Теория Калуцы - Клейна

редактировать

Единая теория поля

В физике, теория Калуцы - Клейна (Теория КК ) - это классическая объединенная теория поля гравитации и электромагнетизма, построенная на идее пятое измерение обычных четырех из пространства и времени и важным сверхпредшественником теории струн. Гуннар Нордстрём имел более раннюю похожую идею. В этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал и записывающий уравнения Максвелла в 5 измерениях.

Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза исходила от Теодора Калуцы, который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году и опубликовал их в 1921 году. Калуца представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрикой тензор из 15 компонентов. 10 компонентов отождествляются с четырехмерной метрикой пространства-времени, четыре компонента с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент с неидентифицированным скалярным полем, который иногда называют «радионом » или «дилатоном». Соответственно, 5D уравнения Эйнштейна дают 4D уравнения поля Эйнштейна, уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца также представил гипотезу «состояния цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого предположения вводятся члены, включающие производные поля по пятой координате. Дополнительная степень свободы такова. Стандартная физика 4D, кажется, проявляет состояние цилиндра и соответствующую более простую математику.

В 1926 году Оскар Кляйн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию в соответствии с недавними открытиями Гейзенберга и Шредингера. Кляйн выдвинул гипотезу о, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Кляйн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом 10 см. Кляйн также внес вклад в классическую теорию, предоставив должным образом нормализованную 5-мерную метрику. Эйнштейн и его коллеги из Принстона в 1930-х годах продолжали работу над теорией поля Калуцы.

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и полные уравнения поля, включая скалярное поле, были получены тремя исследовательскими группами: Тири, работающим во Франции над диссертацией под руководством Лихнеровича; Джордан, Людвиг и Мюллер в Германии при критическом вкладе Паули и Фирца; и Шеррер работал один в Швейцарии. Работа Джордана привела к скалярно-тензорной теории Бранса-Дике ; Бранс и Дике, очевидно, ничего не знали о Тири и Шеррере. Полные уравнения Калуцы в условиях цилиндра довольно сложные, и большинство русскоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных формул Калуцы были оценены с использованием в 2015 году, проверяя результаты Ferrari и Coquereaux Esposito-Farese. 5D форма источников энергии-импульса рассмотрена Уильямсом.

Содержание

1 Гипотеза Калуцы
2 Уравнения поля из гипотезы Калуцы
3 Уравнения движения из гипотезы Калуцы
4 Гипотеза Калуцы для тензора энергии-импульса вещества
5 Квантовая интерпретация Клейна
6 Интерпретация квантовой теории поля
7 Интерпретация теории групп
8 Теория пространства-времени-материи
9 Геометрическая интерпретация
- 9.1 Уравнения Эйнштейна
- 9.2 Уравнения Максвелла
- 9.3 Калуца –Геометрия Клейна
- 9.4 Обобщения
10 Эмпирические тесты
11 См. Также
12 Примечания
13 Ссылки
14 Дополнительная литература

Гипотеза Калуцы

В его 1921 г. В статье Калуца установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и условие цилиндра. Без свободных параметров он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Первый начинается с гипотезы о форме пятимерной метрики $g ~ a b {\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab}}$ ${\ widetilde {g}} _ {ab}$ , где латинские индексы охватывают пять измерений. Позвольте также достичь метрику четырехмерного пространства-времени $g μ ν {\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$ ${g} _ {\ mu \ nu}$ , где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор $A μ {\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ , отождествляемый с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Затем разложите 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была обрамлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно представить как:

g ~ ab ≡ [g μ ν + ϕ 2 A μ A ν ϕ 2 A μ ϕ 2 A ν ϕ 2] {\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab} \ Equiv {\ begin {bmatrix} g _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu} \ phi ^ {2} A _ {\ mu} \\\ phi ^ {2} A _ {\ nu} \ phi ^ {2} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab} \ Equiv {\ begin {bmatrix} g _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu} \ phi ^ {2} A _ {\ mu} \\\ phi ^ {2} A _ {\ nu} \ phi ^ { 2} \ end {bmatrix}}}

Точнее можно написать

g ~ μ ν ≡ g μ ν + ϕ 2 A μ A ν, g ~ 5 ν ≡ г ~ ν 5 ≡ ϕ 2 A ν, г ~ 55 ≡ ϕ 2 {\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {\ mu \ nu} \ Equiv g _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde {g}} _ {5 \ nu} \ Equiv {\ widetilde {g}} _ {\ nu 5} \ Equiv \ phi ^ {2} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde {g}} _ {55} \ Equiv \ phi ^ {2}}

{\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {\ mu \ nu} \ Equiv g _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde { g}} _ {5 \ nu} \ Equiv {\ widetilde {g}} _ {\ nu 5} \ Equiv \ phi ^ {2} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde {g}} _ { 55} \ Equiv \ phi ^ {2}}

, где индекс $5 {\ displaystyle 5}$ $5$ указывает пятая координата по соглашению, даже если первые четыре координаты имеют номера 0, 1, 2 и 3. Соответствующая обратная метрика

g ~ ab ≡ [g μ ν - A μ - A ν g α β A α A β + 1 ϕ 2] {\ displaystyle {\ widetilde {g}} ^ {ab} \ Equiv {\ begin {bmatrix} g ^ {\ mu \ nu} - A ^ { \ mu} \\ - A ^ {\ nu} g _ {\ alpha \ beta} A ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} + {1 \ over \ phi ^ {2}} \ en d {bmatrix }}}

{\ displaystyle { \ widetilde {g}} ^ {ab} \ Equiv {\ begin {bmatrix} g ^ {\ mu \ nu} - A ^ {\ mu} \\ - A ^ {\ nu} g _ {\ alpha \ beta} A ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} + {1 \ over \ phi ^ {2}} \ end {bmatrix}}}

Это разложение является довольно общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца применяет к этой метрике стандартную общей теории относительности. Уравнения получены из пятимерных уравнений Эйнштейна, а уравнения движения - из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля дают уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения обеспечивают четырехмерное геодезическое уравнение и закон силы Лоренца, и обнаруживается, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Гипотеза для метрики подразумевает инвариантный элемент пятимерной длины $ds {\ displaystyle \ operatorname {d} \! S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! s}$ :

ds 2 ≡ g ~ abdxadxb = g μ ν dx μ dx ν + ϕ 2 (A ν dx ν + dx 5) 2 {\ displaystyle \ operatorname {d} \! s ^ {2} \ Equiv {\ widetilde {g}} _ {ab} \ operatorname {d} \! x ^ {a} \ operatorname {d} \! x ^ {b} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ operatorname {d} \! x ^ {\ nu} + \ phi ^ {2} (A _ {\ nu} \ operatorname {d} \! X ^ {\ nu} + \ operatorname {d} \! X ^ {5}) ^ {2 }}

{ \ displaystyle \ operatorname {d} \! s ^ {2} \ Equiv {\ widetilde {g}} _ {ab} \ operatorname {d} \! x ^ {a} \ operatorname {d} \! x ^ {b} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ operatorname {d} \! x ^ {\ nu} + \ phi ^ {2} (A _ {\ nu} \ operatorname {d} \! x ^ {\ nu} + \ operat orname {d} \! x ^ {5}) ^ { 2}}

Полевые уравнения из гипотезы Калуцы

Уравнения поля 5-мерной теории никогда не были адекватны Калуцой или Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле. Полные уравнения поля Калуцы обычно приписываются Тири, который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца использовал тензор энергии-напряжения для своей теории, а Тири включил тензор энергии-напряжения в свою диссертацию. Но, как описал Гоннер, несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, возможно, известен только потому, что Эпплквист, Чодос и Фройнд предоставили английский перевод в их обзорной книге. Applequist et al. также предоставил английский перевод статьи Калуцы. Нет переводов на английский язык статей Джордана. Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены сведения.

Для получения уравнений поля 5D вычисляются 5D связи $Γ ~ bca {\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a}}$ $\ widetilde {\ Gamma} _ {{bc}} ^ {a}$ из 5D-метрики $g ~ ab {\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab}}$ $\ widetilde {g} _ {{ab}}$ и 5D-тензора Риччи $R ~ ab {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ { ab}}$ $\ widetilde {R} _ {{ab}}$ рассчитывается на основе соединений 5D.

Классические результаты Тири и других авторов предполагают условие цилиндра:

∂ g ~ ab ∂ x 5 = 0 {\ displaystyle {\ partial {\ widetilde {g}} _ {ab} \ over \ partial x ^ {5}} = 0}

{\ partial \ widetilde {g} _ {{ab}} \ over \ partial x ^ {5}} = 0

Без этого предположения уравнения становятся намного более сложными, гораздо больше степеней свободы, которые можно отождествить с различными полями. Пол Вессон и его коллеги были ослаблены условием цилиндра, чтобы получить дополнительные члены, которые можно было отнести к классу силовых цилиндров, для Калуца, иначе, вручную, вставил тензор энергии-напряжения.

Было возражение против исходной гипотезы Калуцы ссылаться на пятое измерение только для того, чтобы отрицать его динамику. Но Тири утверждал, что интерпретация закона силы Лоренца в терминах 5-мерной геодезической силы препятствует появлению пятого измерения от состояния цилиндра. Авторы полезных ископаемых используются для вывода цилиндра при выводе поля. Кроме того, обычно используются уравнения вакуума, для которых

R ~ ab = 0 {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} = 0}

\ widetilde {R} _ {{ab}} = 0

, где

R ~ ab ≡ ∂ c Γ ~ abc - ∂ б Γ ~ cac + Γ ~ cdc Γ ~ abd - Γ ~ bdc Γ ~ acd {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} \ Equiv \ partial _ {c} {\ widetilde {\ Gamma }} _ {ab} ^ {c} - \ partial _ {b} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ca} ^ {c} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {cd} ^ {c} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ab} ^ {d} - {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bd} ^ {c} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ac} ^ {d}}

\ widetilde {R} _ {{ab}} \ Equiv \ partial _ {c} \ widetilde {\ Gamma} _ {{ab}} ^ {c} - \ partial _ {b} \ widetilde {\ Gamma} _ {{ca}} ^ {c} + \ widetilde {\ Gamma} _ {{cd}} ^ {c} \ widetilde {\ Gamma} _ {{ab}} ^ {d} - \ widetilde {\ Gamma} _ {{bd}} ^ {c} \ widetilde {\ Gamma} _ {{ac}} ^ {d}

Γ ~ BC 1 2 g ~ ad (∂ bg ~ dc + ∂ cg ~ db - ∂ dg ~ bc) {\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a } \ Equiv {1 \ over 2} {\ widetilde {g}} ^ {ad} (\ partial _ {b} {\ widetilde {g}} _ {dc} + \ partial _ {c} {\ widetilde {g }} _ {db} - \ partial _ {d} {\ widetilde {g}} _ {bc})}

\ widetilde {\ Gamma} _ {{bc}} ^ {a} \ Equiv {1 \ over 2} \ widetilde {g} ^ {{ad}} (\ partial _ {b} \ widetilde {g} _ {{dc}} + \ partial _ {c} \ widetilde {g} _ {{db}} - \ partial _ {d} \ widetilde {g} _ {{bc}})

Уравнения вакуумного поля, полученного таким образом группой Тири и Джордана, следующие.

Уравнение поля для $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ получается из

R ~ 55 = 0 ⇒ ◻ ϕ = 1 4 ϕ 3 F α β F α β { \ Displaystyle {\ widetilde {R}} _ {55} = 0 \ Rightarrow \ Box \ phi = {1 \ over 4} \ phi ^ {3} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} }

\ widetilde {R} _ {55}} = 0 \ Rightarrow \ Box \ phi = {1 \ over 4} \ phi ^ {3} F ^ {{\ alpha \ beta}} F _ {{\ alpha \ beta}}

где $F α β ≡ ∂ α A β - ∂ β A α {\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} \ Equiv \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}}$ $F _ {{\ alpha \ beta}} \ Equiv \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}$ , где $◻ ≡ g μ ν ∇ μ ∇ ν {\ displaystyle \ Box \ Equiv g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$ $\ Box \ Equiv g ^ {{\ mu \ nu}} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}$ , и где $∇ μ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$ $\ nabla _ {{\ mu}}$ - это стандартная ковариантная производная 4D. Это показывает, что электромагнитное поле является скалярного поля. Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено постоянным без ограничения электромагнитного поля. Более ранние трактовки Калуцы и Клейна не имели адекватного описания скалярного поля и не осознавали подразумеваемые ограничения на электромагнитное поле, предполагая, что скалярное поле является постоянным.

