Категория Фукая

редактировать

В симплектической топологии, категория Фукая из симплектического многообразия является категорией, объекты которой являются лагранжевыми подмногообразиями из, и морфизмов являются Floer группа цепей :. Его более тонкую структуру можно описать на языке квазикатегорий как A ∞- категорию. ${\ Displaystyle (М, \ omega)}$ $(М, \ омега)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (М)}$ $\ mathcal F (M)$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (L_ {0}, L_ {1}) = FC (L_ {0}, L_ {1})}$ $\ mathrm {Hom} (L_0, L_1) = FC (L_0, L_1)$

Они названы в честь Кендзи Фукая, который первым ввел язык в контексте гомологии Морзе, и существует во многих вариантах. Как Fukaya категория ∞ -Категории, они связаны производные категории, которые являются предметом знаменитой гомологической зеркальной симметрии гипотезы Концевича. Эта гипотеза была подтверждена расчетами на ряде сравнительно простых примеров. ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ $A _ {\ infty}$

СОДЕРЖАНИЕ

1 Формальное определение
2 См. Также
3 ссылки
4 Библиография
5 Внешние ссылки

Формальное определение

Позвольте быть симплектическим многообразием. Для каждой пары лагранжевых подмногообразий предположим, что они пересекаются трансверсально, а затем определим коцепной комплекс Флоера, который является модулем, порожденным точками пересечения. Коцепь Флоера рассматривается как набор морфизмов от до. Категория Фукая - это категория, означающая, что помимо обычных композиций существуют более высокие композиционные карты. ${\ displaystyle (X, \ omega)}$ ${\ displaystyle (X, \ omega)}$ ${\ Displaystyle L_ {0}, L_ {1} \ subset X}$ ${\ Displaystyle L_ {0}, L_ {1} \ subset X}$ ${\ displaystyle CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1})}$ ${\ displaystyle CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1})}$ ${\ displaystyle L_ {0} \ cap L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0} \ cap L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_1$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$

{\ displaystyle \ mu _ {d}: CF ^ {*} (L_ {d-1}, L_ {d}) \ otimes CF ^ {*} (L_ {d-2}, L_ {d-1}) \ otimes \ cdots \ otimes CF ^ {*} (L_ {1}, L_ {2}) \ otimes CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1}) \ to CF ^ {*} (L_ { 0}, L_ {d}).}

{\ displaystyle \ mu _ {d}: CF ^ {*} (L_ {d-1}, L_ {d}) \ otimes CF ^ {*} (L_ {d-2}, L_ {d-1}) \ otimes \ cdots \ otimes CF ^ {*} (L_ {1}, L_ {2}) \ otimes CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1}) \ to CF ^ {*} (L_ { 0}, L_ {d}).}

Это определяется следующим образом. Выберите совместимую почти комплексную структуру на симплектическом многообразии. Для генераторов коцепных комплексов слева и любого генератора коцепных комплексов справа пространство модулей -голоморфных многоугольников с гранями, каждая грань которых отображается в, имеет счет ${\ displaystyle J}$ $J$ ${\ displaystyle (X, \ omega)}$ ${\ displaystyle (X, \ omega)}$ ${\ displaystyle p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}}$ ${\ displaystyle p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}}$ ${\ displaystyle q_ {0d}}$ ${\ displaystyle q_ {0d}}$ ${\ displaystyle J}$ $J$ ${\ displaystyle d + 1}$ ${\ displaystyle d + 1}$ ${\ Displaystyle L_ {0}, L_ {1}, \ ldots, L_ {d}}$ ${\ Displaystyle L_ {0}, L_ {1}, \ ldots, L_ {d}}$

{\ Displaystyle п (п_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}; q_ {0d})}

{\ Displaystyle п (п_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}; q_ {0d})}

в кольце коэффициентов. Затем определите

{\ displaystyle \ mu _ {d} (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}) = \ sum _ {q_ {0d} \ in L_ {0} \ cap L_ {d}} n (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}) \ cdot q_ {0d} \ in CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {d})}

{\ displaystyle \ mu _ {d} (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}) = \ sum _ {q_ {0d} \ in L_ {0} \ cap L_ {d}} n (p_ {d-1d}, \ ldots, p_ {01}) \ cdot q_ {0d} \ in CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {d})}

и расширяются полилинейно. ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$

Последовательность высших композиций удовлетворяет этому соотношению, поскольку границы различных пространств модулей голоморфных многоугольников соответствуют конфигурациям вырожденных многоугольников. ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots,}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots,}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$

Это определение категории Фукая для общего (компактного) симплектического многообразия никогда не давалось строго. Основная проблема - проблема трансверсальности, которая важна для определения счета голоморфных дисков.

Смотрите также

Гомотопическая ассоциативная алгебра

Библиография

Дени Ору, Введение в категории Фукая для новичков.

Поль Зайдель, категории Фукая и теория Пикара-Лефшеца. Цюрихские лекции по высшей математике
Фукая, Кендзи ; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Теория Флоера лагранжевых пересечений: аномалия и препятствие. Часть I, Исследования AMS / IP по высшей математике, 46, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4836-4, Руководство по ремонту 2553465
Фукая, Кендзи ; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Теория Флоера лагранжевых пересечений: аномалия и препятствие. Часть II, Исследования AMS / IP по высшей математике, 46, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; International Press, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4837-1, MR 2548482

Внешние ссылки