Планковская масса

редактировать

Единица массы в системе единиц Планка

В физике, Планковская масса, обозначаемая m P, является единицей массы в системе натуральных единиц, известной как планковские единицы и имеет значение 2,176435 (24) × 10 кг.

В отличие от некоторых других единиц Планка, таких как длина Планка, масса Планка не является фундаментальной нижней или верхней границей; вместо этого масса Планка - это единица массы, определяемая с использованием только того, что Макс Планк считал фундаментальными и универсальными единицами. Для сравнения, это значение примерно в 10 (квадриллион ) раз больше, чем самая высокая энергия, доступная для ускорителей частиц по состоянию на 2015 год. В качестве альтернативы, это примерно 22 микрограмм, или примерно масса яйца блох.

. Она определяется как:

m P = ℏ c G, {\ displaystyle m _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {G}}},}

{\ displaystyle m _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {G}}}, }

где c - скорость света в вакууме, G - гравитационная постоянная, а ħ - приведенная постоянная Планка.

. Подстановка значений для различных компонентов в этом определении дает приблизительное эквивалентное значение этой единицы в других единицах массы:

1 м P ≈ {\ displaystyle 1 \ m _ {\ mathrm {P}} \ приблизительно}

{\ displaystyle 1 \ m _ {\ mathrm {P}} \ приблизительно}

1,220910 × 10 ГэВ / c

= 2,176435 (24) × 10 кг

= 21,76470 μg

= 1,3107 × 10 u.

Для массы Планка $m P = ℏ c / G {\ displaystyle m _ {\ rm {P}} = {\ sqrt {\ hbar c / G}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ rm {P}} = {\ sqrt {\ hbar c / G}}}$ , радиус Шварцшильда ( $r S = 2 l P {\ displaystyle r _ {\ rm {S}} = 2l _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle r _ {\ rm {S}} = 2l _ {\ rm {P}}}$ ) и длина волны Комптона ( $λ C = 2 π l P {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {C}} = 2 \ pi l _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm { C}} = 2 \ pi l _ {\ rm {P}}}$ ) того же порядка, что и длина Планка $l P = ℏ G / c 3 {\ displaystyle l _ {\ rm { P}} = {\ sqrt {\ hbar G / c ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle l _ {\ rm {P}} = {\ sqrt {\ hbar G / c ^ {3}}}}$ .

Физики элементарных частиц и космологи часто используют альтернативную нормализацию с приведенная масса Планка, которая равна

MP = ℏ c 8 π G ≈ {\ displaystyle M _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {8 \ pi G }}} \ приблизительно \}

{ \ displaystyle M _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {8 \ pi G}}} \ приблизительно \}

4,341 × 10 кг = 2,435 × 10 ГэВ / c.

Содержание

1 История
2 Выводы
- 2.1 Анализ размеров
- 2.2 Устранение константы связи
3 См. Также
4 Сноски
5 Ссылки
6 Библиография
7 Внешние ссылки

История

Масса Планка впервые была предложена Макс Планк в 1899 году. Он предположил, что существуют некоторые фундаментальные естественные единицы для длины, массы, времени и энергии. Он вывел эти единицы, используя только размерный анализ того, что он считал наиболее фундаментальными универсальными константами: скорости света, гравитационной постоянной Ньютона и постоянной Планка.

Выводы

Анализ размеров

Формула для массы Планка может быть получена с помощью анализа размеров. Основная идея состоит в том, чтобы найти величину, основанную на «универсалиях», таких как «скорость света в вакууме», которые являются как объективными, так и инвариантными или неизменными при переходе от одной экспериментальной или наблюдательной ситуации к другой. Это несколько идеализированная перспектива, поскольку мы должны мыслить в рамках, недоступных экспериментально. Например, даже если скорость света наблюдается и оценивается и измеряется в условиях, близких к «вакууму» (насколько мы можем это сделать), мы не обязательно знаем, могут ли результаты (при повторяющихся идентичных условиях), которые вполне могут быть проявляют некоторую изменчивость, указывают на ошибку в нашем предположении об универсальной скорости для света или коррелируют с такими факторами, как возможные предубеждения или ошибки, которые мы делаем сами, или определенные неоднозначности, присущие экспериментальной установке. Но цель состоит в том, чтобы удалить следы конкретных экспериментов или наблюдений и сопутствующих конкретных измеренных величин, таких как длина или время, которые имеют отношение к измерению скорости. В этом контексте мы также должны спросить себя, какие «универсальные» величины имеют отношение к оценке массы в эксперименте. Ускорение свободного падения g на поверхности Земли не совсем объективная константа, но достаточно близка для этой среды при многих типичных условиях. Точно так же, когда мы рассматриваем общий астрофизический контекст звезд, планет и т. Д., Гравитационная постоянная Ньютона G, кажется, представляет собой адекватный «универсальный» во многих обычных экспериментальных или наблюдательных условиях. В этом подходе каждый начинает с трех физических констант ħ, c и G и пытается объединить их, чтобы получить величину, размерность которой равна массе. Искомая формула имеет вид

m P = cn 1 G n 2 ℏ n 3, {\ displaystyle m _ {\ text {P}} = c ^ {n_ {1}} G ^ {n_ {2}} \ hbar ^ {n_ {3}},}

m _ {\ text {P}} = c ^ {n_ {1}} G ^ { n_ {2}} \ hbar ^ {n_ {3}},

где $n 1, n 2, n 3 {\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}}$ $n_{1},n_{2},n_{3}$ - константы, которые следует определить приравниванием размеров обеих сторон. Используя символы $M {\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$ ${ \ displaystyle {\ mathsf {M}}}$ для массы, $L {\ displaystyle {\ mathsf {L}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {L }}}$ для длины и $T {\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$ ${\ mathsf {T}}$ для времени и записи [x] для обозначения измерения некоторой физической величины x, мы имеем следующее:

[c ] = LT - 1 {\ displaystyle \, [c] \, = {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}} ^ {- 1} \}

{\ displaystyle \, [c] \, = {\ mathsf {L}} { \ mathsf {T}} ^ {- 1} \}

[G] = M - 1 L 3 T - 2 {\ displaystyle [G] = {\ mathsf {M}} ^ {- 1} {\ mathsf {L}} ^ {3} {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}

{\ Displaystyle [G] = {\ mathsf {M }} ^ {- 1} {\ mathsf {L}} ^ {3} {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}

[ℏ ] = ML 2 T - 1 {\ displaystyle \, [\ hbar] \, = {\ mathsf {M}} {\ mathsf {L}} ^ {2} {\ mathsf {T}} ^ {- 1} \ }

{\ displaystyle \, [\ hbar] \, = {\ mathsf {M}} {\ mathsf {L }} ^ {2} {\ mathsf {T}} ^ {- 1} \}

Следовательно,

[cn 1 G n 2 ℏ n 3] = M - n 2 + n 3 L n 1 + 3 n 2 + 2 n 3 T - n 1 - 2 n 2 - n 3. {\ displaystyle [c ^ {n_ {1}} G ^ {n_ {2}} \ hbar ^ {n_ {3}}] = {\ mathsf {M}} ^ {- n_ {2} + n_ {3} } {\ mathsf {L}} ^ {n_ {1} + 3n_ {2} + 2n_ {3}} {\ mathsf {T}} ^ {- n_ {1} -2n_ {2} -n_ {3}}.}

{\ displaystyle [c ^ {n_ { 1}} G ^ {n_ {2}} \ hbar ^ {n_ {3}}] = {\ mathsf {M}} ^ {- n_ {2} + n_ {3}} {\ mathsf {L}} ^ {n_ {1} + 3n_ {2} + 2n_ {3}} {\ mathsf {T}} ^ {- n_ {1} -2n_ {2} -n_ {3}}.}

Если кто-то хочет, чтобы это равнялось $M {\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$ ${ \ displaystyle {\ mathsf {M}}}$ , измерение массы, используя $M = M 1 L 0 T 0 {\ displaystyle {\ mathsf {M}} = {\ mathsf {M}} ^ {1} {\ mathsf {L}} ^ {0} {\ mathsf {T}} ^ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {M}} = {\ mathsf {M}} ^ {1} {\ mathsf {L}} ^ {0} {\ mathsf {T}} ^ {0}}$ необходимо выполнение следующих уравнений:

- n 2 + n 3 = 1 {\ displaystyle ~~~~~~~~~ -n_ {2} + ~~ n_ {3} = 1 \}

{\ displaystyle ~~~~~~~~~ -n_ {2} + ~~ n_ {3} = 1 \}

n 1 + 3 n 2 + 2 n 3 = 0 {\ displaystyle ~~~ n_ {1} + 3n_ {2} + 2n_ {3} = 0 \}

{\ displaystyle ~~~ n_ {1} + 3n_ { 2} + 2n_ {3} = 0 \}

- n 1-2 n 2 - n 3 = 0 {\ displaystyle -n_ {1} -2n_ {2} - ~~ n_ {3} = 0 \}

{\ displaystyle -n_ {1} -2n_ {2} - ~~ n_ {3} = 0 \}

Решение этой системы:

n 1 = 1/2, n 2 = - 1/2, n 3 = 1/2. {\ Displaystyle n_ {1} = 1/2, n_ {2} = - 1/2, n_ {3} = 1/2. \}

n_ {1} = 1/2, n_ {2} = - 1/2, n_ {3} = 1/2. \

Таким образом, Масса Планка равна:

m P = c 1/2 G - 1/2 ℏ 1/2 = c ℏ G {\ displaystyle m _ {\ text {P}} = c ^ {1/2} G ^ {- 1/2} \ hbar ^ {1/2} = {\ sqrt {\ frac {c \ hbar} {G}}} \}

{\ displaystyle m_ {\ text {P}} = c ^ {1/2} G ^ {- 1/2} \ hbar ^ {1/2} = {\ sqrt {\ frac {c \ hbar} {G}}} \}

Анализ размеров может определять только формулу от до a Размеры onless мультипликативный коэффициент. Нет никаких априорных причин для начала с уменьшенной постоянной Планка вместо исходной постоянной Планка h, которая отличается от нее в 2π раз.

Исключение константы связи

Эквивалентно масса Планка определяется так, что потенциальная гравитационная энергия между двумя массами m P разделения r равна энергии фотона (или масса – энергия гравитона, если такая частица существует) с угловой длиной волны r (см. соотношение Планка ), или что их соотношение равно единице.

E = г м п 2 р = ℏ cr {\ displaystyle E = {\ frac {Gm _ {\ text {P}} ^ {2}} {r}} = {\ frac {\ hbar c} {r }} \}

{\ displaystyle E = {\ frac {Gm _ {\ text {P} } ^ {2}} {r}} = {\ frac {\ hbar c} {r}} \}

Выделив m P, мы получаем, что

m P = ℏ c G {\ displaystyle m _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {G}}}}

m _ {\ text {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar c} {G}}}

См. также

Физический портал

Сноски

Ссылки

Библиография

Внешние ссылки

«Справочная информация о константах, единицах измерения и неопределенности». NIST.