Уравнение поля для $A ν {\ displaystyle A ^ {\ nu}}$ $A ^ {\ nu}$ получается из

R ~ 5 α = 0 = 1 2 г β μ ∇ μ ( ϕ 3 F α β) {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {5 \ alpha} = 0 = {1 \ over 2} g ^ {\ beta \ mu} \ nabla _ {\ mu} (\ phi ^ {3} F _ {\ alpha \ beta})}

\ widetilde {R } _ {{5 \ alpha}} = 0 = {1 \ over 2} g ^ {{\ beta \ mu}} \ nabla _ {\ mu} (\ phi ^ {3} F _ {\ alpha \ beta} })

Он имеет формулу вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.

Уравнение поля для 4D тензора Риччи $R μ ν {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R_ {\ mu \ nu}$ получается из

R ~ μ ν - 1 2 г ~ μ ν R ~ = 0 ⇒ R μ ν - 1 2 г μ ν R = 1 2 ϕ 2 (g α β F μ α F ν β - 1 4 г μ ν F α β F α β) + 1 ϕ (∇ μ ∇ ν ϕ - г μ ν ◻ ϕ) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ widetilde {R}} _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} {\ widetilde {g}} _ { \ mu \ nu} {\ widetilde {R}} = 0 \ Rightarrow \\ R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R = {1 \ over 2 } \ phi ^ {2} \ left (g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ mu \ alpha} F _ {\ nu \ beta} - {1 \ over 4} g _ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ right) + {1 \ over \ phi} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ phi -g _ {\ mu \ nu} \ Box \ phi \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} { \ widetilde {R}} _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} {\ widetilde {g}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {R}} = 0 \ Rightarrow \\ R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R = {1 \ over 2} \ phi ^ {2} \ left (g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ mu \ alpha} F _ {\ nu \ beta} - {1 \ over 4} g _ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ right) + {1 \ over \ phi} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ phi -g _ {\ mu \ nu} \ Box \ phi \ right) \ end {ali gned}}}

где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - стандартный 4D скаляр Риччи.

Это уравнение демонстрирует замечательный результат, названный «чудом Калуцы», когда точная форма для тензора электромагнитного напряжения-энергии возникает из 5D вакуумных уравнений в качестве источника в 4D уравнениях. : поле из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно идентифицировать $A μ {\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ с электромагнитным векторным потенциалом. Следовательно, поле необходимо масштабировать с помощью константы преобразования $k {\ displaystyle k}$ $k$ такой, чтобы $A μ → k A μ {\ displaystyle A ^ {\ mu} \ rightarrow kA ^ { \ mu}}$ $A ^ {\ mu} \ rightarrow kA ^ {\ mu}$ .

Приведенное выше соотношение показывает, что мы должны иметь

k 2 2 = 8 π G c 4 1 μ 0 = 2 G c 2 4 π ϵ 0 {\ displaystyle {k ^ {2} \ более 2} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} {1 \ over \ mu _ {0}} = {2G \ over c ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}} }

{\ displaystyle {k ^ {2} \ over 2} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} {1 \ over \ mu _ {0}} = {2G \ over c ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}

где $G {\ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная и $μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu _ {0}$ - проницаемость свободного пространства. В теории Калуцы гравитационную постоянную можно понимать как константу электромагнитной связи в метрике. Также существует тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная точка зрения модуляции связи энергии электромагнитного напряжения с кривизной пространства-времени. Знак $ϕ 2 {\ displaystyle \ phi ^ {2}}$ $\ phi ^ {2}$ в метрике фиксируется в соответствии с теорией 4D, так что плотность электромагнитной энергии положительны. Часто, что 5-я координата пространственноподобна по своей сигнатуре в метрике.

В присутствии вещества состояние вакуума 5D. Действительно, Калуца этого не предполагал. Полные уравнения поля требуют вычислений 5D тензора Эйнштейна

G ~ ab ≡ R ~ ab - 1 2 g ~ ab R ~ {\ displaystyle {\ widetilde {G}} _ {ab} \ Equiv {\ widetilde {R}} _ {ab} - {1 \ over 2} {\ widetilde {g}} _ {ab} {\ widetilde {R}}}

\ widetilde {G} _ {{ab}} \ Equiv \ widetilde {R} _ {{ab}} - {1 \ over 2} \ widetilde {g} _ { {ab}} \ widetilde {R}

, как видно из восстановления тензора электромагнитного напряжения-энергии выше. Тензоры кривизны 5D сложны, и большинство русскоязычных содержат ошибки либо в $G ~ ab {\ displaystyle {\ widetilde {G}} _ {ab}}$ $\ widetilde {G} _ {{ab} }$ , и в $R ~ ab { \ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab}}$ $\ widetilde {R} _ {{ab}}$ , как и английский перевод. См. Полный набор 5D тензоров кривизны в условиях цилиндра, оцененных с помощью программного обеспечения тензорной алгебры.

Уравнения движения из гипотезы Калуцы

Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы в терминах 5-скоростей $U ~ a ≡ dxa / ds {\ Displaystyle {\ widetilde {U}} ^ {a} \ Equiv dx ^ {a} / ds}$ $\ widetilde {U} ^ {a} \ Equiv dx ^ {a} / ds$ :

U ~ b ∇ ~ b U ~ a = d U ~ ads + Γ ~ bca U ~ b U ~ c = 0 {\ displaystyle {\ widetilde {U) }} ^ {b} {\ widetilde {\ nabla}} _ {b} {\ widetilde {U}} ^ {a} = {d {\ widetilde {U}} ^ {a} \ over ds} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a} {\ widetilde {U}} ^ {b} {\ widetilde {U}} ^ {c} = 0}

\ widetilde {U} ^ {b} \ widetilde {\ nabla} _ {b} \ widetilde {U} ^ {a} = {d \ widetilde {U} ^ { a} \ over ds} + \ widetilde {\ Gamma} _ {{bc}} ^ {a} \ widetilde {U} ^ {b} \ widetilde {U} ^ {c} = 0

Это уравнение можно преобразовать преобразовать способы, и оно было изучено в различных формах авторами, включая Калуцу, Паули, Гросс и Перри, Гегенберг и Кунстаттер и Вессон и Понсе де Леон, но поучительно преобразовать его обратно в обычный четырехмерный элемент длиной $c 2 d τ 2 ≡ g μ ν dx μ dx ν {\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} \ Equiv g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}$ $c ^ {2} d \ tau ^ {2} \ Equiv g _ {{\ mu \ nu}} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}$ , который связан с 5-мерным элементом длины $ds {\ displaystyle ds}$ $ds$ , как указано выше:

ds 2 = c 2 d τ 2 + ϕ 2 (k A ν dx ν + dx 5) 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} + \ phi ^ {2} (kA _ {\ nu} dx ^ {\ nu} + dx ^ {5}) ^ {2}}

ds ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} + \ phi ^ {2} (kA _ {\ nu} dx ^ {\ nu} + dx ^ {5}) ^ { 2}

Тогда 5D геодезическое уравнение может быть записано для пространственно -временных компонентных 4-скорости,

U ν ≡ dx ν / d τ {\ Displaystyle U ^ {\ nu} \ Equiv dx ^ {\ nu} / d \ tau}

U ^ {\ nu} \ Equiv dx ^ {\ nu } / d \ tau

d U ν d τ + Γ ~ α β μ U α U β + 2 Γ ~ 5 α μ U α U 5 + Γ ~ 55 μ (U 5) 2 + U μ dd τ ln ⁡ (cd τ ds) = 0 {\ displaystyle {dU ^ { \ nu} \ over d \ tau} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {\ beta} +2 {\ widetilde {\ Gamma }} _ {5 \ alpha} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {5} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {55} ^ {\ mu} (U ^ {5}) ^ {2} + U ^ {\ mu} {d \ over d \ tau} \ ln \ left ({cd \ tau \ over ds} \ right) = 0}

{dU ^ {\ nu} \ над d \ tau} + \ widetilde {\ Gamma} _ {{\ alpha \ beta}} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {\ beta} +2 \ widetilde {\ Gamma} _ {{5 \ alpha}} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {5} + \ widetilde {\ Gamma} _ {{55}} ^ {\ mu} (U ^ {5}) ^ {2} + U ^ {\ mu} {d \ over d \ tau} \ ln \ left ({cd \ tau \ over ds} \ right) = 0

Термин, квадратичный по $U ν { \ displaystyle U ^ {\ nu}}$ $U ^ {\ nu}$ использует 4D геодезическое уравнение плюс некоторые электромагнитные члены:

Γ ~ α β μ знак равно Γ α β μ + 1 2 г μ ν К 2 ϕ 2 (A α F β ν + A β F α ν - A α A β ∂ ν ln ⁡ ϕ 2) {\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma} } _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} = \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} + {1 \ over 2} g ^ {\ mu \ nu} k ^ {2} \ phi ^ {2} (A _ {\ alpha} F _ {\ beta \ nu} + A _ {\ beta} F _ {\ alpha \ nu} -A _ {\ alpha} A _ {\ beta} \ partial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})}

{\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} = \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} + {1 \ over 2} g ^ {\ mu \ nu} k ^ {2} \ phi ^ {2} ( A _ {\ alpha} F _ {\ beta \ nu} + A _ {\ beta} F _ {\ alpha \ nu} -A _ {\ alpha} A _ {\ beta} \ partial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})}

Термин линейный в $U ν {\ displaystyle U ^ {\ nu}}$ $U ^ {\ nu}$ обеспечивает закон силы Лоренца :

Γ ~ 5 α μ знак равно 1 2 г μ ν К ϕ 2 (F α ν - A α ∂ ν ln ⁡ ϕ 2) {\ Displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {5 \ alpha} ^ {\ mu } = {1 \ более 2} g ^ {\ mu \ nu} k \ phi ^ {2} (F _ {\ alpha \ nu} -A _ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})}

\ widetilde {\ Gamma} _ {{5 \ alpha}} ^ {\ mu} = {1 \ over 2} g ^ {{\ mu \ nu}} k \ phi ^ {2} (F_ {{\ alpha \ nu}} - A _ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})

Это еще одно выражение «чуда Калуцы». Та же самая гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение в уравнении Эйнштейна, также обеспечивает силы Лоренца в уравнении наряду с уравнением геодезической 4D. Однако соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы идентифицировали компонент 5-скорости вдоль 5-го измерения с электрическим зарядом:

k U 5 = kdx 5 d τ → qmc {\ displaystyle kU ^ {5} = k {dx ^ { 5} \ over d \ tau} \ rightarrow {q \ over mc}}

kU ^ {5} = k {dx ^ {5} \ over d \ tau} \ rightarrow {q \ over mc}

где $m {\ displaystyle m}$ $m$ - масса частиц, а $q {\ displaystyle q}$ $q$ - электрические заряды частиц. Таким образом, электрический заряд понимается как движение по пятому измерению. Тот факт, что закон силы Лоренца можно понять, как геодезическую в 5-ти измерениях, был для Калуцы основной мотивацией для рассмотрения 5-мерной гипотезы даже при наличии эстетически неприятного состояния цилиндра.

Но есть проблема: термин квадратичный в $U 5 {\ displaystyle U ^ {5}}$ $U ^ {5}$

Γ ~ 55 μ = - 1 2 g μ α ∂ α ϕ 2 {\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {55} ^ {\ mu} = - {1 \ более 2} g ^ {\ mu \ alpha} \ partial _ {\ alpha} \ phi ^ {2}}

\ widetilde {\ Gamma} _ {{55} } ^ {\ mu} = - {1 \ over 2} g ^ {{\ mu \ alpha}} \ partial _ {\ alpha} \ phi ^ {2}

Если в скалярном поле нет градиента, термин квадратичный в $U 5 {\ displaystyle U ^ {5}}$ $U ^ {5}$ исчезает. Но в случае приведенного выше выражения следует

U 5 ∼ cq / m G 1/2 {\ displaystyle U ^ {5} \ sim c {q / m \ over G ^ {1/2}}}

U ^ {5} \ sim c {q / m \ over G ^ {{1/2}}}

Для элементарных частиц, $U 5>10 20 c {\ displaystyle U ^ {5}>{\ rm {10}} ^ {20} c}$ $U^{5}>{{\ rm {10}} } ^ {{20}} c$ . Термин квадратичный в $U 5 {\ displaystyle U ^ {5}}$ $U ^ {5}$ должно доминировать над уравнением, возможно, в противоречии с опытом. Это был главный недостаток 5-мерной теории, как ее видел Калуца, и он обсуждает это в своей оригинальной статье.

Уравнение движения для $U 5 {\ displaystyle U ^ {5}}$ $U ^ {5}$ особенно просто в условиях цилиндра. записанная для ковариантной 5-скорости:

d U ~ ads = 1 2 U ~ b U ~ c ∂ g ~ bc ∂ xa {\ displaystyle {d {\ widetilde {U}} _ {a} \ over ds} = {1 \ более 2} {\ widetilde {U}} ^ {b} {\ widetilde {U}} ^ {c} {\ partial {\ widetilde {g}} _ {bc} \ over \ partial x ^ {a}}}

{d \ widetilde {U} _ {a} \ over ds} = {1 \ over 2} \ widetilde {U} ^ {b} \ widetilde {U } ^ {c} {\ partial \ widetilde {g} _ {{bc}} \ over \ partial x ^ {a}}

Это означает, что при условии цилиндра $U ~ 5 {\ displaystyle {\ widetilde {U}} _ {5}}$ $\ widetilde {U} _ {5}$ - константа 5-мерного движения:

U ~ 5 = g ~ 5 a U ~ a = ϕ 2 cd τ ds (К A ν U ν + U 5) = константа {\ displaystyle {\ widetilde {U }} _ {5} = {\ widetilde {g}} _ {5a} {\ widetilde {U}} ^ {a} = \ phi ^ {2} {cd \ tau \ over DS} (kA _ {\ nu } U ^ {\ nu} + U ^ {5}) = {\ rm {constant}}

\ widetilde {U} _ {5} = \ widetilde {g} _ {{5a}} \ widetilde {U} ^ { a} = \ phi ^ {2} {cd \ tau \ over ds} (kA _ {\ nu} U ^ {\ nu} + U ^ {5}) = {{\ rm {константа}}}

Гипотеза Калуцы о тензоре энергии-напряжения материи

Калуца используют 5D тензор материальных напряжений $T ~ M ab {\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {ab}}$ $\ widetilde {T} _ {M} ^ {{ab}}$

T ~ M ab = ρ dxadsdxbds {\ displaystyle {\ widetilde {T} } _ {M} ^ {ab} = \ rho {dx ^ {a} \ over ds} {dx ^ {b} \ over ds}}

\ widetilde {T} _ {M} ^ {{ab}} = \ rho {dx ^ {a} \ over ds } {dx ^ {b} \ over ds}

где $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - это плотность и элементная длина $ds {\ displaystyle ds}$ $ds$ определено выше.

Тогда компонент пространства-времени дает типичный тензор напряжения энергии «пыли»:

T ~ M μ ν = ρ dx μ dsdx ν ds {\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {\ mu \ nu} = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over ds} {dx ^ {\ nu} \ over ds}}

\ widetilde {T} _ {M} ^ {{\ mu \ nu}} = \ rho {dx ^ { \ mu} \ over ds} {dx ^ {\ nu} \ over ds}

Смешанный компонент обеспечивает 4-токовый источник для уравнений Максвелла:

T ~ M 5 μ знак равно ρ dx μ dsdx 5 ds = ρ U μ qkmc {\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {5 \ mu} = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over ds} {dx ^ {5} \ over ds} = \ rho U ^ {\ mu} {q \ over kmc}}

\ widetilde {T} _ {M} ^ {{5 \ mu} } = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over ds} {dx ^ {5} \ over ds} = \ rho U ^ {\ mu} {q \ over kmc}

Так же, как пятимерная метрика, состоит из четырехмерной метрики, обрамленной электромагнитной способности, 5-мерный тензор энергии -импульса представляет собой 4-мерный тензор энергии-импульса, обрамленный векторным 4-током.

Квантовая интерпретация Клейна

Первоначальная гипотеза Калуцы была чисто классическим и расширенным открытием общей теории относительности. Ко времени выступления Кляйна открытия Гейзенберга, Шредингера и де Бройля привлекали большое внимание. В статье Кляйна в природе предположено, что пятое измерение является замкнутым и периодическим, и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны с длиной волны $λ 5 {\ displaystyle \ lambda ^ {5}}$ $\ lambda ^ {5}$ , очень похоже на электроны вокруг ядра в модели атома Бора. Тогда квантование электрического заряда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных пятимерного импульса. Объединение предыдущего результата Калуцы для $U 5 {\ displaystyle U ^ {5}}$ $U ^ {5}$ с точки зрения электрического заряда и соотношения де Бройля для импульса $p 5 = h / λ 5 {\ displaystyle p ^ {5} = h / \ lambda ^ {5}}$ $p ^ { 5} = h / \ lambda ^ {5}$ , Клейн получил выражение для 0-й моды таких волн:

m U 5 = cq G 1/2 = h λ 5 ⇒ λ 5 ∼ час G 1/2 cq {\ displaystyle mU ^ {5} = {cq \ over G ^ {1/2}} = {h \ over \ lambda ^ {5}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ lambda ^ {5} \ sim {hG ^ {1/2} \ over cq}}

{\ displaystyle mU ^ {5} = {cq \ over G ^ {1/2}} = {h \ over \ лямбда ^ {5}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ lambda ^ {5} \ sim {hG ^ {1/2} \ over cq}}

где $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка. Кляйн нашел $λ 5 ∼ 10-30 {\ displaystyle \ lambda ^ {5} \ sim {\ rm {10}} ^ {- 30}}$ $\ lambda ^ {5} \ sim {{\ rm {10}}} ^ {{- 3 0}}$ см, и, таким образом, объяснение цилиндра состояние в этом небольшом значении.

В статье Кляйна Zeitschrift für Physik того же года дается более подробное описание, в котором явно используются методы Шредингера и де Бройля. Он резюмировал большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем перешел в квантовую интерпретацию Клейна. Кляйн решил волновое уравнение, подобное Шредингеру, используя разложение по пятимерным волнам, резонирующим в замкнутом, компактном пятом измерении.

Интерпретация квантовой теории поля

Интерпретация теории групп

Пространство M × C компактифицировано над компактом C, и после разложения Калуцы - Клейна получается эффективная теория поля над М.

В 1926 году Оскар Кляйнил, что четвертое пространственное измерение свернуто в круг с очень маленьким радиусом , так что частица движется короткое расстояние по оси вернется туда, где оно началось. Расстояние, которое может пройти частица, прежде чем она достигнет своего начального положения, называется размером размера. Это дополнительное измерение представляет собой компактный набор, и конструкция этого компактного измерения включается как компактификация.

. В современной геометрии дополнительное пятое измерение можно понимать как группу кругов . U (1), поскольку электромагнетизм можно по существу сформулировать как калибровочную теорию на пучке волокон, пучок кругов с калибровочной группой У (1). В теории Калуцы - Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия - это симметрия круговых компактных размеров. Как только эта геометрическая интерпретация будет понята, относительно просто заменить U (1) общей группой Ли. Такие обобщения часто называют теориями Янга - Миллса. Если провести различие, то это то, что теории Янга - Миллса представит в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца - Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовое пространство теории Калуцы - Клейна не обязательно должно быть четырехмерным пространством-временем; это может быть (псевдо- ) любое риманово многообразие, или даже суперсимметричное многообразие, или орбифолд, или даже некоммутативное пространство.

Конструкция может быть представлена таким образом. Начнем с рассмотрения главного расслоения П с калибровочной группой Г над всеобщием М. Имея связность на расслоении, метрику на базовом уровне и калибровочно-инвариантную метрику на касательной к каждому слою, можно построить метрику расслоения определено для всего пакета. Вычисляя скалярную кривизну метрики расслоения, можно построить, что она постоянна на каждом слое: это "чудо Калуцы". Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или компактифицировать: по предположению калибровочная группа уже компактна. Затем эта скалярная кривизна берется за плотность лагранжиана и исходя из этого, строится действие Эйнштейна - Гильберта для пучка в целом. Уравнения движения, уравнения Эйлера - Лагранжа, затем могут быть получены рассмотрение того, где действие стационарно по отношению к вариациям либо метрики на базовом множестве, либо подключение манометра. Вариации формулы формулы метрики дают уравнения поля Эйнна на базовом множестве с тензором энергии-импульса, заданным полем кривизны (прочность ) манометра. С другой стороны, калибровочное соединение решает уравнения Янга - Миллса. Таким образом, применяя единственную идею: принцип наименьшего действия , к единственной величине: скалярной кривизне на связке (в целом), можно получить одновременно все необходимые уравнения для обоих пространств-время и калибровочное поле.

В качестве подхода к объединению сил несложно применить теорию Калуцы-Клейна в попытке объединить гравитацию с сильными и электрослабыми силами. с использованием группы симметрии стандартные модели, SU (3) × SU (2) × U (1). Однако попытка превратить эту интересную геометрическую конструкцию в добросовестную модель реальности терпит неудачу по ряду вопросов, включая тот факт, что фермионы должны вводиться искусственным путем (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, KK важен пробным камнем в теоретической физике и часто используется в более сложных теориях. Он изучается сам по себе как объект, представляющий геометрический интерес в K-теории.

. Даже при отсутствии полностью удовлетворяющей теоретической физики основы, идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет собой интерес для сообщества экспериментальной физики и астрофизики. Можно сделать множество прогнозов с реальными экспериментальными последствиями (в случае больших дополнительных измерений и искривленных моделей ). Например, исходя из простейших принципов, можно было бы ожидать наличия стоячих волн в дополнительном компактифицированном измерении (ах). Если дополнительное пространственное измерение таких радиус R, инвариантная масса стоячих волн будет M n = nh / Rc, где n - целое число, h - постоянная Планка и c скорость света. Этот набор значений массы часто называют башней Калуцы - Клейна . Аналогично, в тепловой квантовой теории поля компактификация евклидова временного измерения приводит к частотам Мацубары и, таким образом, к дискретизированному спектру тепловой энергии.

Однако подход Клейна к квантовой теории ошибочен и, например, приводит к расчетной массе электрона порядка массы Планка.

Примеры экспериментальных поисков, включающих работы Сотрудничество CDF, которое повторно проанализировало данные коллайдера частиц на предмет сигнатуры эффектов, связанных с дополнительными дополнительными измерениями / искаженными моделями.

Бранденбергер и Вафа предположили, что в ранней вселенной космическая инфляция расширение трех пространственных измерений до космологических размеров, в то время как измерения пространства остаются микроскопическими.

Теория пространства-времени-материи

Одним из вариантов теории Калуцы-Клейна является теория пространства-времени-материи или теория индуцированной материи, в основном опубликовано Полом Вессоном и другими членами Консорциума Пространства-Времени-Материи. В этой версии отмечается, что решения уравнения

R ~ ab = 0 {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} = 0}

\ widetilde {R} _ {{ab}} = 0

могут быть переформулированы так, чтобы в четырех измерениях эти решения удовлетворяют особенностям Эйнштейна

G μ ν = 8 π T μ ν {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi T _ {\ mu \ nu} \,}

G _ {{\ mu \ Nu}} = 8 \ пи T _ {{\ mu \ nu}} \,

с точной формой T μν, вытекающая из условий Риччи-плоской поверхности на пятимерном пространстве. Другими словами, цилиндрическое состояние предыдущей разработки отбрасывается, и теперь энергия-напряжение получается из производных 5D-метрики по пятой координате. Измерение тензор энергии-импульса обычно понимается как результат измерения материи в четырехмерном пространстве, вышеупомянутый результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя индуцирует геометрией в пятимерном пространстве.

