Геодезические в общей теории относительности

редактировать

В общей теории относительности геодезическая обобщает понятие "прямой линия »в искривленное пространство-время. Важно отметить, что мировая линия частицы, свободной от всех внешних негравитационных сил, является особым типом геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленного пространства-времени геометрии, где источником кривизны является тензор энергии-напряжения ( представляющий материю, например). Так, например, траектория планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической изогнутой четырехмерной (4-D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трехмерное (3-D) пространство.

Содержание

1 Математическое выражение
2 Эквивалентное математическое выражение с использованием координатного времени в качестве параметра
3 Вывод непосредственно из принципа эквивалентности
4 Вывод геодезического уравнения с помощью действия
5 Уравнение движения может следовать из полевых уравнений для пустого пространства
6 Распространение на случай заряженной частицы
7 Геодезические как кривые стационарного интервала
8 Получение с использованием автопараллельного переноса
9 См. также
10 Библиография
11 Ссылки

Математическое выражение

Полное геодезическое уравнение :

d 2 x μ ds 2 + Γ μ α β dx α dsdx β ds = 0 {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ over ds ^ {2}} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx ^ {\ alpha} \ over ds} { dx ^ {\ beta} \ over ds} = 0 \}

{d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\

, где s - скалярный параметр движения (например, собственное время ), и $Γ μ α β {\ displaystyle \ Гамма ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta}}$ $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ - это символы Кристоффеля (иногда называемые аффинной связью coeff icients или коэффициенты связи Леви-Чивиты ), симметричные по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3 и соглашение о суммировании используется для повторяющихся индексов $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ и $β. {\ displaystyle \ beta}$ $\beta$ . Величина в левой части этого уравнения - это ускорение частицы, поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона, которые также предоставляют формулы для ускорения частицы. В этом уравнении движения используется обозначение Эйнштейна, что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (то есть от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости, ускорения или других характеристик пробной частицы, движение которой описывается уравнением геодезии.

Эквивалентное математическое выражение с использованием координатного времени в качестве параметра

До сих пор геодезическое уравнение движения было записано в терминах скалярного параметра s. В качестве альтернативы его можно записать в терминах временной координаты: $t ≡ x 0 {\ displaystyle t \ Equiv x ^ {0}}$ $t\equiv x^{0}$ (здесь мы использовали тройную черту для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения принимает следующий вид:

d 2 x μ d t 2 = - Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ over dt ^ {2}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx ^ {\ alpha} \ over dt} {dx ^ {\ beta} \ over dt} + \ Gamma ^ {0} {} _ {\ alpha \ beta} {dx ^ {\ alpha} \ over dt} {dx ^ {\ beta} \ over dt } {dx ^ {\ mu} \ over dt} \.}

{d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\.

Эта формулировка геодезического уравнения движения может быть полезна для компьютерных вычислений и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией. Эту форму геодезического уравнения движения легко вывести из формы, которая использует собственное время в качестве параметра, используя цепное правило . Обратите внимание, что обе части этого последнего уравнения обращаются в нуль, когда индекс mu равен нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то уравнение геодезических сводится к следующему:

d 2 x n d t 2 = - Γ n 00. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {n} \ over dt ^ {2}} = - \ Gamma ^ {n} {} _ {00}.}

{d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{{00}}.

Здесь латинский индекс n принимает значения [ 1,2,3]. Это уравнение просто означает, что все тестовые частицы в определенном месте и в определенное время будут иметь одинаковое ускорение, которое является хорошо известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что плавает на международной космической станции , будет испытывать примерно одинаковое ускорение силы тяжести.

Вывод непосредственно из принципа эквивалентности

Физик Стивен Вайнберг представил вывод геодезического уравнения движения непосредственно из принципа эквивалентности. Первым шагом в таком выводе является предположение, что свободно падающая частица не ускоряется в окрестности точечного события относительно свободно падающей системы координат ( $X μ {\ displaystyle X ^ {\ mu}}$ $X^{\mu }$ ). Полагая $T ≡ X 0 {\ displaystyle T \ Equiv X ^ {0}}$ $T\equiv X^{0}$ , мы имеем следующее уравнение, которое локально применимо в свободном падении:

d 2 X μ d T 2 = 0. {\ displaystyle {d ^ {2} X ^ {\ mu} \ over dT ^ {2}} = 0.}

{d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.

Следующим шагом будет применение правила многомерной цепочки . У нас есть:

d X μ d T = dx ν d T ∂ X μ ∂ x ν {\ displaystyle {dX ^ {\ mu} \ over dT} = {dx ^ {\ nu} \ over dT} {\ частичное X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu}}}

{dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}

Еще раз дифференцируя по времени, имеем:

d 2 X μ d T 2 = d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν + dx ν d T dx α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\ displaystyle {d ^ {2} X ^ {\ mu} \ over dT ^ {2}} = {d ^ {2} x ^ {\ nu} \ over dT ^ {2}} {\ partial X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu}} + {dx ^ {\ nu} \ над dT} {dx ^ {\ alpha} \ над dT} {\ partial ^ {2} X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ alpha}}}

{d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}

Следовательно:

d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν = - dx ν d T dx α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ { \ nu} \ over dT ^ {2}} {\ partial X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu}} = - {dx ^ {\ nu} \ over dT} {dx ^ {\ alpha } \ over dT} {\ partial ^ {2} X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ alpha}}}

{d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}

Умножьте обе части этого последнего уравнения на следующая величина:

∂ x λ ∂ X μ {\ displaystyle {\ partial x ^ {\ lambda} \ over \ partial X ^ {\ mu}}}

{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}

Следовательно, мы имеем это:

d 2 x λ d T 2 = - d x ν d T d x α d T [∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α ∂ x λ ∂ X μ]. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ lambda} \ over dT ^ {2}} = - {dx ^ {\ nu} \ over dT} {dx ^ {\ alpha} \ over dT} \ left [ {\ partial ^ {2} X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ lambda} \ over \ partial X ^ {\ mu }} \ right].}

{d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].

Использование (из символов Кристоффеля # Изменение переменной и того факта, что символы Кристоффеля исчезают в инерциальной системе отсчета)

Γ λ ν α = [∂ 2 Икс μ ∂ Икс ν ∂ Икс α ∂ Икс λ ∂ Икс μ] {\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ alpha} = \ left [{\ partial ^ {2} X ^ {\ mu} \ over \ partial x ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ lambda} \ over \ partial X ^ {\ mu}} \ right]}

\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]

становится

d 2 x λ d T 2 = - Γ ν α λ dx ν d T dx α d T. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ lambda} \ over dT ^ {2}} = - \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {\ lambda} {dx ^ {\ nu} \ over dT} {dx ^ {\ alpha} \ over dT}.}

{d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.

Применение правила одномерной цепочки дает

d 2 x λ dt 2 (dtd T) 2 + dx λ dtd 2 td T 2 = - Γ ν α λ dx ν dtdx α dt (dtd T) 2. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ lambda} \ over dt ^ {2}} \ left ({\ frac {dt} {dT}} \ right) ^ {2} + {dx ^ {\ lambda } \ over dt} {\ frac {d ^ {2} t} {dT ^ {2}}} = - \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {\ lambda} {dx ^ {\ nu} \ over dt } {dx ^ {\ alpha} \ over dt} \ left ({\ frac {dt} {dT}} \ right) ^ {2}.}

{d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.

d 2 x λ dt 2 + dx λ dtd 2 td T 2 (d T dt) 2 = - Γ ν α λ dx ν dtdx α dt. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ lambda} \ over dt ^ {2}} + {dx ^ {\ lambda} \ over dt} {\ frac {d ^ {2} t} {dT ^ { 2}}} \ left ({\ frac {dT} {dt}} \ right) ^ {2} = - \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {\ lambda} {dx ^ {\ nu} \ over dt } {dx ^ {\ alpha} \ over dt}.}

{d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.

Как и раньше, мы можем установить $t ≡ x 0 {\ displaystyle t \ Equiv x ^ {0}}$ $t\equiv x^{0}$ . Тогда первая производная x по t равна единице, а вторая производная равна нулю. Замена λ на ноль дает:

d 2 t d T 2 (d T d t) 2 = - Γ ν α 0 d x ν d t d x α d t. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} t} {dT ^ {2}}} \ left ({\ frac {dT} {dt}} \ right) ^ {2} = - \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {0} {dx ^ {\ nu} \ over dt} {dx ^ {\ alpha} \ over dt}.}

{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.

Вычитание dx / dt, умноженное на это, из предыдущего уравнения дает:

d 2 Икс λ dt 2 знак равно - Γ ν α λ dx ν dtdx α dt + Γ ν α 0 dx ν dtdx α dtdx λ dt {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ lambda} \ over dt ^ {2} } = - \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {\ lambda} {dx ^ {\ nu} \ over dt} {dx ^ {\ alpha} \ over dt} + \ Gamma _ {\ nu \ alpha} ^ {0} {dx ^ {\ nu} \ over dt} {dx ^ {\ alpha} \ over dt} {dx ^ {\ lambda} \ over dt}}

{d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}

, который является формой геодезического уравнения движения (с использованием координатного времени в качестве параметра).

В качестве альтернативы геодезическое уравнение движения может быть получено с использованием концепции параллельного переноса.

Вывести геодезическое уравнение через действие

Мы можем (и это наиболее распространенный метод) вывести геодезическое уравнение по принципу действие. Рассмотрим случай попытки найти геодезическую между двумя разнесенными по времени событиями.

Пусть действие будет

S = ∫ ds {\ displaystyle S = \ int ds}

S=\int ds

где $ds = - g μ ν (x) dx μ dx ν {\ displaystyle ds = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} (x) \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu}}}}$ $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ - это строчный элемент . Внутри квадратного корня стоит отрицательный знак, потому что кривая должна быть времениподобной. Чтобы получить уравнение геодезических, мы должны изменить это действие. Для этого давайте параметризуем это действие относительно параметра $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ . В результате мы получаем:

S = ∫ - g μ ν dx μ d λ dx ν d λ d λ {\ displaystyle S = \ int {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ lambda}}}} \, d \ lambda}

S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda

Теперь мы можем продолжить и изменить это действие с учетом кривой $x μ {\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x^{\mu}$ . По принципу наименьшего действия получаем:

0 = δ S = ∫ δ (- g μ ν dx μ d λ dx ν d λ) d λ = ∫ δ (- g μ ν dx μ d λ dx ν d λ) 2 - г μ ν dx μ d λ dx ν d λ d λ {\ displaystyle 0 = \ delta S = \ int \ delta \ left ({\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu } {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ lambda}}}} \ right) \, d \ lambda = \ int {\ frac {\ delta \ left (-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ lambda}} \ справа)} {2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ lambda} }}}}} d \ lambda}

0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda

Используя правило произведения, получаем:

0 = ∫ (dx μ d λ dx ν d τ δ g μ ν + g μ ν d δ x μ d λ dx ν d τ + g μ ν dx μ d τ d δ x ν d λ) d λ = ∫ (dx μ d λ dx ν d τ ∂ α g μ ν δ x α + 2 g μ ν d δ x μ d λ dx ν d τ) d λ {\ displaystyle 0 = \ int \ left ({\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}}) \ delta g _ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} + g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {d \ delta x ^ {\ nu}} {d \ lambda}} \ right) \, d \ lambda = \ int \ left ({\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}) } \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} \ delta x ^ {\ alpha} + 2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x ^ {\ mu}} {d \ lambda} } {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ right) \, d \ lambda}

0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda

где

d τ d λ = - g μ ν dx μ d λ dx ν d λ {\ displaystyle {\ frac {d \ tau} {d \ lambda}} = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ lambda}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ lambda}}}}}

{\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}

Интегрируя по частям последний член и отбрасывая полную производную (которая равна нулю на границах), получаем:

0 = ∫ (dx μ d τ dx ν d τ ∂ α g μ ν δ x α - 2 δ x μ dd τ (g μ ν dx ν d τ)) d τ = ∫ (dx μ d τ dx ν d τ ∂ α g μ ν δ x α - 2 δ x μ ∂ α g μ ν dx α d τ dx ν d τ - 2 δ x μ g μ ν d 2 x ν d τ 2) d τ {\ displaystyle 0 = \ int \ left ({\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu } \ delta x ^ {\ alpha} -2 \ delta x ^ {\ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} \ left (g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ nu }} {d \ tau}} \ right) \ right) \, d \ tau = \ in t \ left ({\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} \ delta x ^ {\ alpha} -2 \ delta x ^ {\ mu} \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau} } {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} - 2 \ delta x ^ {\ mu} g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ nu} } {d \ tau ^ {2}}} \ right) \, d \ tau}

0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau

Немного упрощая, мы видим, что:

0 = ∫ (- 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + dx α d τ dx ν d τ ∂ μ g α ν - 2 dx α d τ dx ν d τ ∂ α g μ ν) δ x μ d τ {\ displaystyle 0 = \ int \ left (-2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ nu}} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac { dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} -2 {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac { dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} \ right) \ delta x ^ {\ mu} d \ tau}

0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau

итак,

0 = ∫ (- 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + dx α d τ dx ν d τ ∂ μ g α ν - dx α d τ dx ν d τ ∂ α g μ ν - dx ν d τ dx α d τ ∂ ν г μ α) δ Икс μ d τ {\ displaystyle 0 = \ int \ left (-2g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ nu}} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ fr ac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} - {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} {\ frac { dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} \ right) \ delta x ^ {\ mu} \, d \ tau}

0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau

умножение этого уравнения по $- 1 2 {\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$ $-{\frac {1}{2}}$ получаем:

0 = ∫ (g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 dx α d τ dx ν d τ (∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α - ∂ μ g α ν)) δ x μ d τ {\ displaystyle 0 = \ int \ left (g _ {\ mu \ nu } {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ nu}} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} { d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ left (\ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} - \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ right) \ right) \ delta x ^ {\ mu} \, d \ tau}

0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau

Итак, по принципу Гамильтона мы находим, что уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 dx α d τ dx ν d τ (∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α - ∂ μ g α ν) знак равно 0 {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ nu}} {d \ tau ^ {2} }} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ left ( \ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} - \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ right) = 0}

g_{{\mu \nu }}{\frac {d^{{2}}x^{{\nu }}}{d\tau ^{{2}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{{\alpha }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}\left(\partial _{{\alpha }}g_{{\mu \nu }}+\partial _{{\nu }}g_{{\mu \alpha }}-\partial _{{\mu }}g_{{\alpha \nu }}\right)=0

Умножая на обратный метрический тензор $g μ β {\ displaystyle g ^ {\ mu \ beta}}$ $g^{{\mu \beta }}$ , получаем, что

d 2 x β d τ 2 + 1 2 г μ β (∂ α g μ ν + ∂ ν г μ α - ∂ μ g α ν) dx α d τ dx ν d τ = 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ beta}} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ beta} \ left (\ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} - \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ right) {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau }} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} = 0}

{\frac {d^{{2}}x^{{\beta }}}{d\tau ^{{2}}}}+{\frac {1}{2}}g^{{\mu \beta }}\left(\partial _{{\alpha }}g_{{\mu \nu }}+\partial _{{\nu }}g_{{\mu \alpha }}-\partial _{{\mu }}g_{{\alpha \nu }}\right){\frac {dx^{{\alpha }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=0

Таким образом, мы получаем уравнение геодезических:

d 2 x β d τ 2 + Γ β α ν dx α d τ dx ν d τ знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ beta}} {d \ tau ^ {2}}} + \ Gamma ^ {\ beta} {} _ {\ alpha \ nu} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau}} = 0}

{\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0

с символом Кристоффеля определяется в терминах метрического тензора как

Γ β α ν = 1 2 g μ β (∂ α g μ ν + ∂ ν г μ α - ∂ μ g α ν) {\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ beta} {} _ {\ alpha \ nu} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ beta} \ left (\ partial _ {\ alpha} g _ {\ mu \ nu} + \ partial _ {\ nu} g _ {\ mu \ alpha} - \ partial _ {\ mu} g _ {\ alpha \ nu} \ right)}

\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)

(Примечание: аналогичные производные с небольшими поправками могут быть использованы для получения аналогичных результатов для геодезических между светоподобными или пространственными разделенными парами точек.)

Уравнение движения может следуют из уравнений поля для пустого пространства

Альберт Эйнштейн считал, что геодезическое уравнение движения может быть получено из уравнений поля для пустого пространства, то есть из того факта, что Ricci кривизна исчезает. Он писал:

Было показано, что этот закон движения - обобщенный на случай сколь угодно больших гравитирующих масс - может быть выведен только из полевых уравнений пустого пространства. Согласно этому выводу, закон движения подразумевается из условия, что поле не должно быть сингулярным нигде за пределами своих порождающих массовых точек.

Одним из недостатков исходной релятивистской теории гравитации было то, что она как теория поля не было полным; он ввел независимый постулат о том, что закон движения частицы задается уравнением геодезической.

Полная теория поля знает только поля, но не концепции частиц и движения. Потому что они не должны существовать независимо от поля, а должны рассматриваться как его часть.

На основе описания частицы без сингулярности появляется возможность логически более удовлетворительного решения комбинированной проблемы: проблема поля и проблема движения совпадают.

Оба физика и философы часто повторяли утверждение, что уравнение геодезических может быть получено из уравнений поля для описания движения гравитационной сингулярности, но это утверждение остается спорным. Менее спорным является представление о том, что уравнения поля определяют движение жидкости или пыли, в отличие от движения точечной сингулярности.

Распространение на случай заряженной частицы

В выводя уравнение геодезических из принципа эквивалентности, предполагалось, что частицы в локальной инерциальной системе координат не ускоряются. Однако в реальной жизни частицы могут быть заряжены и, следовательно, могут локально ускоряться в соответствии с силой Лоренца. То есть:

d 2 X μ d s 2 = q m F μ β d X α d s η α β. {\ displaystyle {d ^ {2} X ^ {\ mu} \ over ds ^ {2}} = {q \ over m} {F ^ {\ mu \ beta}} {dX ^ {\ alpha} \ over ds } {\ eta _ {\ alpha \ beta}}.}

{d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{{\mu \beta }}}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{{\alpha \beta }}}.

η α β d X α dsd X β ds = - 1. {\ displaystyle {\ eta _ {\ alpha \ beta}} { dX ^ {\ alpha} \ over ds} {dX ^ {\ beta} \ over ds} = - 1.}

{\eta _{{\alpha \beta }}}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.

тензор Минковского $η α β {\ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ beta}}$ $\eta _{\alpha \beta }$ определяется по формуле:

η α β = (- 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) {\ displaystyle \ eta _ { \ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}}}

\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1000\\0100\\0010\\0001\end{pmatrix}}

Эти последние три уравнения можно использовать в качестве отправной точки для вывода уравнения движения в общей теории относительности, вместо того, чтобы предполагать, что ускорение равно нулю при свободном падении. Поскольку здесь задействован тензор Минковского, возникает необходимость ввести нечто, называемое метрическим тензором в общей теории относительности. Метрический тензор g симметричен и локально сводится к тензору Минковского при свободном падении. В результате получается уравнение движения:

d 2 x μ d s 2 = - Γ μ α β d x α d s d x β d s + q m F μ β d x α d s g α β. {\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ over ds ^ {2}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {dx ^ {\ alpha} \ over ds} {dx ^ {\ beta} \ over ds} \ + {q \ over m} {F ^ {\ mu \ beta}} {dx ^ {\ alpha} \ over ds} {g _ {\ alpha \ beta} }.}

{d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{{\mu \beta }}}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{{\alpha \beta }}}.

g α β dx α dsdx β ds = - 1. {\ displaystyle {g _ {\ alpha \ beta}} {dx ^ {\ alpha} \ over ds} {dx ^ {\ beta} \ over ds} = - 1.}

{g_{{\alpha \beta }}}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.

Это последнее уравнение означает, что частица движется по времениподобной геодезической; безмассовые частицы, такие как фотон, вместо этого следуют нулевым геодезическим (замените -1 на ноль в правой части последнего уравнения). Важно, чтобы последние два уравнения согласовывались друг с другом, когда последнее дифференцируется по собственному времени, а следующая формула для символов Кристоффеля обеспечивает согласованность:

Γ λ α β = 1 2 g λ τ (∂ g τ α ∂ x β + ∂ g τ β ∂ x α - ∂ g α β ∂ x τ) {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1 } {2}} g ^ {\ lambda \ tau} \ left ({\ frac {\ partial g _ {\ tau \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} + {\ frac {\ partial g_ { \ tau \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial g _ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ tau}}} \ right)}

\Gamma ^{{\lambda }}{}_{{\alpha \beta }}={\frac {1}{2}}g^{{\lambda \tau }}\left({\frac {\partial g_{{\tau \alpha }}}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{{\tau \beta }}}{ \partial x^{{\alpha }}}}-{\frac {\partial g_{{\alpha \beta }}}{\partial x^{{\tau }}}}\right)

Последнее уравнение не включает электромагнитные поля, и оно применимо даже в пределе, когда электромагнитные поля исчезают. Буква g с надстрочными индексами относится к обратному метрическому тензору. В общей теории относительности индексы тензоров понижаются и повышаются на сокращение с метрическим тензором или его обратным, соответственно.

Геодезические как кривые стационарного интервала

Геодезические между двумя событиями также можно описать как кривую, соединяющую эти два события, которая имеет стационарный интервал (4-мерный " длина "). Стационарность здесь используется в том смысле, в котором этот термин используется в вариационном исчислении, а именно, что интервал вдоль кривой минимально изменяется среди кривых, которые находятся рядом с геодезической.

В пространстве Минковского есть только одна геодезическая, которая соединяет любую заданную пару событий, и для временной геодезической это кривая с самым длинным собственным временем между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени пара широко разделенных событий может иметь более одной временной геодезической между ними. В таких случаях правильное время по нескольким геодезическим, как правило, не будет одинаковым. Для некоторых геодезических в таких случаях возможно, чтобы кривая, соединяющая два события и находящаяся рядом с геодезической, имела либо большее, либо более короткое собственное время, чем геодезическая.

Для пространственно-подобной геодезической через два события всегда есть соседние кривые, которые проходят через два события, которые имеют либо большую, либо меньшую правильную длину, чем геодезическая, даже в пространстве Минковского. В пространстве Минковского геодезическая будет прямой линией. Любая кривая, которая отличается от геодезической чисто пространственно (т. Е. Не меняет координату времени) в любой инерциальной системе отсчета, будет иметь большую собственную длину, чем геодезическая, но кривая, которая отличается от геодезической чисто во времени (т.е. не меняет пространственные координаты) в такой системе отсчета будет иметь меньшую собственную длину.

Интервал кривой в пространстве-времени

l = ∫ | g μ ν x ˙ μ x ˙ ν | д с. {\ displaystyle l = \ int {\ sqrt {\ left | g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ right |}} \, ds \.}

l=\int {\sqrt {\left|g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }\right|}}\,ds\.

Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа,

dds ∂ ∂ x ˙ α | g μ ν x ˙ μ x ˙ ν | = ∂ ∂ x α | g μ ν x ˙ μ x ˙ ν |, {\ displaystyle {d \ over ds} {\ partial \ over \ partial {\ dot {x}} ^ {\ alpha}} {\ sqrt {\ left | g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x} } ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ right |}} = {\ partial \ over \ partial x ^ {\ alpha}} {\ sqrt {\ left | g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ right |}} \,}

{d \over ds}{\partial \over \partial {\dot x}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }\right|}}\,

после некоторых вычислений становится

2 (Γ λ μ ν x ˙ μ x ˙ ν + x ¨ λ) = U λ dds ln ⁡ | U ν U ν |, {\ displaystyle 2 (\ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + {\ ddot {x}} ^ {\ lambda}) = U ^ {\ lambda} {d \ over ds} \ ln | U _ {\ nu} U ^ {\ nu} | \,}

2(\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+{\ddot x}^{\lambda })=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\,

где $U μ = х ˙ μ. {\ displaystyle U ^ {\ mu} = {\ dot {x}} ^ {\ mu}.}$ $U^{\mu }={\dot x}^{\mu }.$

Доказательство

Цель состоит в том, чтобы найти кривую, для которой значение

l = ∫ d τ знак равно ∫ d τ d ϕ d ϕ = ∫ (d τ) 2 (d ϕ) 2 d ϕ = ∫ - г μ ν dx μ dx ν d ϕ d ϕ d ϕ = ∫ fd ϕ {\ displaystyle l = \ int d \ tau = \ int {d \ tau \ over d \ phi} \, d \ phi = \ int {\ sqrt {(d \ tau) ^ {2} \ over (d \ phi) ^ {2}}} \, d \ phi = \ int {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} \ over d \ phi \, d \ phi}} \, d \ phi = \ int f \, d \ phi}

l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {{(d\tau)^{2} \over (d\phi)^{2}}}}\,d\phi =\int {\sqrt {{-g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}}\,d\phi =\int f\,d\phi

стационарен, где

f = - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν {\ displaystyle f = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}}

f={\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}

такая цель может быть достигнута путем вычисления уравнения Эйлера – Лагранжа для f, которое равно

dd τ ∂ е ∂ Икс ˙ λ знак равно ∂ е ∂ Икс λ {\ Displaystyle {d \ over d \ tau} {\ partial f \ over \ partial {\ dot {x}} ^ {\ lambda}} = {\ partial f \ over \ partial x ^ {\ lambda}}}

{d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot x}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}

Подставляя выражение f в уравнение Эйлера – Лагранжа (которое делает значение интеграла l стационарным), получаем

dd τ ∂ - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν ∂ x ˙ λ = ∂ - g μ ν x ˙ μ Икс ˙ ν ∂ Икс λ {\ Displaystyle {д \ над д \ тау} {\ partial {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x} } ^ {\ nu}}} \ over \ partial {\ dot {x}} ^ {\ lambda}} = {\ partial {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ { \ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}} \ over \ partial x ^ {\ lambda}}}

{d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}} \over \partial {\dot x}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}

Теперь вычислим производные: $dd τ (- g μ ν ∂ x ˙ μ ∂ x ˙ λ x ˙ ν - g μ ν x ˙ μ ∂ x ˙ ν ∂ x ˙ λ 2 - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) = - g μ ν, λ x ˙ μ x ˙ ν 2 - g μ ν Икс ˙ μ Икс ˙ ν (1) {\ Displaystyle {d \ over d \ tau} \ left ({- g _ {\ mu \ nu} {\ partial {\ dot {x}} ^ {\ mu} \ over \ partial {\ dot {x}} ^ {\ lambda}} {\ dot {x}} ^ {\ nu} -g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} { \ partial {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ over \ partial {\ dot {x}} ^ {\ lambda}} \ over 2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot { x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ right) = {- g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu } {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ over 2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ qquad \ qquad (1)}$ ${d \over d\tau }\left({-g_{{\mu \nu }}{\partial {\dot x}^{\mu } \over \partial {\dot x}^{\lambda }}{\dot x}^{\nu }-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\partial {\dot x}^{\nu } \over \partial {\dot x}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\right)={-g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)$

$dd τ (g μ ν δ μ λ x ˙ ν + g μ ν x ˙ μ δ ν λ 2 - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) = g μ ν, λ x ˙ μ x ˙ ν 2 - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν ( 2) {\ displaystyle {d \ over d \ tau} \ left ({g _ {\ mu \ nu} \ delta ^ {\ mu} {} _ {\ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} \ delta ^ {\ nu} {} _ {\ lambda} \ over 2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} { \ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ right) = {g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ { \ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ over 2 {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ qquad \ qquad (2)}$ ${d \over d\tau }\left({g_{{\mu \nu }}\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\right)={g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\qquad \qquad (2)$

