Геодезические

редактировать

Кратчайший путь на криволинейной поверхности или римановом многообразии

Геодезический треугольник на сфере. Геодезические - это дуги большого круга.

В геометрии, геодезические () обычно представляет собой кривую , представляющую в некотором смысле кратчайший путь между двумя точками на поверхности поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии. Этот термин также имеет значение в любом дифференцируемом коллекторе с соединением. Это обобщение понятия «прямая линия » на более общую установку.

Существительное «геодезический» и прилагательное «геодезия » происходят от геодезия, науки об измерении размера и формы Земли, в то время как многие из основных принципов могут быть применены к любой эллипсоидальной геометрии. В первоначальном смысле геодезическая была кратчайшим путем между двумя точками на поверхности поверхности Земли. Для сферической Земли это отрезок большого круга . Этот термин был обобщен, чтобы включать измерения в гораздо более общих математических пространствах; например, в теории графов, можно рассматривать геодезическую между двумя вершинами / узлами графа.

в римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством исчезающей геодезической кривизны. В более общем смысле, при наличии аффинного соединения геодезическая определяется как кривая, касательные векторы которой остаются параллельными, если они перемещаются вдоль нее. Применение этого к связи Леви-Чивита римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие.

Геодезические занимают особое место в общей теории относительности. Времениподобные геодезические в общей теории относительности описывают движение свободно падающих пробных частиц.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Примеры
2 Метрическая геометрия
3 Риманова геометрия
- 3.1 Вариационное исчисление
4 Аффинные геодезические
- 4.1 Существование и уникальность
- 4.2 Геодезический поток
- 4.3 Геодезический спрей
- 4.4 Аффинные и проективные геодезические
5 Вычислительные методы
6 Приложения
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Дополнительная литература
11 Внешние ссылки

Введение

Кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, предполагаемом дифференциальным коллектором, можно определить с помощью уравнения для длины длины кривой кривой ( функцию f из открытого интервала из R в пространство), а затем минимизируют эту длину между точками с помощью вариационного исчисления. Это связано с некоторыми незначительными техническими проблемами, потому что существует бесконечное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, что означает, что расстояние от f (s) до f (t) вдоль кривой равно | s − t |. Эквивалентно, можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). Интуитивно можно понять эту вторую формулировку, заметив, что эластичная лента , натянутая между двумя точками, будет сокращаться по своей длине и тем самым минимизировать свою энергию. Получившаяся форма полосы - геодезическая.

Возможно, что несколько разных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.

Непрерывный сегмент геодезической снова является геодезической.

В общем, геодезические - это не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти два понятия тесно связаны. Разница в том, что геодезические - это только локально кратчайшее расстояние между точками, и они параметризуются с «постоянной скоростью». «Длинный путь» по большому кругу между двумя точками на сфере - это геодезический, но не кратчайший путь между точками. Карта $t → t 2 {\ displaystyle t \ to t ^ {2}}$ ${\ displaystyle t \ to t ^ {2}}$ от единичного интервала на прямой действительной числовой строке к самой себе дает кратчайший путь между 0 и 1, но не геодезическая, потому что скорость соответствующего движения точки не постоянна.

Геодезические обычно используются при изучении римановой геометрии и в более общем плане метрической геометрии. В общей теории относительности геодезические в пространстве-времени описывают движение точечных частиц под действием только силы тяжести. В частности, путь падающего камня, движущегося по орбите спутника или форма планетарной орбиты - все это геодезические в искривленном пространстве-времени. В более общем плане тема субримановой геометрии имеет дело с путями, которые могут пройти объекты, когда они не свободны, и их движение ограничено различными способами.

В этой статье представлен математический формализм, используемый для определения, поиска и доказательства существования геодезических в случае римановых и псевдоримановых многообразий. В статье геодезическая (общая теория относительности) более подробно обсуждается частный случай общей теории относительности.

Примеры

A геодезическая на трехосном эллипсоиде.

Если насекомое помещено на поверхность и постоянно идет «вперед», по определению оно будет отслеживать геодезические.

Наиболее известные примеры: прямые в евклидовой геометрии. На сфере изображения геодезических - это большие круги. Кратчайший путь от точки A до точки B на сфере задается более короткой дугой большого круга, проходящей через A и B. Если A и B являются противоположными точками, то там бесконечно много кратчайших путей между ними. Геодезические на эллипсоиде ведут себя более сложно, чем на сфере; в частности, они не закрываются вообще (см. рисунок).

Метрическая геометрия

В метрической геометрии геодезическая - это кривая, которая всюду локально минимизирует расстояние. Точнее, кривая γ: I → M от интервала I вещественных чисел до метрического пространства M является геодезической, если существует константа v ≥ 0 такая, что для любого t ∈ I существует окрестность J точки t в I такая, что для любых t 1, t 2 ∈ J имеем

d (γ (t 1), γ (t 2)) = v | т 1 - т 2 |. {\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = v \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}

d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = v \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.

Это обобщает понятие геодезическая для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжена естественной параметризацией, то есть в приведенном выше тождестве v = 1 и

d (γ (t 1), γ (t 2)) = | т 1 - т 2 |. {\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}

d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.

Если выполняется последнее равенство для всех t 1, t 2 ∈ I геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем .

В общем, метрическое пространство может не иметь геодезических, кроме постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в метрическом пространстве длины соединяются минимизирующей последовательностью спрямляемых путей, хотя эта минимизирующая последовательность не обязательно должна сходиться к геодезической.

Риманова геометрия

В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [a, b ] → M определяется как

L (γ) = ∫ abg γ (t) (γ ˙ (t), γ ˙ (t)) dt. {\ Displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma) }} (t))}} \, dt.}

L (\ gamma) = \ int _ {a } ^ {b} {\ sqrt {g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t))}} \, dt.

Расстояние d (p, q) между двумя точками p и q на M определяется как точная нижняя грань длины, взятой по всем непрерывным, кусочно непрерывно дифференцируемые кривые γ: [a, b] → M такие, что γ (a) = p и γ (b) = q. В римановой геометрии все геодезические - это пути, локально минимизирующие расстояние, но обратное неверно. Фактически, геодезическими являются только пути, которые одновременно минимизируют локальное расстояние и параметризованы пропорционально длине дуги. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - определить их как минимумы следующего действия или функционала энергии

E (γ) = 1 2 ∫ abg γ (t) (γ ˙ (t), γ ˙ (t)) dt. {\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) \, dt.}

E (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamm a}} (t)) \, dt.

Все минимумы E также являются минимумами L, но L является большим набором, поскольку пути, которые являются минимумами L, могут быть произвольно перенастроены ( без изменения их длины), а минимумы E - нет. Для кусочной кривой $C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ {1}$ (в более общем смысле, a $W 1, 2 {\ displaystyle W ^ {1,2}}$ ${\ displaystyle W ^ {1,2}}$ кривая), неравенство Коши – Шварца дает

L (γ) 2 ≤ 2 (b - a) E (γ) {\ displaystyle L (\ gamma) ^ {2} \ leq 2 (ba) E (\ gamma)}

{\ displaystyle L (\ gamma) ^ {2} \ leq 2 (ba) E (\ gamma)}

с равенством тогда и только тогда, когда $g (γ ′, γ ′) {\ displaystyle g (\ gamma ', \ gamma')}$ $g(\gamma ',\gamma ')$ равно константе ае; путь должен проходить с постоянной скоростью. Бывает, что минимизаторы $E (γ) {\ displaystyle E (\ gamma)}$ ${\ displaystyle E (\ gamma)}$ также минимизируют $L (γ) {\ displaystyle L (\ gamma)}$ ${\ displaystyle L (\ gamma)}$ , потому что они оказываются аффинно параметризованными, а неравенство является равенством. Полезность этого подхода заключается в том, что проблема поиска минимизаторов E является более устойчивой вариационной задачей. В самом деле, E - это «выпуклая функция» от $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, уникальности и регулярности минимизаторы. Напротив, "минимизаторы" функционала $L (γ) {\ displaystyle L (\ gamma)}$ ${\ displaystyle L (\ gamma)}$ обычно не очень регулярны, потому что разрешены произвольные изменения параметров.

Уравнения Эйлера – Лагранжа движения для функционала E затем задаются в локальных координатах как

d 2 x λ dt 2 + Γ μ ν λ dx μ dtdx ν dt = 0, {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dt}} = 0,}

{\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dt}} = 0,

где $Γ μ ν λ {\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu } ^ {\ lambda}}$ $\ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ лямбда}$ - это символы Кристоффеля метрики. Это геодезическое уравнение, описанное ниже.

вариационное исчисление

Методы классического вариационного исчисления могут быть применены для исследования функционала энергии E. первое изменение энергии определяется в локальных координатах как

δ E (γ) (φ) = ∂ ∂ t | t = 0 E (γ + t φ). {\ displaystyle \ delta E (\ gamma) (\ varphi) = \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right | _ {t = 0} E (\ gamma + t \ varphi). }

\ delta E (\ gamma) (\ varphi) = \ left. {\ Frac {\ partial } {\ partial t}} \ right | _ {t = 0} E (\ gamma + t \ varphi).

критические точки первого варианта - это в точности геодезические. Значение определяется как

δ 2 E (γ) (φ, ψ) = ∂ 2 ∂ s ∂ t | s = t = 0 E (γ + t φ + s ψ). {\ displaystyle \ delta ^ {2} E (\ gamma) (\ varphi, \ psi) = \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial s \, \ partial t}} \ right | _ {s = t = 0} E (\ gamma + t \ varphi + s \ psi).}

{\ displaystyle \ delta ^ {2} E (\ gamma) (\ varphi, \ psi) = \ left. {\ Frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial s \, \ partial t}} \ right | _ {s = t = 0} E (\ gamma + t \ varphi + s \ psi).}

В надлежащем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби. Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации через геодезические.

Применяя вариационные методы из классической механики, можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки. Они являются решениями ассоциированных уравнений Гамильтона с (псевдо) римановой метрикой, взятой как гамильтониан.

Аффинные геодезические

A геодезические на гладком многообразии M с аффинной связью ∇ определяется как кривая γ (t) такая, что параллельный перенос вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, поэтому

∇ γ ˙ γ ˙ знак равно 0 {\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}

\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0

(1)

в каждой точке кривой, где $γ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$ ${\ dot {\ gamma}}$ - производная по $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Точнее, чтобы определить ковариантную производную от $γ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$ ${\ dot {\ gamma}}$ , необходимо сначала расширить $γ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$ ${\ dot {\ gamma}}$ в непрерывно дифференцируемое векторное поле в открытом наборе. Однако результирующее значение (1) не зависит от выбора расширения.

Используя локальные координаты на M, мы можем записать геодезическое уравнение (используя соглашение о суммировании ) как

d 2 γ λ dt 2 + Γ μ ν λ d γ μ dtd γ ν dt = 0, {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ gamma ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ { \ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {d \ gamma ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {d \ gamma ^ {\ nu}} {dt}} = 0 \,}

{\ frac {d ^ {2} \ gamma ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {d \ gamma ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {d \ gamma ^ {\ nu}} {dt}} = 0 \,

где $γ μ = x μ ∘ γ (t) {\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} \ circ \ gamma (t)}$ $\ gamma ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} \ circ \ gamma (t)$ - координаты кривой γ (t) и $Γ μ ν λ {\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ $\ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ лямбда}$ - это символы Кристоффеля соединение ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. У него есть уникальное решение, учитывая начальное положение и начальную скорость. Следовательно, с точки зрения классической механики, геодезические можно рассматривать как траектории свободных частиц в многообразии. Действительно, уравнение $∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}$ $\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0$ означает, что вектор ускорения кривой не имеет составляющих в направлении поверхности (и поэтому он перпендикулярен касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Итак, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, в которой частицы движутся по геодезическим, а их изгиб вызывается гравитацией.

Существование и единственность

Локальная теорема существования и единственности для геодезических утверждает, что геодезические на гладком многообразии с аффинной связностью существуют и уникальны. Точнее:

Для любой точки p в M и для любого вектора V в T p M (касательное пространство к M в точке p) существует единственная геодезическая

γ {\ displaystyle \ gamma \,}

\ gamma \,

: I → M такое, что

γ (0) = p {\ displaystyle \ gamma (0) = p \,}

\ gamma (0) = p \,

γ ˙ (0) = V, {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0) = V,}

{\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0) = V,}

, где I - максимальный открытый интервал в R, содержащий 0.

Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, если заметить, что уравнение геодезических является ОДУ второго порядка. Тогда существование и единственность следует из теоремы Пикара – Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ зависит плавно как от p, так и от V.

В общем, I может не быть полностью из R, как, например, для открытого диска в R . Любой γ распространяется на все ℝ тогда и только тогда, когда M геодезически завершен.

Геодезический поток

Геодезический поток является локальным R-действием на касательное расслоение TM многообразия M, определенное следующим образом

G t (V) = γ ˙ V (t) {\ displaystyle G ^ {t} (V) = {\ dot {\ gamma }} _ {V} (t)}

G ^ {t} (V) = {\ dot {\ gamma}} _ {V} (t)

где t ∈ R, V ∈ TM и $γ V {\ displaystyle \ gamma _ {V}}$ $\ gamma _ {V}$ обозначает геодезическая с начальными данными $γ ˙ V (0) = V {\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {V} (0) = V}$ ${\ dot {\ gamma}} _ {V} (0) = V$ . Таким образом, $G t {\ displaystyle G ^ {t}}$ ${\ displaystyle G ^ {t}}$ (V) = exp (tV) - это экспоненциальное отображение вектора tV. Замкнутая орбита геодезического потока соответствует замкнутой геодезической на M.

На (псевдо) римановом многообразии геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком на котангенсном пучке. Гамильтониан затем задается обратной (псевдо-) римановой метрикой, вычисляемой по канонической одно-форме. В частности, поток сохраняет (псевдо-) риманову метрику $g {\ displaystyle g}$ $г$ , т.е.

g (G t (V), G t (V)) = g (V, V). {\ displaystyle g (G ^ {t} (V), G ^ {t} (V)) = g (V, V). \,}

{\ displaystyle g (G ^ {t} (V), G ^ {t} (V)) = g (V, V). \,}

В частности, когда V - единичный вектор, $γ V {\ displaystyle \ gamma _ {V}}$ $\ gamma _ {V}$ остается единичной скоростью на всем протяжении, поэтому геодезический поток касается единичного касательного пучка . Теорема Лиувилля влечет инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении.

Геодезический спрей

Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном пучке . Производные этих кривых определяют векторное поле на общем пространстве касательного пучка, известное как геодезический спрей.

Точнее, аффинная связь дает начало разделение двойного касательного пучка TTM на горизонтальный и вертикальный пучки :

TTM = H ⊕ V. {\ displaystyle TTM = H \ oplus V.}

TTM = H \ oplus V.

Геодезический спрей - это уникальное горизонтальное векторное поле W, удовлетворяющее

π ∗ W v = v {\ displaystyle \ pi _ {*} W_ {v} = v \,}

\ pi _ {*} W_ { v} = v \,

в каждой точке v ∈ TM; здесь π ∗ : TTM → TM обозначает продвижение вперед (дифференциал) вдоль проекции π: TM → M, связанной с касательным расслоением.

В более общем смысле, та же конструкция позволяет построить векторное поле для любой связности Эресмана на касательном расслоении. Для того чтобы результирующее векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении TM \ {0}), достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных пересчетов: она не обязательно должна быть линейной. То есть (см. связность Эресмана # векторные пучки и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло

H λ X = d (S λ) XHX {\ displaystyle H _ {\ lambda X } = d (S _ {\ lambda}) _ {X} H_ {X} \,}

H _ {\ lambda X} знак равно d (S _ {\ лямбда}) _ {X} H_ {X} \,

для любого X ∈ TM \ {0} и λ>0. Здесь d (S λ) - это продвижение вперед вдоль скалярной гомотетии $S λ: X ↦ λ X. {\ displaystyle S _ {\ lambda}: X \ mapsto \ lambda X.}$ $S _ {\ lambda}: X \ mapsto \ lambda X.$ Частный случай нелинейной связи, возникающей таким образом, связан с финслеровым многообразием.

аффинным и проективные геодезические

Уравнение (1) инвариантно относительно аффинных повторных параметризаций; то есть параметризации формы

t ↦ a t + b {\ displaystyle t \ mapsto at + b}

t \ mapsto at + b

, где a и b - постоянные действительные числа. Таким образом, помимо определения определенного класса вложенных кривых, уравнение геодезических также определяет предпочтительный класс параметризации на каждой из кривых. Соответственно, решения (1) называются геодезическими с аффинным параметром .

Аффинная связь определяется своим семейством аффинно параметризованных геодезических вплоть до кручения (Спивак 1999, Глава 6, Приложение I). Само кручение фактически не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезических зависит только от симметричной части связности. Точнее, если $∇, ∇ ¯ {\ displaystyle \ nabla, {\ bar {\ nabla}}}$ $\ nabla, {\ bar {\ nabla}}$ - две связи такие, что тензор разности

D (X, Y) = ∇ XY - ∇ ¯ XY {\ displaystyle D (X, Y) = \ nabla _ {X} Y - {\ bar {\ nabla}} _ {X} Y}

D (X, Y) = \ nabla _ {X} Y - {\ bar {\ nabla}} _ {X} Y

является кососимметричным, тогда $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ и $∇ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$ ${\ bar {\ nabla}}$ имеют одинаковые геодезические с те же аффинные параметризации. Кроме того, существует уникальное соединение, имеющее те же геодезические, что и $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ , но с исчезающим кручением.

Геодезические без определенной параметризации описываются проективной связью.

Вычислительные методы

Эффективные решатели минимальной геодезической задачи на поверхностях, представленных как уравнения эйконала были предложены Киммелем и другими.

Приложения

Геодезические служат в качестве основы для расчета:

геодезических планеров; см. геодезический планер или геодезический планер
геодезические конструкции - например, геодезические купола
горизонтальные расстояния на Земле или около Земли; см. Геодезические Земли
отображение изображений на поверхности для визуализации; см. UV-отображение
движение частиц в компьютерном моделировании молекулярной динамики (MD)
робот планирование движения (например, при окраске деталей автомобиля); см. Задача наикратчайшего пути

См. также

Введение в математику общей теории относительности
Соотношение Клеро - Формула в классической дифференциальной геометрии
Дифференцируемая кривая - Изучение кривых из с дифференциальной точки зрения
Дифференциальная геометрия поверхностей
Теорема Хопфа – Ринова
Внутренняя метрика
Изотропная линия
Поле Якоби
Теория Морса - анализирует топологию многообразия с помощью изучение дифференцируемых функций на этом многообразии
поверхность Цолля - поверхность, гомеоморфная сфере
проблема паука и мухи - проблема рекреационной геодезии

Примечания

Ссылки

Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 2), Хьюстон, Техас: Опубликовать или исчезнуть, ISBN 978-0-914098-71-3

Викискладе есть медиафайлы по теме Геодезия (математика).

Дополнительная литература

Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000423-8. См. Главу 2.
Авраам, Ральф Х. ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики, Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 978-0-8053-0102-1. См. Раздел 2.7.
Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540 -42627-1. См. Раздел 1.4.
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (Новая редакция), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
Ландау, Л. Д. ; Лифшиц, Э. М. (1975), Классическая теория полей, Оксфорд: Пергамон, ISBN 978-0-08-018176-9. См. Раздел 87.
Миснер, Чарльз У. ; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Gravitation, WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Ортин, Томас (2004), Gravity and strings, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82475-0. Особо обратите внимание на страницы 7 и 10.
Волков Ю.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории Относительность, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0-471-92567-5. См. Главу 3.

Внешние ссылки

Возвращение к геодезическим - Введение в геодезические, включая два способа вывода уравнения геодезических с приложениями в геометрии (геодезические на сфере и на торе ), механика (брахистохрон ) и оптика (световой луч в неоднородной среде).
Геодезические на параметрической поверхности - sage interact - Interactive SageMath рабочий лист для расчета и проиллюстрировать геодезические на параметрических поверхностях.
Полностью геодезическое подмногообразие в Атласе многообразия