В частности, солитон решения $R ~ ab = 0 {\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} = 0}$ $\ widetilde {R} _ {{ab}} = 0$ Можно показать, что он содержит метрику Фридмана - Лемэтра - Робертсона - Уокера как в форме преобладания излучения (ранняя вселенная), так и в форме преобладания материи (позднее вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласуются с классическими критериями общей теории относительности, чтобы быть приемлемыми с точки зрения физических принципов, но при этом оставляют значительную свободу для предоставления интересных космологических моделей.

Геометрическая интерпретация

Теория Калуцы – Клейна имеет особенно элегантное геометрическое изложение. В определенном смысле это похоже на обычную гравитацию в свободном пространстве, за исключением того, что выражается в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения, управляющие обычной гравитацией в свободном пространстве, могут быть получены из действия, применяя вариационный принцип к определенному действие. Пусть M будет (псевдо- ) римановым многообразием, которое можно принять за пространство-время в общей теории относительности. Если g является метрикой на этом многообразии, можно определить действие S (g) как

S (g) = ∫ MR (g) vol (g) {\ displaystyle S (g) = \ int _ {M} R (g) \ mathrm {vol} (g) \,}

S (g) = \ int _ {M} R (g) { \ mathrm {vol}} (г) \,

где R (g) - это скалярная кривизна, а vol (g) - элемент объема. Применяя вариационный принцип к действию

δ S (g) δ g = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ delta S (g)} {\ delta g}} = 0}

{\ frac {\ delta S (g)} {\ delta g}} = 0

получается в точности уравнения Эйнштейна для свободного пространства:

R ij - 1 2 gij R = 0 {\ displaystyle R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ { ij} R = 0}

R _ {{ij}} - {\ frac {1} {2}} g _ {{ij}} R = 0

Здесь R ij - это тензор Риччи.

уравнения Максвелла

Напротив, уравнения Максвелла, описывающие электромагнетизм можно понимать как уравнения Ходжа для главного U (1) -слоя или кругового пучка $π: P → M {\ displaystyle \ pi: P \ to M}$ $\ pi: P \ to M$ с волокном U (1). То есть электромагнитное поле $F {\ displaystyle F}$ $F$ является гармонической 2-формой в пространстве $Ω 2 (M) {\ displaystyle \ Omega ^ {2} (M)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (M)}$ дифференцируемых 2-форм на многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ . В отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла для свободного поля имеют вид

$d F = 0 и d ∗ F = 0. {\ displaystyle dF = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad d * F = 0.}$ ${\ displaystyle dF = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad d * F = 0.}$

, где $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ - оператор звезды Ходжа.

Геометрия Калуцы – Клейна

Чтобы построить теорию Калуцы – Клейна, нужно выбрать инвариантную метрику на окружности $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ , то есть волокно U (1) -грунта электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика - это просто метрика, инвариантная относительно вращений окружности. Предположим, эта метрика дает кругу общую длину $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ . Затем рассматриваются метрики $g ^ {\ displaystyle {\ widehat {g}}}$ $\ widehat {g}$ в пакете $P {\ displaystyle P}$ $P$ , которые согласуются как с метрика волокна и метрика на нижележащем многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Условия согласованности:

Проекция $g ^ {\ displaystyle {\ widehat {g}}}$ $\ widehat {g}$ на вертикальное подпространство $Vert p P ⊂ T p P {\ displaystyle {\ t_dv {Vert}} _ {p} P \ subset T_ {p} P}$ ${\ t_dv {Vert}} _ {p} P \ subset T_ {p} P$ необходимо согласовать с метрикой на слое над точкой в многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ .
Проекция $g ^ {\ displaystyle {\ widehat {g}}}$ $\ widehat {g}$ на горизонтальное подпространство $Hor p P ⊂ T p P {\ displaystyle {\ t_dv {Hor}} _ {p} P \ subset T_ {p} P}$ ${\ t_dv {Hor}} _ {p} P \ subset T_ {p} P$ касательного пространства в точке $p ∈ P {\ displaystyle p \ in P}$ $p \ in P$ должен быть изоморфен метрике $g {\ displaystyle g}$ $г$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ at $π (P) {\ displaystyle \ pi (P)}$ ${\ displaystyle \ pi (P)}$ .

Действие Калуцы - Клейна для такого метрики определяется выражением

S (g ^) = ∫ PR (g ^) vol (g ^) {\ Displaystyle S ({\ widehat {g}}) = \ int _ {P} R ({\ widehat {g}}) \; {\ t_dv {vol}} ({\ widehat {g}}) \,}

S (\ widehat {g}) = \ int _ {P} R (\ widehat {g}) \; {\ t_dv {vol}} (\ widehat {g}) \,

Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до

R (g ^) = π ∗ (R (g) - Λ 2 2 | F | 2), {\ displaystyle R ({\ widehat {g}}) = \ pi ^ {*} \ left (R (g) - {\ frac {\ Lambda ^ {2}} {2} } \ vert F \ vert ^ {2} \ right),}

{\ Displaystyle R ({\ widehat {g}}) = \ pi ^ { *} \ left (R (g) - {\ frac {\ Lambda ^ {2}} {2}} \ vert F \ vert ^ {2} \ right),}

где $π ∗ {\ displaystyle \ pi ^ {*}}$ $\ pi ^ *$ - это откат проекция пучка волокон $π: P → M {\ displaystyle \ pi: P \ to M}$ $\ pi: P \ to M$ . Соединение $A {\ displaystyle A}$ $A$ на пучке связано с напряженностью электромагнитного поля как

π ∗ F = d A {\ displaystyle \ pi ^ {*} F = \ mathrm {d} A}

\ pi ^ {*} F = {\ mathrm {d}} A

То, что такая связь существует всегда, даже для пучков произвольно сложной топологии, является результатом гомологии и, в частности, K-теории. Применяя теорему Фубини и интегрируем на волокно, получаем

S (g ^) = Λ ∫ M (R (g) - 1 Λ 2 | F | 2) vol (g) {\ displaystyle S ( {\ widehat {g}}) = \ Lambda \ int _ {M} \ left (R (g) - {\ frac {1} {\ Lambda ^ {2}}} \ vert F \ vert ^ {2} \ верно) \; {\ t_dv {vol}} (g)}