$dd τ (g λ ν x ˙ ν + g μ λ x ˙ μ - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) = g μ ν, λ Икс ˙ μ Икс ˙ ν - г μ ν Икс ˙ μ Икс ˙ ν (3) {\ displaystyle {d \ over d \ tau} \ left ({g _ {\ lambda \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ mu \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} \ over {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ right) = {g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ over {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ qquad \ qquad ( 3)}$ ${d \over d\tau }\left({g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \lambda }}{\dot x}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\right)={g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\qquad \qquad (3)$

$- g μ ν x ˙ μ x ˙ ν dd τ (g λ ν x ˙ ν + g μ λ x ˙ μ) - (g λ ν x ˙ ν + g μ λ x ˙ μ) dd τ - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν = g μ ν, λ x ˙ μ x ˙ ν - g μ ν x ˙ μ x ˙ ν (4) {\ displayst yle {{\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}} {d \ over d \ tau} (g_ {\ lambda \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ mu \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu}) - (g _ {\ lambda \ nu} {\ точка {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ mu \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu}) {d \ over d \ tau} {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu } {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}} \ over -g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} { \ dot {x}} ^ {\ nu}} = {g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ over {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}}} \ qquad \ qquad (4)}$ ${{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \lambda }}{\dot x}^{\mu })-(g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \lambda }}{\dot x}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}} \over -g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}={g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}}}\qquad \qquad (4)$

$(- g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) dd τ (g λ ν x ˙ ν + g μ λ x ˙ μ) + 1 2 (g λ ν x ˙ ν + g μ λ x ˙ μ) dd τ ( г μ ν Икс ˙ μ Икс ˙ ν) - г μ ν Икс ˙ μ Икс ˙ ν = г μ ν, λ Икс ˙ μ Икс ˙ ν (5) {\ Displaystyle {(-g _ {\ mu \ nu} {\ точка {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}) {d \ over d \ tau} (g _ {\ lambda \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu } + g _ {\ mu \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu}) + {1 \ over 2} (g _ {\ lambda \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ mu \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu}) {d \ over d \ tau} (g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ точка {x}} ^ {\ nu}) \ over -g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ d ot {x}} ^ {\ nu}} = g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} \ qquad \ qquad (5)}$ ${(-g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \lambda }}{\dot x}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\mu \lambda }}{\dot x}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }) \over -g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }}=g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }\qquad \qquad (5)$

$(g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) (g λ ν, μ x ˙ ν x ˙ μ + g μ λ, ν x ˙ μ x ˙ ν + g λ ν x ¨ ν + г λ μ Икс ¨ μ) {\ displaystyle (g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}) (g _ {\ lambda \ nu, \ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} + g _ {\ mu \ lambda, \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu } {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ lambda \ nu} {\ ddot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ lambda \ mu} {\ ddot {x}} ^ { \ mu})}$ $(g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu })(g_{{\lambda \nu,\mu }}{\dot x}^{\nu }{\dot x}^{\mu }+g_{{\mu \lambda,\nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+g_{{\lambda \nu }}{\ddot x}^{\nu }+g_{{\lambda \mu }}{\ddot x}^{\mu })$

= (g μ ν, λ x ˙ μ x ˙ ν) (g α β x ˙ α x ˙ β) + 1 2 (g λ ν x ˙ ν + g λ μ x ˙ μ) дд τ (г μ ν Икс ˙ μ Икс ˙ ν) (6) {\ displaystyle = (g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x} } ^ {\ nu}) (g _ {\ alpha \ beta} {\ dot {x}} ^ {\ alpha} {\ dot {x}} ^ {\ beta}) + {1 \ over 2} (g_ { \ lambda \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ lambda \ mu} {\ dot {x}} ^ {\ mu}) {d \ over d \ tau} (g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}) \ qquad \ qquad (6)}

=(g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu })(g_{{\alpha \beta }}{\dot x}^{\alpha }{\dot x}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{{\lambda \nu }}{\dot x}^{\nu }+g_{{\lambda \mu }}{\dot x}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu })\qquad \qquad (6)

$g λ ν, μ x ˙ μ x ˙ ν + g λ μ, ν x ˙ μ x ˙ ν - g μ ν, λ x ˙ μ x ˙ ν + 2 g λ μ x ¨ μ = x ˙ λ dd τ (g μ ν x ˙ μ x ˙ ν) g α β x ˙ α Икс ˙ β (7) {\ Displaystyle g _ {\ lambda \ nu, \ mu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + g _ {\ lambda \ mu, \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} -g _ {\ mu \ nu, \ lambda} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + 2g _ {\ lambda \ mu} {\ ddot {x}} ^ {\ mu} = {{\ dot {x}} _ {\ lambda} {d \ over d \ tau} (g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}) \ over g _ {\ alpha \ beta} {\ точка {x}} ^ {\ alpha} {\ dot {x}} ^ {\ beta}} \ qquad \ qquad (7)}$ $g_{{\lambda \nu,\mu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+g_{{\lambda \mu,\nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }-g_{{\mu \nu,\lambda }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+2g_{{\lambda \mu }}{\ddot x}^{\mu }={{\dot x}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }) \over g_{{\alpha \beta }}{\dot x}^{\alpha }{\dot x}^{\beta }}\qquad \qquad (7)$

$2 (Γ λ μ ν x ˙ μ x ˙ ν + x ¨ λ) = x ˙ λ dd τ (x ˙ ν x ˙ ν) x ˙ β x ˙ β = U λ dd τ (U ν U ν) U β U β = U λ dd τ ln ⁡ | U ν U ν | (8) {\ displaystyle 2 (\ Gamma _ {\ lambda \ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + {\ ddot {x} } _ {\ lambda}) = {{\ dot {x}} _ {\ lambda} {d \ over d \ tau} ({\ dot {x}} _ {\ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}) \ over {\ dot {x}} _ {\ beta} {\ dot {x}} ^ {\ beta}} = {U _ {\ lambda} {d \ over d \ tau} (U_ { \ nu} U ^ {\ nu}) \ over U _ {\ beta} U ^ {\ beta}} = U _ {\ lambda} {d \ over d \ tau} \ ln | U _ {\ nu} U ^ {\ nu} | \ qquad \ qquad (8)}$ $2(\Gamma _{{\lambda \mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+{\ddot x}_{\lambda })={{\dot x}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot x}_{\nu }{\dot x}^{\nu }) \over {\dot x}_{\beta }{\dot x}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)$

Это всего в одном шаге от уравнения геодезических.

Если параметр s выбран как аффинный, то правая часть приведенного выше уравнения обращается в нуль (потому что $U ν U ν {\ displaystyle U _ {\ nu} U ^ {\ nu}}$ $U_{\nu }U^{\nu }$ постоянно). Наконец, мы имеем уравнение геодезических

Γ λ μ ν x ˙ μ x ˙ ν + x ¨ λ = 0. {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + {\ ddot {x} } ^ {\ lambda} = 0 \.}

\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}{\dot x}^{\mu }{\dot x}^{\nu }+{\ddot x}^{\lambda }=0\.

Получение с использованием автопараллельного переноса

Уравнение геодезических также можно получить из автопараллельного переноса кривых. Вывод основан на лекциях, прочитанных Фредериком П. Шуллером в Международной зимней школе We-Heraeus по гравитации и свету.

Пусть $(M, O, A, ∇) {\ displaystyle (M, O, A, \ nabla)}$ $(M,O,A,\nabla)$ - многообразие со связью и $γ { \ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ - кривая на многообразии. Говорят, что кривая перемещается автоматически, если и только если $∇ v γ v γ = 0 {\ displaystyle \ nabla _ {v _ {\ gamma}} v _ {\ gamma} = 0}$ $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$ .

Чтобы получить уравнение геодезических, мы должны выбрать карту $(U, x) ∈ A {\ displaystyle (U, x) \ in A}$ $(U,x)\in A$ :

$∇ γ ˙ i ∂ ∂ xi (γ ˙ m ∂ ∂ xm) Знак равно 0 {\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}} \ left ({\ dot {\ gamma}} ^ {m} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {m}}} \ right) = 0}$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0$

Использование $C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C^{\infty }$ линейность и правило Лейбница:

$γ ˙ i (∇ ∂ ∂ xi γ ˙ m) ∂ ∂ xm + γ ˙ i γ ˙ m ∇ ∂ ∂ xi (∂ ∂ xm) = 0 {\ displaystyle {\ точка {\ gamma}} ^ {i} \ left (\ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} {\ dot {\ gamma}} ^ {m} \ right) {\ frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial } {\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$ ${\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0$

Using how the connection acts on functions ( $γ ˙ m {\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$ ${\dot {\gamma }}^{m}$ ) and expanding the second term with the help of the connection coefficient functions:

$γ ˙ i ∂ γ ˙ m ∂ x i ∂ ∂ x m + γ ˙ i γ ˙ m Γ i m q ∂ ∂ x q = 0 {\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$ ${\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0$

The first term can be simplified to $γ ¨ m ∂ ∂ x m {\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$ ${\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}$ . Renaming the dummy indices:

$γ ¨ q ∂ ∂ x q + γ ˙ i γ ˙ m Γ i m q ∂ ∂ x q = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$ ${\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0$

We finally arrive to the geodesic equation:

$γ ¨ q + γ ˙ i γ ˙ m Γ i m q = 0 {\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$ ${\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0$