Геодезические как гамильтоновы потоки

редактировать

В математике уравнения геодезических являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка и обычно представляются в виде уравнений движения Эйлера – Лагранжа. Однако они также могут быть представлены в виде набора связанных первых -уравнения порядка в форме уравнений Гамильтона. Это латте r формулировка разработана в этой статье.

Содержание

1 Обзор
2 Геодезические как приложение принципа наименьшего действия
3 Гамильтонов подход к геодезическим уравнениям
4 Ссылки

Обзор

Это часто говорят, что геодезические - это «прямые линии в искривленном пространстве». Используя подход Гамильтона – Якоби к уравнению геодезических, этому утверждению можно придать очень интуитивный смысл: геодезические описывают движения частиц, которые не испытывают никаких сил. В плоском пространстве хорошо известно, что частица, движущаяся по прямой линии, будет продолжать двигаться по прямой, если на нее не действуют внешние силы; это первый закон Ньютона. Гамильтониан, описывающий такое движение, хорошо известен как $H = p 2/2 m {\ displaystyle H = p ^ {2} / 2m}$ $H = p ^ {2} / 2m$ , где p - импульс. Именно сохранение импульса приводит к прямолинейному движению частицы. На изогнутой поверхности действуют те же идеи, за исключением того, что для правильного измерения расстояний необходимо использовать метрику . Чтобы правильно измерить импульсы, нужно использовать обратную метрику. Движение свободной частицы по искривленной поверхности по-прежнему имеет точно такую же форму, как указано выше, то есть полностью состоит из кинетического члена. Результирующее движение по-прежнему остается, в некотором смысле, «прямой линией», поэтому иногда говорят, что геодезические - это «прямые линии в искривленном пространстве». Более подробно эта идея развивается ниже.

Геодезические как применение принципа наименьшего действия

Учитывая (псевдо -) риманово многообразие M, геодезическая можно определить как кривую, которая является результатом применения принципа наименьшего действия. Дифференциальное уравнение, описывающее их форму, может быть получено с использованием вариационных принципов путем минимизации (или нахождения экстремума) энергии кривой. Для гладкой кривой

γ: I → M {\ displaystyle \ gamma: I \ to M}

\ gamma: I \ to M

, которая отображает интервал I прямой вещественной линии в многообразие M, записывается энергия

E (γ) = 1 2 ∫ I g (γ ˙ (t), γ ˙ (t)) dt, {\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1} {2} } \ int _ {I} g ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) \, dt,}

{\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1 } {2}} \ int _ {I} g ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) \, dt,}

где $γ ˙ (t) {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$ ${\ dot \ gamma} (t)$ - это касательный вектор к кривой $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ в точке $t ∈ I {\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ . Здесь $g (⋅, ⋅) {\ displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$ $g ( \ cdot, \ cdot)$ - это метрический тензор на многообразии M.

Используя приведенную выше энергию в качестве действия, можно решить либо уравнения Эйлера – Лагранжа, либо уравнения Гамильтона – Якоби. Оба метода дают решение геодезического уравнения ; однако уравнения Гамильтона – Якоби позволяют лучше понять структуру многообразия, как показано ниже. В терминах локальных координат на M геодезическое уравнение (Эйлера – Лагранжа) имеет вид

d 2 xadt 2 + Γ bcadxbdtdxcdt = 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {a}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} {\ frac {dx ^ {b}} {dt}} {\ frac {dx ^ {c}} {dt} } = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {a}} {dt ^ {2}}} + \ Гамма _ {bc} ^ {a} {\ frac {dx ^ {b}} {dt}} {\ frac {dx ^ {c}} {dt}} = 0}

где x (t) - координаты кривой γ (t), $Γ bca {\ displaystyle \ Gamma _ {bc} ^ {a}}$ $\ Gamma _ {{bc}} ^ {{a}}$ - символы Кристоффеля и повторяющиеся индексы подразумевают использование соглашения о суммировании.

гамильтонова подхода к геодезическим уравнениям

Геодезические можно понимать как гамильтоновы потоки специального гамильтонова векторного поля, определенного на кокасательном пространстве многообразия. Гамильтониан строится из метрики на многообразии и, таким образом, является квадратичной формой, полностью состоящей из кинетического члена.

Уравнения геодезических являются дифференциальными уравнениями второго порядка; они могут быть перевыражены в виде уравнений первого порядка путем введения дополнительных независимых переменных, как показано ниже. Обратите внимание, что координатная окрестность U с координатами x a индуцирует локальную тривиализацию элемента

T ∗ M | U ≃ U × R n {\ displaystyle T ^ {*} M | _ {U} \ simeq U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}

T ^ {*} M | _ {{U}} \ simeq U \ times {\ mathbb {R}} ^ {n}

по карте, которая отправляет точку

η ∈ T x ∗ M | U {\ displaystyle \ eta \ in T_ {x} ^ {*} M | _ {U}}

\ eta \ in T_x ^ * M | _ {U}

формы $η = padxa {\ displaystyle \ eta = p_ {a} dx ^ {a} }$ $\ эта = p_a dx ^ a$ в точку $(x, pa) ∈ U × R n {\ displaystyle (x, p_ {a}) \ in U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$ $(x, p_a) \ in U \ times \ mathbb {R} ^ n$ . Затем введите гамильтониан как

H (x, p) = 1 2 g a b (x) p a p b. {\ displaystyle H (x, p) = {\ frac {1} {2}} g ^ {ab} (x) p_ {a} p_ {b}.}

H (x, p) = {\ frac {1} {2}} g ^ {{ab}} (x) p_ {a} p_ {b}.

Здесь g (x) - обратное метрического тензора : g (x) g bc (x) = $δ ca {\ displaystyle \ delta _ {c} ^ {a}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {c} ^ {a}}$ . Поведение метрического тензора при преобразованиях координат подразумевает, что H инвариантен относительно замены переменной. Тогда уравнения геодезических можно записать как

x ˙ a = ∂ H ∂ pa = gab (x) pb {\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {a} = {\ frac {\ partial H} {\ частичное p_ {a}}} = g ^ {ab} (x) p_ {b}}

{\ точка {x}} ^ {a} = {\ frac {\ partial H} {\ partial p_ {a}}} = g ^ {{ab}} (x) p_ {b}

p ˙ a = - ∂ H ∂ xa = - 1 2 ∂ gbc (x) ∂ xapbpc. {\ displaystyle {\ dot {p}} _ {a} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x ^ {a}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ frac { \ partial g ^ {bc} (x)} {\ partial x ^ {a}}} p_ {b} p_ {c}.}

{\ точка {p}} _ {a} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x ^ {a}}} = - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g ^ { {bc}} (x)} {\ partial x ^ {a}}} p_ {b} p_ {c}.

Поток , определяемый этими уравнениями, называется когеодезический поток ; простая замена одного в другой дает уравнения Эйлера – Лагранжа, которые дают геодезический поток на касательном расслоении TM. Геодезические линии - это проекции интегральных кривых геодезического потока на многообразие M. Это гамильтонов поток, и гамильтониан постоянен вдоль геодезических:

d H dt = ∂ H ∂ xax ˙ a + ∂ H ∂ pap ˙ a = - p ˙ ax ˙ a + x ˙ ap ˙ a = 0. {\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial x ^ {a}}} {\ dot {x}} ^ {a} + {\ frac {\ partial H} {\ partial p_ {a}}} {\ dot {p}} _ {a} = - { \ dot {p}} _ {a} {\ dot {x}} ^ {a} + {\ dot {x}} ^ {a} {\ dot {p}} _ {a} = 0.}

{\ frac {dH} {dt} } = {\ frac {\ partial H} {\ partial x ^ {a}}} {\ dot {x}} ^ {a} + {\ frac {\ partial H} {\ partial p_ {a}}} { \ dot {p}} _ {a} = - {\ dot {p}} _ {a} {\ dot {x}} ^ {a} + {\ dot {x}} ^ {a} {\ dot { p}} _ {a} = 0.

Таким образом, геодезический поток разбивает кокасательное расслоение на наборы уровней постоянной энергии

ME = {(x, p) ∈ T ∗ M: H (x, p) = E} {\ displaystyle M_ {E} = \ {(x, p) \ in T ^ {*} M: H (x, p) = E \}}

M_ {E} = \ {(x, p) \ in T ^ {*} M: H ( x, p) = E \}

для каждой энергии E ≥ 0, так что

T ∗ M = ⋃ E ≥ 0 ME {\ displaystyle T ^ {*} M = \ bigcup _ {E \ geq 0} M_ {E}}

T ^ {*} M = \ bigcup _ {{E \ geq 0}} M_ {E}

Ссылки

Теренс Тао, Уравнение Эйлера-Арнольда, 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ См. обсуждение в начале
Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марс den, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X См. раздел 2.7.
B.A. Дубровин, А. Фоменко, С.П. Новиков, Современная геометрия: методы и приложения, часть I, (1984) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-90872-2 См. Главу 5, в частности, раздел 33.