Поперечное сечение (геометрия)

редактировать
Вид в разрезе компрессионного уплотнения

в геометрии и наука, поперечное сечение - это непустое пересечение твердого тела в трехмерном пространстве с плоскостью, или аналог в многомерных пространствах. При разрезании объекта на кусочки создается множество параллельных поперечных сечений. Граница поперечного сечения в трехмерном пространстве, которая параллельна двум из осей , то есть параллельна плоскости, определенной этими осями, иногда называется линией контура . ; например, если плоскость пересекает горы карты рельефа параллельно земле, результатом будет контурная линия в двухмерном пространстве, показывающая точки на поверхности гор, равные высота.

В техническом чертеже поперечное сечение, являющееся проекцией объекта на плоскость, которая его пересекает, является обычным инструментом, используемым для изображения внутреннего расположения трехмерного объекта в двух измерениях.. Он традиционно заштрихован со стилем заштриховки, часто указывающим на типы используемых материалов.

С помощью компьютерной аксиальной томографии компьютеры могут построить поперечные сечения из данных рентгеновских лучей.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Плоские сечения
  • 2 Математические примеры сечений и плоских сечений
    • 2.1 По смежным предметам
  • 3 Площадь и объем
  • 4 В более высоких измерениях
  • 5 Примеры в науке
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки

Определение

Если плоскость пересекает твердое тело (трехмерный объект), то область, общая для плоскость и твердое тело называется поперечным сечением твердого тела. Плоскость, содержащая поперечное сечение твердого тела, может называться секущей плоскостью.

Форма поперечного сечения твердого тела может зависеть от ориентации режущей плоскости по отношению к твердому телу. Например, в то время как все поперечные сечения шара представляют собой диски, поперечные сечения куба зависят от того, как секущая плоскость связана с кубом. Если секущая плоскость перпендикулярна линии, соединяющей центры двух противоположных граней куба, поперечное сечение будет квадратом, однако, если секущая плоскость перпендикулярна диагонали куба, соединяющей противоположные вершины, поперечное сечение сечение может быть точкой, треугольником или шестиугольником.

Плоские сечения

Связанное понятие - это плоское сечение, которое представляет собой кривую пересечения плоскости с поверхностью. Таким образом, плоское сечение является границей поперечного сечения твердого тела в плоскости сечения.

Если поверхность в трехмерном пространстве определяется функцией двух переменных, т. Е. Z = f (x, y), плоскость срезается плоскостями сечения, которые параллельны координатной плоскости (a плоскости, определяемой двумя осями координат) называются кривыми уровня или изолиниями . Более конкретно, плоскости сечения с уравнениями вида z = k (плоскости, параллельные плоскости xy) создают плоские сечения, которые в прикладных областях часто называют контурными линиями .

Математические примеры поперечных сечений и плоских сечений

Цветные области - это поперечные сечения твердого конуса. Их границы (черные) - это названные плоские сечения.

Поперечное сечение многогранника - это многоугольник.

конические сечения - круги, эллипсы, параболы и гиперболы - это плоские сечения конуса с плоскостями разреза под разными углами, как показано на диаграмме слева.

Любое поперечное сечение, проходящее через центр эллипсоида, образует эллиптическую область, а соответствующие плоские секции представляют собой эллипсы на его поверхности. Они вырождаются в диски и окружности, соответственно, когда плоскости резки перпендикулярны оси симметрии. В более общем смысле плоские сечения квадрики представляют собой конические сечения.

Поперечное сечение сплошного цилиндра

Поперечное сечение сплошного правого кругового цилиндра, проходящего между двумя основаниями, представляет собой диск, если поперечное сечение параллельно основанию цилиндра, или эллиптическая область (см. Диаграмму справа), если она не параллельна и не перпендикулярна основанию. Если секущая плоскость перпендикулярна основанию, она состоит из прямоугольника (не показан), если только он не является касательной к цилиндру, и в этом случае это одна линия сегмент.

Термин цилиндр может также означать боковую поверхность твердого цилиндра (см. Цилиндр (геометрия) ). Если цилиндр используется в этом смысле, приведенный выше абзац будет выглядеть следующим образом: Плоское сечение правого кругового цилиндра конечной длины - это круг, если плоскость разреза перпендикулярна оси симметрии цилиндра, или эллипс, если он не параллелен и не перпендикулярен этой оси. Если секущая плоскость параллельна оси, плоское сечение состоит из пары параллельных линейных сегментов, если только секущая плоскость не касается цилиндра, и в этом случае плоское сечение представляет собой один линейный сегмент.

График z = x + xy + y. Для частной производной в (1, 1, 3), которая оставляет постоянным y, соответствующая касательная линия параллельна плоскости xz. Плоское сечение приведенного выше графика, показывающее кривую уровня в плоскость xz при y = 1

Сечение плоскости может использоваться для визуализации частной производной функции по одному из ее аргументов, как показано. Предположим, что z = f (x, y). Взяв частную производную f (x, y) по x, можно взять плоское сечение функции f при фиксированном значении y, чтобы построить кривую уровня z исключительно относительно x; тогда частная производная по x представляет собой наклон полученного двумерного графа.

В связанных предметах

Плоское сечение функции плотности вероятности двух случайных величин, в котором плоскость отсечения имеет фиксированное значение одной из переменных, является условная функция плотности другой переменной (условная от фиксированного значения, определяющего сечение плоскости). Если вместо этого взять плоское сечение для фиксированного значения плотности, результатом будет контур изоплотности . Для нормального распределения эти контуры представляют собой эллипсы.

В экономике, производственная функция f (x, y) указывает выпуск, который может быть произведен с помощью различных количеств x и y ресурсов, обычно трудовых и физических. капитал. Производственную функцию фирмы или общества можно изобразить в трехмерном пространстве. Если взять сечение плоскости параллельно плоскости xy, результатом будет изокванта , показывающая различные комбинации использования труда и капитала, которые могут привести к уровню выпуска, определяемому высотой сечения плоскости. В качестве альтернативы, если плоское сечение производственной функции берется на фиксированном уровне y, то есть параллельно плоскости xz, то результатом является двумерный график, показывающий, какой объем выпуска может быть произведен при каждом из различных значений. использования x одного входа в сочетании с фиксированным значением другого входа y.

Также в экономике кардинальная или порядковая функция полезности u (w, v) дает степень удовлетворения потребителя, полученного потреблением количества w и v двух товаров. Если взять плоское сечение функции полезности на заданной высоте (уровне полезности), двумерным результатом будет кривая безразличия, показывающая различные альтернативные комбинации потребленных количеств w и v двух товаров. из которых дают указанный уровень полезности.

Площадь и объем

Принцип Кавальери гласит, что твердые тела с соответствующими поперечными сечениями равных площадей имеют равные объемы.

Площадь поперечного сечения (A ′ {\ displaystyle A '}A') объекта при просмотре под определенным углом - это общая площадь ортогональной проекции объекта. под этим углом. Например, цилиндр высотой h и радиусом r имеет A '= π r 2 {\ displaystyle A' = \ pi r ^ {2}}A'=\pi r^{2}, если смотреть вдоль его центральной оси, и A '= 2 rh {\ displaystyle A' = 2rh}A'=2rhпри просмотре с ортогонального направления. Сфера радиуса r имеет A '= π r 2 {\ displaystyle A' = \ pi r ^ {2}}A'=\pi r^{2}при просмотре под любым углом. В более общем смысле, A ′ {\ displaystyle A '}A'можно вычислить, вычислив следующий интеграл по поверхности:

A ′ = ∬ topd A ⋅ r ^, {\ displaystyle A' = \ iint \ limits _ {\ mathrm {top}} d \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}},}A'=\iint \limits _{{\mathrm {top}}}d{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {{\hat {r}}}},

где r ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r} }}\ mathbf {\ hat {r}} - это единичный вектор, указывающий вдоль направления взгляда к зрителю, d A {\ displaystyle d \ mathbf {A}}d \ mathbf {A} - элемент поверхности с направленным наружу указывает нормаль, и интеграл берется только по самой верхней поверхности, той части поверхности, которая «видна» с точки зрения наблюдателя. Для выпуклого тела каждый луч, проходящий через объект с точки зрения наблюдателя, пересекает только две поверхности. Для таких объектов интеграл можно взять по всей поверхности (A {\ displaystyle A}A ), взяв абсолютное значение подынтегральной функции (так, чтобы «верх» и «низ» объект не вычитается, как того требует теорема о расходимости, примененная к постоянному векторному полю r ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}\ mathbf {\ hat {r}} ) и делением на два:

A ′ = 1 2 ∬ A | d A ⋅ r ^ | {\ displaystyle A '= {\ frac {1} {2}} \ iint \ limits _ {A} | d \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}} |}A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {{\hat {r}}}}|

В более высоких измерениях

По аналогии с поперечным сечением твердого тела поперечное сечение n-мерного тела в n-мерном пространстве представляет собой непустое пересечение тела с гиперплоскостью (an (n - 1) -мерное подпространство). Эта концепция иногда использовалась, чтобы помочь визуализировать аспекты пространств более высоких измерений. Например, если четырехмерный объект пройдет через наше трехмерное пространство, мы увидим трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта. В частности, 4-шар (гиперсфера), проходящий через 3-пространство, будет выглядеть как 3-шар, который увеличился до максимума, а затем уменьшился в размере во время перехода. Этот динамический объект (с точки зрения 3-мерного пространства) представляет собой последовательность сечений 4-шара.

Примеры в науке

Схематический разрез внутренней части Земли Поперечный разрез среднего мозга на уровне верхнего бугорка. Pinus taeda Поперечный разрез показаны годовые кольца, Черо, Южная Каролина.

В геологии структура внутренней части планеты часто иллюстрируется схемой поперечного сечения планета, которая проходит через центр планеты, как в поперечном сечении Земли справа.

Поперечные сечения часто используются в анатомии для иллюстрации внутренней структуры органа, как показано слева.

Поперечный разрез ствола дерева, как показано слева, показывает годичные кольца, которые можно использовать для определения возраста дерева и временных свойств. своего окружения.

См. Также

На Викискладе есть материалы, относящиеся к Поперечным сечениям.

Примечания

Ссылки

  • Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Стюарт, Ян (2001), Флаттерленд / Флаттерленд, только в большей степени, Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
  • Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание), Prindle, Weber Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Последняя правка сделана 2021-05-16 09:45:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте