Поле Якоби

В римановой геометрии поле Якоби является векторным полем вдоль геодезической $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$в римановом многообразии, описывающем разницу между геодезической и «бесконечно близкой» геодезической. Другими словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в ​​пространстве всех геодезических. Они названы в честь Карла Якоби.

• 1 Определения и свойства
• 2 Мотивирующий пример
• 3 Решение уравнения Якоби
• 4 Примеры
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Поля Якоби могут быть получены следующим образом: Возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезических $\gamma \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\; \}\}$с $\gamma \; 0\; =\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; gamma\}$, тогда

$J\; (t)\; =\; \partial \; \gamma \; \tau \; (t)\; \partial \; \tau \; |\; \tau \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (t)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; tau\; =\; 0\}\}$

является полем Якоби и описывает поведение геодезических в бесконечно малой окрестности данной геодезической $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$.

векторного поля J вдоль геодезической $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби :

$D\; 2\; dt\; 2\; J\; (t)\; +\; R\; (J\; (t),\; \gamma \; \dot{}\; (t))\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\; ^\; \{2\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; J\; (t)\; +\; R\; (J\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; gamma\}\}\; (t))\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; =\; 0,\}$

где D обозначает ковариантную производную относительно связи Леви-Чивита, R тензор кривизны Римана, $\gamma \; \dot{}\; (t)\; =\; d\; \gamma \; (t)\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; =\; d\; \backslash \; gamma\; (\; t)\; /\; dt\}$касательное векторное поле, а t - параметр геодезической. На полном римановом многообразии для любого поля Якоби существует семейство геодезических $\gamma \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$, описывающих поле (как в предыдущий абзац).

Уравнение Якоби является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка ; в частности, значения $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$и $D\; dt\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{dt\}\}\; J\}$одновременно точка $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$однозначно определяет поле Якоби. Кроме того, множество полей Якоби вдоль данной геодезической образует реальное векторное пространство размерности, вдвое превышающей размерность многообразия.

В качестве тривиальных примеров полей Якоби можно рассмотреть $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$и $t\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$. Они соответствуют, соответственно, следующим семействам перепараметризации: $\gamma \; \tau \; (t)\; =\; \gamma \; (\tau \; +\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t)\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; tau\; +\; t)\}$и $\gamma \; \tau \; (t)\; =\; \gamma \; ((1\; +\; \tau )\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t)\; =\; \backslash \; gamma\; ((1+\; \backslash \; tau)\; t)\}$.

Любое поле Якоби $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$может быть уникальным образом представлено в виде суммы $T\; +\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; +\; I\}$, где $T\; =\; a\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; +\; bt\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; a\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; +\; bt\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$представляет собой линейную комбинацию тривиальных полей Якоби и $I\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (t)\}$ортогонален $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$для всех $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Поле $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$тогда соответствует тому же варианту геодезических, что и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$, только с измененными параметризациями.

На сфере, геодезические через северный полюс представляют собой большие круги. Рассмотрим две такие геодезические $\gamma \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\}$и $\gamma \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$с естественным параметр, $t\; \in \; [0,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; pi]\}$, разделенный углом $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$. Геодезическое расстояние

$d\; (\gamma \; 0\; (t),\; \gamma \; \tau \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; (t),\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t))\; \backslash ,\}$

равно

$d\; (\gamma \; 0\; (t),\; \gamma \; \tau \; (t))\; =\; sin\; -\; 1\; \; (sin\; \; t\; sin\; \; \tau \; 1\; +\; cos\; 2\; \; t\; tan\; 2\; \; (\tau \; /\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; (t),\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t))\; =\; \backslash \; sin\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; sin\; t\; \backslash \; sin\; \backslash \; tau\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 1+\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; t\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau\; /\; 2)\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}.\}$

Для вычисления этого требуется знание геодезических. Самая интересная информация заключается в том, что

$d\; (\gamma \; 0\; (\pi ),\; \gamma \; \tau \; (\pi ))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; pi),\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\; \backslash \; pi))\; =\; 0\; \backslash ,\}$, для любого $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$.

Вместо этого мы можем рассматривать производную по $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$в $\tau \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; 0\}$:

$\partial \; \partial \; \tau \; |\; \tau \; =\; 0\; d\; (\gamma \; 0\; (t),\; \gamma \; \tau \; (t))\; =\; |\; J\; (t)\; |\; =\; грех\; \; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\backslash \; tau\; =\; 0\}\; d\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; (t),\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (t))\; =\; |\; J\; (t)\; |\; =\; \backslash \; sin\; t.\}$

Обратите внимание, что мы все еще обнаруживаем пересечение геодезических в $t\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; pi\}$. Обратите внимание, что для вычисления этой производной нам на самом деле не нужно знать

$d\; (\gamma \; 0\; (t),\; \gamma \; \tau \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{0\}\; (t),\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; \backslash \; tau\}\; (t))\; \backslash ,\}$,

скорее все, что нам нужно сделать, это решить уравнение

$y\; ″\; +\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; y\; =\; 0\; \backslash ,\}$,

для некоторых с учетом исходных данных.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления на произвольные римановы многообразия.

Пусть $e\; 1\; (0)\; =\; \gamma \; \dot{}\; (0)\; /\; |\; \gamma \; \dot{}\; (0)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (0)\; /\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (0)\; |\}$и завершите это, чтобы получить ортонормированный базис $\{ei\; (0)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; \backslash \; \{\}\; e\_\; \{i\}\; (0)\; \{\backslash \; big\; \backslash \}\}\}$при $T\; \gamma \; (0)\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; gamma\; (0)\}\; M\}$. Параллельный перенос для получения основы $\{ei\; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; (\; t)\; \backslash \}\}$на всем протяжении $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$. Это дает ортонормированный базис с $e\; 1\; (t)\; =\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; /\; |\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; /\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; |\}$. Поле Якоби может быть записано в координатах на основе этого базиса как $J\; (t)\; =\; yk\; (t)\; ek\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (t)\; =\; y\; ^\; \{k\}\; (t)\; e\_\; \{\; k\}\; (t)\}$и, следовательно,

$D\; dt\; J\; =\; \sum \; kdykdtek\; (t),\; D\; 2\; dt\; 2\; J\; =\; \sum \; kd\; 2\; ykdt\; 2\; ek\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; D\}\; \{dt\}\}\; J\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\; ^\; \{k\}\}\; \{dt\}\}\; e\_\; \{k\}\; (t),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{D\; ^\; \{2\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; J\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; e\_\; \{k\}\; (t),\}$

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

$d\; 2\; ykdt\; 2\; +\; |\; \gamma \; \dot{}\; |\; 2\; \sum \; jyj\; (t)\; ⟨R\; (ej\; (t),\; e\; 1\; (t))\; e\; 1\; (t),\; ek\; (t)⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{k\}\; \}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; y\; ^\; \{j\}\; (t)\; \backslash \; langle\; R\; (e\_\; \{j\}\; (t),\; e\_\; \{1\}\; (t))\; e\_\; \{1\}\; (t),\; e\_\; \{k\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$

для каждого $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Таким образом, мы получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Поскольку это ODE имеет smooth коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и являются уникальными при заданном $yk\; (\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{k\}\; (0)\}$и $yk\; \prime \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{y\; ^\; \{k\}\}\; \text{'}(0)\}$, для всех $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$.

Рассмотрим геодезическую $\gamma \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\}$с параллельным ортонормированным кадр $ei\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\; (t)\}$, $e\; 1\; (t)\; =\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; /\; |\; \gamma \; \dot{}\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; /\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; |\}$, построенный, как указано выше.

• Векторные поля вдоль $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, заданного как $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$и $t\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$- поля Якоби.
• В евклидовом пространстве ( а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны ) Поля Якоби - это просто поля, линейные в $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны $-\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -k\; ^\; \{2\}\}$, любое поле Якоби представляет собой линейную комбинацию $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$, $t\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$и $exp\; \; (\pm \; kt)\; ei\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (\; \backslash \; pm\; kt)\; e\_\; \{i\}\; (t)\}$, где $i>1\; \{\backslash \; displaystyle\; i>1\}$.
• Для римановых многообразий постоянного po местная секционная кривизна $k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{2\}\}$, любое поле Якоби представляет собой линейную комбинацию $\gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\; \}\; (t)\}$, $t\; \gamma \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\}$, $грех\; \; (kt)\; ei\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (kt)\; e\_\; \{i\}\; (t)\}$и $cos\; \; (kt)\; ei\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (kt)\; e\_\; \{i\}\; (t)\}$, где $i>1\; \{\backslash \; displaystyle\; i>1\}$.
• Ограничение векторного поля Киллинга геодезической является полем Якоби в любом римановом многообразии.