. S О ( 8 ) {\ Displaystyle \ mathrm {SO} (8)} E 7 {\ displaystyle E_ {7}} E 11 {\ displaystyle E_ {11}}

Массивная дуальная гравитация со спином 2 до низшего порядка в D = 4 и N - D недавно была представлена ​​как теория, двойственная к массивной гравитации теории Огиевецкого – Полубаринова. Двойственное поле связано с ротором тензора энергии-импульса.

Математический формализм

В четырехмерной теории Янга-Миллса с N = 4 суперсимметрией, что является случаем, когда применяется двойственность Монтонена-Олива, можно получить физически эквивалентную теорию, если заменить калибровочную константу связи g на 1 / g. Это также включает обмен электрически заряженными частицами и магнитными монополями. См. Также двойственность Зайберга.

Фактически, существует более крупная SL (2, Z) -симметрия, при которой как g, так и тета-угол преобразуются нетривиально.

Соединение манометра и тета-угол можно объединить в одну сложную муфту.

τ знак равно θ 2 π + 4 π я грамм 2 . {\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} + {\ frac {4 \ pi i} {g ^ {2}}}.}

Поскольку тета-угол периодичен, существует симметрия

τ τ + 1. {\ displaystyle \ tau \ mapsto \ tau +1.}

Квантовая механическая теория с калибровочной группой G (но не классическая теорией, за исключением случая, когда G является абелевым ) также инвариантна относительно симметрии

τ - 1 п грамм τ {\ displaystyle \ tau \ mapsto {\ frac {-1} {n_ {G} \ tau}}}

в то время как калибровочная группа G одновременно заменяется ее дуальной группой Ленглендса L G и является целым числом в зависимости от выбора калибровочной группы. В случае, когда тета-угол равен 0, это сводится к простой форме двойственности Монтонена – Олива, указанной выше. п грамм {\ displaystyle n_ {G}}

Философские последствия

Двойственность Монтонена – Олива ставит под сомнение идею о том, что мы можем получить полную теорию физики, сведя вещи к их «фундаментальным» частям. Философия редукционизма утверждает, что если мы понимаем «фундаментальные» или «элементарные» части системы, мы можем вывести все свойства системы в целом. Двойственность утверждает, что не существует физически измеримого свойства, которое могло бы вывести, что является фундаментальным, а что нет, понятие того, что является элементарным, а что составным, просто относительное, действуя как своего рода калибровочная симметрия. Это, кажется, поддерживает точку зрения на эмерджентизм, поскольку и заряд Нётер (частица), и топологический заряд (солитон) имеют одну и ту же онтологию. Несколько известных физиков подчеркнули значение двойственности:

В соответствии с картой дуальности часто элементарная частица в одной теории струн отображается на составную частицу в двойной теории струн и наоборот. Таким образом, классификация частиц на элементарные и составные теряет значение, поскольку зависит от того, какую конкретную теорию мы используем для описания системы.

-  Сен (2001), стр. 3

Я мог бы продолжать и продолжать, отправляя вас в путешествие по пространству теорий струн, и показывать вам, как все изменчиво, и нет ничего более элементарного, чем все остальное. Лично я готов поспорить, что такое антиредукционистское поведение верно в любом последовательном синтезе квантовой механики и гравитации.

-  Сасскинд (2011), стр. 178

Первый вывод состоит в том, что объяснение Дирака квантования заряда триумфально подтверждается. На первый взгляд казалось, что идея объединения дает альтернативное объяснение, избегающее монополей, но это было иллюзией, поскольку магнитные монополи действительно скрывались в теории, замаскированные под солитоны. Это поднимает важный концептуальный момент. Магнитный монополь здесь рассматривался как настоящая частица, хотя он возник как солитон, а именно как решение классических уравнений движения. Следовательно, он, по-видимому, имеет другой статус по сравнению с «планковскими частицами», которые рассматривались до сих пор и обсуждались в начале лекции. Они возникли как квантовые возбуждения исходных полей первоначальной формулировки теории, продукты процедур квантования, примененных к этим динамическим переменным (полям).

-  Olive (2001), стр. 5

Однако этот аргумент не имеет большого значения для реальности теории струн в целом, и, возможно, лучшая перспектива может помочь в поисках последствий соответствия AdS / CFT и таких глубоких математических связей, как чудовищный самогон. Принимая во внимание тот факт, что экспериментально проверенные доказательства не имеют никакого отношения к ландшафту теории струн ; где с философской точки зрения антропный принцип в наибольшей степени является самооправданием любой недоказуемой теории.

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

Академические работы

Zizzi, PA (март 1984 г.). Расширение картины Калуцы-Клейна для N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Phys Lett, B, 137 (1/2), 57–61.

Книги
Последняя правка сделана 2023-04-17 04:17:45
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте