Теория Бранса – Дикке

редактировать

Предлагаемая теория гравитации

В теоретической физике Бранс –Теория гравитации Дике (иногда называемая теорией Джордана – Бранса – Дике ) представляет собой теоретическую основу для объяснения гравитации. Это конкурент теории Эйнштейна общей теории относительности . Это пример скалярно-тензорной теории, теории гравитации, в которой гравитационное взаимодействие опосредуется скалярным полем, а также тензорным полем общая теория относительности. гравитационная постоянная G не считается постоянной, но вместо этого 1 / G заменяется скалярным полем $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ которое может меняться от места к месту и со временем.

Теория была разработана в 1961 году Робертом Х. Дике и Карлом Х. Брансом, опираясь, среди прочего, на более раннюю работу Паскуаля Джордана 1959 года.. В настоящее время считается, что как теория Бранса – Дикке, так и общая теория относительности согласуются с наблюдениями. Теория Бранса – Дике представляет меньшинство в физике.

Содержание

1 Сравнение с общей теорией относительности
2 Уравнения поля
3 Принцип действия
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Сравнение с общей теорией относительности

И теория Бранса – Дикке, и общая теория относительности являются примерами класса релятивистских классических теорий поля гравитации, называется. В этих теориях пространство-время оснащено метрическим тензором, $gab {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_ {ab}$ , а гравитационное поле представлено ( полностью или частично) тензором кривизны Римана $R abcd {\ displaystyle R_ {abcd}}$ $R_ {abcd}$ , который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в очень маленькой области (слишком маленькой, чтобы проявлять измеримые эффекты кривизны ) все законы физики, известные в специальной теории относительности, действительны в локальных рамках Лоренца. Это, в свою очередь, означает, что все метрические теории демонстрируют эффект гравитационного красного смещения.

Как и в общей теории относительности, источником гравитационного поля считается тензор энергии-импульса или тензор материи. Однако способ, которым непосредственное присутствие массы-энергии в некоторой области влияет на гравитационное поле в этой области, отличается от общей теории относительности. То же самое и с тем, как кривизна пространства-времени влияет на движение материи. В теории Бранса – Дике, помимо метрики, которая представляет собой тензорное поле второго ранга, существует скалярное поле $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , которое имеет физический эффект изменение эффективной гравитационной постоянной с места на место. (Эта особенность была на самом деле ключевым желанием Дике и Бранса; см. Цитируемую ниже статью Бранса, в которой обрисованы истоки теории.)

Полевые уравнения теории Бранса – Дикке содержат параметр , $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , называемый константой связи Бранса – Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которую нужно выбрать раз и навсегда. Однако его можно выбрать в соответствии с наблюдениями. Такие параметры часто называют настраиваемыми. Кроме того, текущее окружающее значение эффективной гравитационной постоянной должно быть выбрано в качестве граничного условия. Общая теория относительности не содержит никаких безразмерных параметров, и поэтому ее легче опровергнуть (показать, является ли она ложной), чем теорию Бранса – Дикке. Теории с настраиваемыми параметрами иногда не рекомендуются по принципу, что из двух теорий, которые обе согласуются с наблюдениями, предпочтительнее скупой. С другой стороны, кажется, что они являются необходимой чертой некоторых теорий, например, слабый угол смешивания в Стандартной модели.

Теория Бранса – Дике «менее строгая», чем общая теория относительности в другом смысле: она допускает больше решений. В частности, точные вакуумные решения уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности, дополненные тривиальным скалярным полем $ϕ = 1 {\ displaystyle \ phi = 1}$ $\ phi = 1$ , становятся точными вакуумные решения в теории Бранса – Дикке, но некоторые пространства-времени, которые не являются вакуумными решениями уравнения поля Эйнштейна, становятся, при соответствующем выборе скалярного поля, вакуумными решениями теории Бранса – Дике. Точно так же важный класс пространств-времени, pp-волновые метрики, также являются точными нулевыми пылевыми решениями как общей теории относительности, так и теории Бранса – Дикке, но и здесь теория Бранса – Дике допускает дополнительные волновые решения, геометрия которых несовместима с общей теорией относительности.

Как и общая теория относительности, теория Бранса – Дике предсказывает отклонение света и прецессию перигелиев планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, которые определяют эти эффекты, согласно теории Бранса – Дике, зависят от значения константы связи $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Это означает, что можно установить нижнюю границу наблюдений для возможного значения $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ из наблюдений Солнечной системы и других гравитационных систем. Значение $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ в соответствии с экспериментом со временем выросло. В 1973 г. $ω>5 {\ displaystyle \ omega>5}$ $\omega>5$ соответствовал известным данным. К 1981 году $ω>30 {\ displaystyle \ omega>30}$ $\ omega>30$ соответствует известным данным. В 2003 году данные, полученные из эксперимента Кассини – Гюйгенса, показывают, что значение $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ должно превышать 40 000.

Также часто учат, что общая теория относительности получается из теории Бранса – Дикке в пределе $ω → ∞ {\ displaystyle \ omega \ rightarrow \ infty}$ $\ omega \ rightarrow \ infty$ . Но Фараони утверждает, что это выходит из строя, когда след импульса энергии-напряжения исчезает, то есть $T μ μ = 0 {\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = 0}$ $T _ {{\ mu}} ^ {{\ mu}} = 0$ . Примером может служить решение кротовой норы Campanelli - Lousto. Некоторые утверждали, что только общая теория относительности удовлетворяет строгому принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Полевые уравнения теории Бранса – Дикке:

◻ ϕ = 8 π 3 + 2 ω T {\ displaystyle \ Box \ phi = {\ frac {8 \ pi} {3 + 2 \ omega}} T}

\ Box \ phi = {\ frac {8 \ pi} {3 + 2 \ omega}} T

G ab = 8 π ϕ T ab + ω ϕ 2 (∂ a ϕ ∂ b ϕ - 1 2 gab ∂ c ϕ ∂ c ϕ) + 1 ϕ (∇ a ∇ b ϕ - gab ◻ ϕ) {\ displaystyle G_ {ab} = {\ frac {8 \ pi} {\ phi}} T_ {ab} + { \ frac {\ omega} {\ phi ^ {2}}} (\ partial _ {a} \ phi \ partial _ {b} \ phi - {\ frac {1} {2}} g_ {ab} \ partial _ {c} \ phi \ partial ^ {c} \ phi) + {\ frac {1} {\ phi}} (\ nabla _ {a} \ nabla _ {b} \ phi -g_ {ab} \ Box \ phi)}

G _ {{ab}} = {\ frac {8 \ pi} {\ phi}} T _ {{ab}} + {\ frac {\ omega} {\ phi ^ {2}}} (\ partial _ {a} \ phi \ partial _ {b} \ phi - {\ frac {1} {2}} g _ {{ab}} \ partial _ {c} \ phi \ partial ^ {c} \ phi) + { \ frac {1} {\ phi}} (\ nabla _ {a} \ nabla _ {b} \ phi -g _ {{ab}} \ Box \ phi)

где

ω {\ displaystyle \ omega}

\ omega

- безразмерная константа связи Дикке;

gab {\ displaystyle g_ {ab}}

g_ {ab}

- это метрический тензор ;

G ab = R ab - 1 2 R gab {\ displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} - {\ tfrac {1} {2}} Rg_ {ab}}

G _ {{ab}} = R _ {{ab}} - {\ tfrac {1} {2}} Rg _ {{ab}}

- тензор Эйнштейна, разновидность средней кривизны;

R ab = R mamb {\ displaystyle R_ {ab} = {R ^ {m}} _ {amb}}

R _ {{ab}} = {R ^ {m}} _ {{amb}}

это тензор Риччи, своего рода след тензора кривизны;

R = R мм {\ displaystyle R = {R ^ {m}} _ {m}}

R = {R ^ {m}} _ {{m}}

- скаляр Риччи, след тензора Риччи;

T ab {\ displaystyle T_ {ab}}

T _ {{ab}}

- напряжение – энергия тензор ;

T = T aa {\ displaystyle T = T_ {a} ^ {a}}

T=T_{a}^{a}

- след тензора энергии-напряжения;

ϕ {\ displaystyle \ phi}

\ phi

- скалярное поле; и

◻ {\ displaystyle \ Box}

\ Box

- это оператор Лапласа – Бельтрами или ковариантный волновой оператор,

◻ ϕ = ϕ; а; a {\ displaystyle \ Box \ phi = \ phi _ {\; \ ;; a} ^ {; a}}

\ Box \ phi = \ фи _ {{\; \ ;; а}} ^ {{; а}}

Первое уравнение говорит, что след тензора энергии-напряжения действует как источник скалярного поля $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Поскольку электромагнитные поля вносят вклад только в бесследный член в тензоре энергии-импульса, это означает, что в области пространства-времени, содержащей только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть исчезает и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ подчиняется волновому уравнению (искривленного пространства-времени) . Следовательно, изменения в $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ распространяются через области электровакуума; в этом смысле мы говорим, что $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ является полем дальнего действия.

Второе уравнение описывает, как тензор энергии-импульса и скалярное поле $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ вместе влияют на кривизну пространства-времени. Левую часть, тензор Эйнштейна, можно рассматривать как своего рода среднюю кривизну. Чистой математикой является то, что в любой метрической теории тензор Римана всегда можно записать как сумму кривизны Вейля (или тензора конформной кривизны) плюс кусок, построенный на основе тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнение поля общей теории относительности просто

G a b = 8 π G T a b. {\ displaystyle G_ {ab} = 8 \ pi GT_ {ab}.}

{\ displaystyle G_ {ab} = 8 \ pi GT_ {ab}.}

Это означает, что в общей теории относительности кривизна Эйнштейна в некотором событии полностью определяется тензором энергии-импульса в этом событии; другая часть, кривизна Вейля, является частью гравитационного поля, которое может распространяться как гравитационная волна через область вакуума. Но в теории Бранса – Дике тензор Эйнштейна частично определяется непосредственным наличием массы-энергии и импульса, а частично - дальнодействующим скалярным полем $ϕ {\ displaystyle \ phi \,}$ $\ phi \,$ .

Уравнения вакуумного поля обеих теорий получаются при обращении в нуль тензора энергии-импульса. Это моделирует ситуации, в которых отсутствуют негравитационные поля.

Принцип действия

Следующий лагранжиан содержит полное описание теории Бранса – Дикке:

S = 1 16 π ∫ d 4 x - g ( ϕ R - ω ϕ ∂ a ϕ ∂ a ϕ) + ∫ d 4 x - g LM {\ displaystyle S = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- g}} \; \ left (\ phi R - {\ frac {\ omega} {\ phi}} \ partial _ {a} \ phi \ partial ^ {a} \ phi \ right) + \ int d ^ {4 } x {\ sqrt {-g}} \; {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; \ left (\ phi R - {\ frac {\ omega} {\ phi} } \ partial _ {a} \ phi \ partial ^ {a} \ phi \ right) + \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}

где $g {\ displaystyle g}$ $g$ - определитель метрики, $- gd 4 x {\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}$ ${\ sqrt {- g}} \, d ^ {4} x$ - четырехмерная объемная форма, а $LM {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}$ - термин материи или лагранжиан материи.

Термин материя включает вклад обычного вещества (например, газообразного вещества), а также электромагнитных полей. В вакуумной области материальный член тождественно равен нулю; оставшийся член - это гравитационный член. Чтобы получить уравнения вакуумного поля, мы должны варьировать гравитационный член в лагранжиане по отношению к метрике $g a b {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_ {{ab}}$ ; это дает второе уравнение поля выше. Когда мы изменяем относительно скалярного поля $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , мы получаем первое уравнение поля.

Обратите внимание, что, в отличие от уравнений поля общей теории относительности, $δ R ab / δ НОД {\ displaystyle \ delta R_ {ab} / \ delta g_ {cd}}$ $\ delta R _ {{ab} } / \ delta g _ {{cd}}$ член не обращается в нуль, так как результат не является полной производной. Можно показать, что

δ (ϕ R) δ g a b = ϕ R a b + g a b g c d ϕ; c; d - ϕ; а; б {\ displaystyle {\ frac {\ delta (\ phi R)} {\ delta g ^ {ab}}} = \ phi R_ {ab} + g_ {ab} g ^ {cd} \ phi _ {; c; d} - \ phi _ {; a; b}}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta (\ phi R)} {\ delta g ^ {ab}}} = \ phi R_ {ab} + g_ {ab} g ^ {cd} \ phi _ {; c; d} - \ phi _ {; a; b}}

Чтобы доказать этот результат, используйте

δ (ϕ R) = R δ ϕ + ϕ R mn δ gmn + ϕ ∇ s (gmn δ Γ nms - gms δ Γ rmr) {\ displaystyle \ delta (\ phi R) = R \ delta \ phi + \ phi R_ {mn} \ delta g ^ {mn} + \ phi \ nabla _ {s} (g ^ {mn} \ delta \ Gamma _ {nm} ^ {s} -g ^ {ms} \ delta \ Gamma _ {rm} ^ {r})}

\ delta (\ phi R) = R \ delta \ phi + \ phi R _ {{mn} } \ delta g ^ {{mn}} + \ phi \ nabla _ {s} (g ^ {{mn}} \ delta \ Gamma _ {{nm}} ^ {s} -g ^ {{ms}} \ дельта \ Гамма _ {{rm}} ^ {r})

Путем оценки $δ Γ {\ displaystyle \ delta \ Gamma }$ $\ delta \ Gamma$ s в нормальных координатах Римана, 6 отдельных членов исчезают. 6 дополнительных членов объединяются при использовании теоремы Стокса для получения желаемого $(gabgcd ϕ; c; d - ϕ; a; b) δ gab {\ displaystyle (g_ {ab} g ^ { cd} \ phi _ {; c; d} - \ phi _ {; a; b}) \ delta g ^ {ab}}$ ${\ displaystyle (g_ {ab} g ^ { cd} \ phi _ {; c; d} - \ phi _ {; a; b}) \ delta g ^ {ab}}$ .

Для сравнения, лагранжиан, определяющий общую теорию относительности, равен

S = ∫ d 4 Икс - г (R 16 π G + LM) {\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} х {\ sqrt {-g}} \; \ left ({\ frac {R} {16 \ pi G}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right)}

S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; \ left ({\ frac {R} {16 \ pi G}} + {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}} \ right)

Изменение гравитационного члена относительно $gab {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_ {{ab}}$ дает вакуумное уравнение поля Эйнштейна.

В обеих теориях полные уравнения поля могут быть получены вариациями полного лагранжиана.

См. Также

Примечания

Ссылки

Бергманн, Питер Г. (May 1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Инт. J. Theor. Физика 1(1): 25–36. Bibcode : 1968IJTP.... 1... 25B. doi : 10.1007 / BF00668828. ISSN 0020-7748.
Ваггонер, Роберт В. (июнь 1970 г.). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Phys. Преподобный Д. Американское физическое общество. 1(12): 3209–3216. Bibcode : 1970PhRvD... 1.3209W. doi : 10.1103 / PhysRevD.1.3209.
Миснер, Чарльз У. ; Торн, Кип С. ; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.См. Вставку 39.1.
Уилл, Клиффорд М. (1986). «Глава 8: Взлет и падение теории Бранса-Дике». Был ли Эйнштейн прав? Проверка общей теории относительности. Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0-19-282203-9.
Фараони, Валерио (2004). Космология в скалярно-тензорной гравитации. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-1988-2.

Внешние ссылки

Статья в Scholarpedia на эту тему, автор Карл Х. Бранс
Бранс, Карл Х. " Корни скалярно-тензорной теории: приблизительная история ». arXiv :gr-qc/0506063.