Минор (линейная алгебра)

редактировать

В линейной алгебре, минор матрицы A- это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из A путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры ), необходимы для вычисления матричных сомножителей, которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратный квадратных матриц.

Содержание

1 Определение и иллюстрация
- 1.1 Первые миноры
- 1.2 Общее определение
- 1.3 Дополнение
2 Применение миноров и сомножителей
- 2.1 Расширение сомножителя определителя
- 2.2 Обращение матрицы
- 2.3 Другие приложения
3 Подход с использованием полилинейной алгебры
4 Замечание о различных обозначениях
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определение и иллюстрация

Первые миноры

Если A представляет собой квадратную матрицу, то младшие элементы записи в i-й строке и j-м столбце (также называемые (i, j) minor, или первый второстепенный) - это определитель подматрицы , образованной удалением i-й строки и j-го столбца. Это число часто обозначается M i, j. Кофактор (i, j) получается путем умножения младшего на $(- 1) i + j {\ displaystyle (-1) ^ {i + j}}$ $(- 1) ^ {i + j}$ .

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующие 3 по матрице 3,

[1 4 7 3 0 5 - 1 9 11] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \, \, \, 1 4 7 \\\, \, \, 3 0 5 \\ - 1 9 \! 11 \\\ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} \, \, \, 1 4 7 \\ \, \, \, 3 0 5 \\ -1 9 \! 11 \\ \ end { bmatrix}

Чтобы вычислить минор M 2,3 и сомножитель C 2,3, мы находим определитель указанной выше матрицы с строка 2 и столбец 3 удалены.

M 2, 3 = det [1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ - 1 9 ◻] = det [1 4 - 1 9] = (9 - (- 4)) = 13 {\ displaystyle M_ {2,3} = \ det {\ begin {bmatrix} \, \, 1 4 \ Box \, \\\, \ Box \ Box \ Box \, \\ - 1 9 \ Box \, \\\ end {bmatrix}} = \ det {\ begin {bmatrix} \, \, \, 1 4 \, \\ - 1 9 \, \\\ end {bmatrix}} = (9 - (- 4)) = 13}

M_ {2,3} = \ det \ begin {bmatrix} \, \, 1 4 \ Box \, \\ \, \ Box \ Box \ Box \, \\ -1 9 \ Box \, \\ \ end {bmatrix} = \ det \ begin {bmatrix} \, \, \, 1 4 \, \\ -1 9 \, \\ \ end {bmatrix} = (9 - (- 4)) = 13

Итак, кофактор (2,3) запись:

C 2, 3 = (- 1) 2 + 3 (M 2, 3) = - 13. {\ displaystyle \ C_ {2,3} = (- 1) ^ {2 +3} (M_ {2,3}) = - 13.}

{\ displaystyle \ C_ {2,3} = (- 1) ^ {2 + 3} (M_ {2,3}) = -13.}

Общее определение

Пусть A будет матрицей m × n, а k - целым числом с 0 < k ≤ m, and k ≤ n. A k × k minor of A, также называемым второстепенным определителем порядка k A или, если m = n, (n-k) -м второстепенным определителем A ( слово «определитель» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») - это определитель матрицы размером k × k, полученной из A путем удаления m − k строк и n− k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k × k, полученной из A, как указано выше (путем удаления m − k строк и n − k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадрат) подматрица A, оставляя термин «второстепенный» для ссылки на определитель этой матрицы. Для матрицы A, как указано выше, всего существует $(mk) ⋅ (nk) {\ displaystyle {m \ choose k} \ cdot {n \ choose k}}$ ${m \ choose k} \ cdot {n \ choose k}$ несовершеннолетние размером k × k. Минор нулевого порядка часто определяется как 1. Для квадратной матрицы нулевой минор является просто определителем матрицы.

Пусть $1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ m {\displaystyle 1\leq i_{1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq m}$ и $1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j k ≤ n {\displaystyle 1\leq j_{1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ cdots <j_ {k} \ leq n}$ - упорядоченные последовательности (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда речь идет о младших, если не указано иное) индексов, назовите их I и J соответственно. Минор $det ((A ip, jq) p, q = 1,…, k) {\ displaystyle \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ ${\ displaystyle \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ , соответствующий этому выбору индексов, обозначается $det I, JA {\ displaystyle \ det _ {I, J} A}$ ${\ displaystyle \ det _ {I, J} A}$ или $[A] I, J {\ displaystyle [A] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle [A] _ { I, J}}$ или $MI, J {\ displaystyle M_ {I, J}}$ ${\ displaystyle M_ {I, J}}$ или $M i 1, i 2,…, ik, j 1, j 2,…, jk {\ displaystyle M_ {i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {k}, j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {k}}}$ ${\ displaystyle M_ {i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {k}, j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {k}}}$ или $M (i), (j) {\ displaystyle M _ {(i), (j) }}$ ${\ displaystyle M _ {(i), (j)}}$ (где $(i) {\ displaystyle (i)}$ $(i)$ обозначает последовательность индексов I и т. Д.), В зависимости от источника. Кроме того, в литературе используются два типа обозначений: под второстепенным, связанным с упорядоченными последовательностями индексов I и J, некоторые авторы подразумевают определитель матрицы, которая сформирована, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строки, индексы которых находятся в I, и столбцы, индексы которых находятся в J, тогда как некоторые другие авторы подразумевают под второстепенным, связанным с I и J, определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк в I и столбцов в J. всегда следует проверять из соответствующего источника. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J. Исключительный случай - это случай первого минора или (i, j) -минора, описанного выше; в этом случае исключительное обозначение $M i, j = det ((A p, q) p ≠ i, q ≠ j) {\ displaystyle M_ {i, j} = \ det \ left (\ left (A_ {p, q} \ right) _ {p \ neq i, q \ neq j} \ right)}$ ${\ displaystyle M_ {i, j} = \ det \ left (\ left ( A_ {p, q} \ right) _ {p \ neq i, q \ neq j} \ right)}$ является стандартным везде в литературе и также используется в этой статье.

Дополнение

Дополнение, B ijk..., pqr..., младшего, M ijk..., pqr... квадратной матрицы, A, формируется определителем матрицы A, из которой все строки (ijk...) и столбцы (pqr...), связанные с M ijk..., pqr..., были удалены. Дополнение к первому минору элемента a ij является просто этим элементом.

Применение миноров и сомножителей

Расширение сомножителя определителя

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения детерминантов, которая представляет собой метод вычисления больших детерминант через меньшие. Для матрицы размера n × n $A = (aij) {\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ $A=(a_{ij})$ определитель матрицы A, обозначенный det (A), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженных на элементы, которые их сгенерировали. Другими словами, определение $C ij = (- 1) i + j M ij {\ displaystyle C_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$ ${\ displaystyle C_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$ , тогда расширение кофактора по j-му столбцу дает:

det (A) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + a 3 j C 3 j + ⋯ + anj C nj = ∑ i = 1 naij С ij знак равно ∑ я знак равно 1 naij (- 1) я + j M ij {\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {1j} C_ {1j} + a_ {2j} C_ {2j} + a_ {3j} C_ {3j} + \ cdots + a_ {nj} C_ {nj} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {1j} C_ {1j} + a_ {2j} C_ {2j} + a_ {3j} C_ {3j} + \ cdots + a_ {nj} C_ {nj} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a _ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

Расширение кофактора вдоль i-й строки дает:

det (A) = ai 1 C i 1 + ai 2 C я 2 + ai 3 C я 3 + ⋯ + ain C in = ∑ j = 1 naij C ij = ∑ j = 1 naij (- 1) i + j M ij {\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A }) = a_ {i1} C_ {i1} + a_ {i2} C_ {i2} + a_ {i3} C_ {i3} + \ cdots + a_ {in} C_ {in} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {i1} C_ {i1} + a_ {i2} C_ {i2} + a_ {i3} C_ {i3} + \ cd ots + a_ {in} C_ {in} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

Инверсия к матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу путем вычисления ее сомножителей с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A, называется кофакторной матрицей (также называемой матрицей кофакторов или коматрикс):

C = [C 11 C 12 ⋯ C 1 n C 21 C 22 ⋯ C 2 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C N 1 C N 2 ⋯ C nn] {\ displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} \ cdots C_ {1n } \\ C_ {21} C_ {22} \ cdots C_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ C_ {n1} C_ {n2} \ cdots C_ {nn} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {12} \ cdots C_ {1n} \\ C_ {21} C_ {22} \ cdots C_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ C_ {n1} C_ {n2 } \ cdots C_ {nn} \ end {bmatrix}}}

Тогда обратная величина к A - это транспонирование матрицы кофакторов, умноженное на обратную величину определителя A:

A - 1 = 1 det ⁡ (A) CT. {\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ operatorname {det} (\ mathbf {A})}} \ mathbf {C} ^ {\ mathsf {T}}.}

\ mathbf A ^ {- 1} = \ frac {1} {\ operatorname {det} (\ mathbf A)} \ mathbf C ^ \ mathsf {T}.

Транспонирование матрицы кофакторов называется сопряженной матрицей (также называемой классической сопряженной) для A.

Вышеупомянутая формула может быть обобщена следующим образом: Пусть $1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n {\displaystyle 1\leq i_{1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n}$ и $1 ≤ j 1 < j 2 < … < j k ≤ n {\displaystyle 1\leq j_{1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ ldots <j_ {k} \ leq n }$ - упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A - это матрица размера n × n). Тогда

[A - 1] I, J = ± [A] J ′, I ′ det A, {\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} = \ pm { \ frac {[\ mathbf {A}] _ {J ', I'}} {\ det \ mathbf {A}}},}

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},

где I ′, J ′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы в естественном порядке величины, как указано выше), дополняющих I, J, так что каждый индекс 1,..., n появляется ровно один раз либо в I, либо в I ', но не в обоих (аналогично для J и J') и $[A] I, J {\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J}}$ обозначает определитель подматрицы A, сформированный путем выбора строки индексного набора I и столбцы индексного набора J. Также $[A] I, J = det ((A ip, jq) p, q = 1,…, k) {\ displaystyle [\ mathbf { A}] _ {I, J} = \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J} = \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q} }) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Действительно,

[A - 1] I, J (e 1 ∧… ∧ en) = ± (A - 1 ej 1) ∧… ∧ (A - 1 ejk) ∧ ei 1 ′ ∧… ∧ ein - k ′, {\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (\ mathbf {A} ^ {- 1} e_ {j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A} ^ {- 1} e_ {j_ {k}}) \ wedge e_ {i '_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {i '_ {nk}},}

[{\mathbf A}^{{-1}}]_{{I,J}}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm ({\mathbf A}^{{-1}}e_{{j_{1}}})\wedge \ldots \wedge ({\mathbf A}^{{-1}}e_{{j_{k}}})\wedge e_{{i'_{1}}}\wedge \ldots \wedge e_{{i'_{{n-k}}}},

где $e 1,…, en {\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ $e_ {1}, \ ldots, e_ {n}$ - базисные векторы. Действуя A с обеих сторон, получаем

[A - 1] I, J det A (e 1 ∧… ∧ en) = ± (ej 1) ∧… ∧ (ejk) ∧ ( A ei 1 ′) ∧… ∧ (A ein - k ′) = ± [A] J ′, I ′ (e 1 ∧… ∧ en). {\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} \ det \ mathbf {A} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (e_ { j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (e_ {j_ {k}}) \ wedge (\ mathbf {A} e_ {i '_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A } e_ {i '_ {nk}}) = \ pm [\ mathbf {A}] _ {J', I '} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}).}

[{\mathbf A}^{{-1}}]_{{I,J}}\det {\mathbf A}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{{j_{1}}})\wedge \ldots \wedge (e_{{j_{k}}})\wedge ({\mathbf A}e_{{i'_{1}}})\wedge \ldots \wedge ({\mathbf A}e_{{i'_{{n-k}}}})=\pm [{\mathbf A}]_{{J',I'}}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).

Знак можно вычислить следующим образом: $(- 1) ∑ s = 1 kis - ∑ s = 1 kjs {\ displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {s = 1} ^ {k} i_ {s } - \ sum _ {s = 1} ^ {k} j_ {s}}}$ $(-1) ^ {{\ sum _ {{s = 1}} ^ {{k}} i_ {s} - \ sum _ {{s = 1}} ^ {{k}} j_ {s}}}$ , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J.

Другие приложения

Для матрицы m × n с вещественными записями (или записями из любого другого поля ) и rank r, тогда существует по крайней мере один ненулевой минор r × r, в то время как все более крупные миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A - это матрица m × n, I - подмножество из {1,..., m} с k элементами, а J - подмножество {1,..., n} с k элементами, то мы пишем [A]I, J для k × k минор A который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J.

Если I = J, то [A]I, J называется основным второстепенным.
Если матрица, соответствующая главному минору, является квадратичной верхней левой частью большей матрицы (т. е. состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k), тогда главный минор называется ведущим главным минором (порядка k) или угловой (основной) минор (порядка k). Для квадратной матрицы размера n × n существует n ведущих основных миноров.
Базовый минор матрицы - это определитель квадратной подматрицы максимального размера с отличным от нуля определителем.
Для Эрмитовы матрицы, ведущие главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности, а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности. Подробнее см. критерий Сильвестра.

И формула для обычного умножения матриц, и формула Коши – Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A - матрица размера m × n, B - матрица размера n × p, I - подмножество из {1,..., m} с k элементами, а J - подмножество {1,..., p} с k элементами. Тогда

[AB] I, J = ∑ K [A] ​​I, K [B] K, J {\ displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ sum _ {K} [\ mathbf {A}] _ {I, K} [\ mathbf {B}] _ {K, J} \,}

[\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ sum_ {K} [\ mathbf {A}] _ {I, K} [\ mathbf {B}] _ {K, J} \,

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n} с k элементы. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическое алгебраическое рассмотрение миноров дается в полилинейной алгебре с использованием произведения клина : k-миноров матрицы являются элементами k-й карты внешней мощности.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k за раз, миноры k × k появляются как компоненты результирующих k-векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

(1 4 3 - 1 2 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 4 \\ 3 \! \! - 1 \\ 2 1 \\\ end { pmatrix}}}

\ begin {pmatrix} 1 4 \\ 3 \! \! - 1 \\ 2 1 \\ \ end {pmatrix}

равны −13 (из первых двух строк), −7 (из первой и последней строки) и 5 (из последних двух строк). Теперь рассмотрим произведение клина

(e 1 + 3 e 2 + 2 e 3) ∧ (4 e 1 - e 2 + e 3) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf { e} _ {2} +2 \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge (4 \ mathbf {e} _ {1} - \ mathbf {e} _ {2} + \ mathbf {e} _ {3 })}

(\ mathbf {e} _1 + 3 \ mathbf {e} _2 +2 \ mathbf {e} _3) \ клин (4 \ mathbf {e} _1- \ mathbf {e} _2 + \ mathbf {e} _3)

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства продукта клина, а именно то, что оно билинейно и чередуется,

ei ∧ ei = 0, {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf { e} _ {i} = 0,}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf {e} _ {i} = 0,}

и антисимметричный,

ei ∧ ej = - ej ∧ ei, {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf {e} _ {j} = - \ mathbf {e} _ {j} \ wedge \ mathbf {e} _ {i},}

\ mathbf {e} _i \ wedge \ mathbf {e} _j = - \ mathbf {e} _j \ wedge \ mathbf {e} _i,

мы можем упростить это выражение до

- 13 e 1 ∧ e 2 - 7 e 1 ∧ е 3 + 5 е 2 ∧ е 3 {\ displaystyle -13 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} -7 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} +5 \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}}

-13 \ mathbf {e} _1 \ wedge \ mathbf {e} _2 -7 \ mathbf {e} _1 \ wedge \ mathbf {e} _3 +5 \ mathbf {e} _2 \ wedge \ mathbf {e} _3

где коэффициенты совпадают с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о разных обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин «добавка». Более того, он обозначается как Aijи определяется так же, как кофактор:

A ij = (- 1) i + j M ij {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} \ mathbf {M} _ {ij}}

\ mathbf {A} _ {ij} = (-1) ^ {i + j} \ mathbf {M} _ {ij}

Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:

M - 1 = 1 det (M) [A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A N 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A nn] {\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (M)} } {\ begin {bmatrix} A_ {11} A_ {21} \ cdots A_ {n1} \\ A_ {12} A_ {22} \ cdots A_ {n2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ A_ {1n} A_ {2n} \ cdots A_ {nn} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (M)}} {\ begin {bmatrix} A_ {11} A_ {21} \ cdots A_ {n1} \\ A_ {12} A_ {22} \ cdots A_ {n2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ A_ {1n} A_ {2n} \ cdots A_ {nn} \ end {bmatrix}}}

Имейте в виду, что добавочный элемент не примыкающий или присоединенный. В современной терминологии «сопряженная» матрица чаще всего относится к соответствующему сопряженному оператору.

См. Также

Подматрица

Ссылки

Внешние ссылки

Лекция по линейной алгебре MIT о кофакторах в Google Video, из MIT OpenCourseWare
запись PlanetMath о кофакторах
Энциклопедия математики Springer, запись для младшего