S (\ widehat {g}) = \ Lambda \ int _ {M} \ left (R (g) - {\ frac {1} {\ Лямбда ^ {2}}} \ vert F \ vert ^ { 2} \ right) \; {\ t_dv {vol}} (g)

Изменяя действие по отношению к компоненту $A {\ displaystyle A}$ $A$ , можно восстановить уравнения Максвелла. Применяя вариационный принцип к данной метрике $g {\ displaystyle g}$ $г$ , получаем уравнения Эйнштейна

R ij - 1 2 gij R = 1 Λ 2 T ij {\ displaystyle R_ {ij} - { \ frac {1} {2}} g_ {ij} R = {\ frac {1} {\ Lambda ^ {2}}} T_ {ij}}

R _ {{ij}} - {\ frac {1} {2}} g _ {{ij}} R = {\ frac {1} {\ Lambda ^ {2}}} T _ {{ij}}

с напряжение - энергия тензор, задаваемый как

T ij = F ik F jlgkl - 1 4 gij | F | 2, {\ displaystyle T ^ {ij} = F ^ {ik} F ^ {jl} g_ {kl} - {\ frac {1} {4}} g ^ {ij} \ vert F \ vert ^ {2},}

{\ displaystyle T ^ {ij} = F ^ {ik} F ^ {jl} g_ {kl} - {\ frac {1} {4}} g ^ {ij} \ vert F \ vert ^ {2},}

иногда называют тензором напряжений Максвелла.

Исходная теория идентифицирует $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ с метрикой волокна $g 55 {\ displaystyle g_ {55} }$ $g_ {55}$ и позволяет $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ гибироваться от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем не постоянна, но имеет свое собственное динамическое поле, радион.

Обобщения

В приведенном выше примере размер петли Λ действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем... Если базовое многообразие четырехмерно, то многообразие Калуцы - Клейна P пятимерно. Пятое измерение - это компактное пространство, и оно называется компактным размером . Методика введения компактных размеров для получения многомерного набора называется компактификацией. Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах, за исключением очень специфических случаев: размер всего должен быть 2 mod 8, G-индекс оператора Дирака компактного пространства должен быть ненулевым.

Приведенная выше разработка обобщенного или менее прямо общего главные G-расслоения для некоторой произвольной группы Ли G, занимающей место U (1). В таком случае теория часто встречается как теория Янга - Миллса и иногда считается синонимом. Если лежащее в основе многообразие суперсимметрично, результирующая теория является суперсимметричной теорией Янга - Миллса.

Эмпирические тесты

Никаких экспериментальных или наблюдательных признаков дополнительных не сообщалось. Было предложено множество теоретических методов поиска резонансов Калуцы - Клейна с использованием массовых связей оценок с топ-кварком. Однако до тех пор, пока Большой адронный коллайдер (LHC) не достигнет полной рабочей мощности, наблюдение таких резонансов маловероятно. Анализ результатов, полученных на LHC в декабре 2010 года, серьезно ограничивает с дополнительными измерениями.

Наблюдение хиггсовского -подобного бозона на LHC включает новый эмпирический тест, который может быть применен к поиск резонансов Калуцы - Клейна и суперсимметричных частиц. Петли диаграммы Фейнмана, которые существуют во взаимодействии Хиггса, позволяют любым частям с электрическим зарядом и массой двигаться по такой петле. Частицы Стандартной модели, включают топ-кварка и W-бозона, не дают большого вклада в сечение, наблюдаемое при распаде H → γγ, но если есть новые частицы за пределами Стандартной модели, они могут изменить отношение предсказанного стандартного модели H → γγ сечения к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения поперечного сечения H → γγ, предсказываемого Стандартной модели, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.

Еще одна недавняя статья от июля 2018 г. дает некоторую надежду на эту теорию; в статье они оспаривают, что гравитация проникает в более высокие измерения, как в теории бран. Однако в статье показано, что электромагнитная энергия и гравитация имеют одинаковое количество измерений, и факт подтверждает теорию Калуцы - Клейна; Вопрос о том, действительно ли количество измерений 3 + 1 или 4 + 1, является предметом дальнейших споров.

См. Также

Примечания

Ссылки

Калуца, Теодор (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Прейс. Акад. Wiss. Берлин. (Math. Phys.): 966–972. Bibcode : 1921SPAW....... 966K.https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Кляйн, Оскар (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37(12): 895–906. Bibcode : 1926ZPhy... 37..895K. doi : 10.1007 / BF01397481.
Виттен, Эдвард (1981). «Поиски реалистической теории Калуцы - Клейна». Ядерная физика B. 186 (3): 412–428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W. doi : 10.1016 / 0550-3213 (81) 90021-3.
Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер Г. О. (1987). Современные теории Калуцы - Клейна. Менло-Парк, Калифорния: Аддисон - Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7.(Включает оттиски вышеуказанных статей, а также других важных статей, относящихся к теории Калуцы - Клейна.)
Дафф, MJ (1994)). «Теория Калуцы - Клейна в перспективе». В Lindström, Ульф (ред.). Материалы симпозиума «Столетие Оскара Клейна». Сингапур: World Scientific. С. 22–35. ISBN 978-981-02-2332-8.
Овердуин, Дж. М.; Вессон, П. С. (1997). «Калуца - Клейн Гравитация». Отчеты по физике. 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc / 9805018. Bibcode : 1997PhR... 283..303O. DOI : 10.1016 / S0370-1573 (96) 00046-4. S2CID 119087814.
Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые последствия космологии Калуцы - Клейна. Сингапур: World Scientific. Bibcode : 2006fdpc.book..... W. ISBN 978-981-256-661-4.

Дополнительная литература

Сотрудничество CDF, Поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF, (2004) ( Упрощенное представление поиска измерений измерений на коллайдере-детекторе на объекте физики элементарных частиц Фермилаб (CDF).)
Джон М. Пьер, НАДСТРОНЫ! Дополнительные измерения, (2003 г.).

Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы - Клейна.
Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергманне и пятом измерении», arXiv :1401.8048