Диаграмма Смита

Диаграмма Смита, изобретенная Филлипом Х. Смитом (1905–1987), и Т. Мизухаши, представляет собой графический калькулятор или номму, представляет для инженеров-электриков и электронщиков, специализирующихся на радиотехнике (RF), чтобы помочь в решении проблем с линии передачи и , соответствующих цепям. Диаграмму Смита можно использовать для отображения нескольких параметров, включая импедансы, адмиттансы, коэффициенты отражения, $S\; nn\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{nn\}\; \backslash ,\; \}$параметры рассеяния, коэффициент шума круги, контуры усиления и области для безусловной устойчивости, включая анализ механических колебаний. Диаграмма Смита наиболее часто используется в области единого радиуса или внутри нее. Однакошаяся часть остается математически релевантной, поскольку используется, например, в конструкции генератора и в аналитической стабильности. Использование бумажных диаграмм. Смита для решения сложной математики. 148>информация. Таким образом, большая часть программного обеспечения для анализа ВЧ-цепей включает в себя варианты диаграммы Смита для отображения результатов, и все, кроме простейших для измерения импеданса, могут отображать результаты измерений на дисплее диаграммы Смита.

Диаграмма Смита (без отображения данных)

• 1 Обзор
• 2 Математическая основа
  • 2.1 Фактические и нормированные импеданс и проводимость
  • 2.2 Нормированная диаграмма Смита импеданса
    • 2.2.1 Изменение комплексного коэффициента отражения в зависимости от положения вдоль линии
    • 2.2.2 Изменение нормированного импеданса в зависимости от положения вдоль линии
    • 2.2.3 Области диаграммы Z Смит
    • 2.2.4 Круги постоянного нормированного сопротивления и нормированного реактивного сопротивления
  • 2.3 Y-диаграмма Смита
  • 2.4 Примерные примеры
  • 2.5 Работа как с диаграммой Z Смита, так и с диаграммами Y Смита
  • 2.6 Выбор типа диаграммы Смита и типа компонента
• 3 Использование диаграммы Смита для решения проблем сопряженного соответствия распределенными компонентами
• 4 Использование диаграмм Смита для анализа схематических элементов
• 5 Трехмерная диаграмма Смита
• 6 Ссылки
• 7 Дополните льная литература
• 8 Внешние ссылки

A анализатор цепей (HP 8720A) с диаграммой Смита.

Диаграмма Смита построена на плоскости сложного коэффициента отражения в двух измерений и масштабируется в нормализованном импедансе (наиболее распространенном), нормализованная провод или оба, используя разные цвета, чтобы различать их. Их часто называют диаграммами Смита Z, Y и YZ соответственно. Нормализованное масштабирование позволяет использовать диаграмму Смита для задач, связанных с любыми характеристиками или полным сопротивлением системы, имеющей главную точку диаграммы. Наиболее часто используемое нормализационное сопротивление составляет 50 Ом. Как только ответ получен с помощью графических построений, описанных ниже, можно легко преобразовать между нормализованным импедансом (или нормализованной проводимостью) и соответствующим ненормализованным путем путем умножения на характеристический импеданс (проводимость). Коэффициенты отражения можно прочитать прямо из диаграммы, поскольку они являются безразмерными.

Диаграмма Смита имеет шкалу по окружности или периферии, которая градуируется по длинам волн и градусам. Шкала длинных волн используется в задаче распределенного компонента и представляет собой расстояние, измеренное вдоль линии передачи, соединенной между генератором или нагрузкой до рассматриваемой точки. Шкала в градусах представляет угол отражения напряжения в этой точке. Диаграмма Смита также заговор на тему сопоставления и анализа сосредоточенных элементов.

Использование диаграммы Смита и интерпретация результатов, полученных с помощью ее, хорошего понимания теории цепей переменного тока и теории линий передачи, которые используются для инженеров радиотехники.

Импедансы и проводимые соединения меняются с использованием диаграммы, могут быть решены только вручную с использованием одной частоты за раз, результат точки . Этого часто бывает достаточно для узкополосных приложений (обычно от 5% до 10% полосы пропускания ), но для более широких полос частот обычно необходимо применять методы диаграммы Смита на более чем одной схеме. в рабочем диапазоне частот. При условии, что частоты достаточно близки, полученные точки диаграммы Смита могут быть соединены прямыми линиями для создания локуса .

Геометрическое место точек на диаграмме Смита, покрывающего диапазона частот, можно использовать для визуального представления:

• насколько емкостной или насколько индуктивной нагрузкой в ​​диапазоне частот
• насколько сложно согласование может быть на разных частотах
• насколько хорошо согласовано конкретным компонентом.

Точность диаграммы Смита снижается для задач, связанных с большим множеством импедансов или проводимых сопротивлений, хотя масштабирование может быть увеличено для отдельных областей.

Базовое использование диаграммы Смита импеданса. Волна проходит по линии передачи с характерным импедансом Z0, завершается нагрузкой с импедансом ZLи нормализованным импедансом z = Z L/Z0. Имеется отражение сигнала с коэффициентом Γ. Каждая точка на диаграмме Смита представляет как значение z (внизу слева), так и соответствующее значение Γ (справа), связанным с соответствующим z = (1 + Γ) / (1 - Γ).

Фактическое и нормализованные полное и полное сопротивление

Линия передачи с характерным сопротивлением $Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$может повсеместно считаться имеющей характеристику допуск из $Y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$, где

$Y\; 0\; =\; 1\; Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{Z\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$

Любой импеданс, $ZT\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \backslash ,\}$, выраженный в омах, можно нормализовать путем его деления с использованием характеристик импедансом, поэтому нормализованный импеданс со строчной буквы z T задается как

$z\; T\; =\; ZTZ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\; \{Z\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$

Аналогично, для нормализованной проводимости

$y\; T\; =\; YTY\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\; \{Y\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$

единица СИ для импеданса - это Ом с символом верхнего регистра греческой буквы омега (Ом) и единицей СИ для полной проводимости сименс с символом заглавной буквы S. Нормализованный импеданс и нормализованная проводимость безразмерны. Фактические импедансы и допуски должны быть нормализованы перед использованием на диаграмме Смита. Как только результат получен, его можно ненормализовать, чтобы получить фактический результат.

Таблица Смита с нормализованным импедансом

Линии передачи, завершенные разомкнутой цепью (вверху) и коротким замыканием (внизу). Импульс идеально отражается от обоих оконечных устройств, но знак отраженного напряжения в обоих противоположен. Черные точки показывают электроны, а стрелки показывают электрическое поле.

Используя теорию линий передачи, если линия передачи заканчивается импедансом ($ZT\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \backslash ,\}$), который отличается от своего характеристического сопротивления ($Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$), стоячей волны будет сформирован в строке, состав результирующий как для инцидента, так и для f и далее ($VF\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; \backslash ,\}$) и r отраженные или перевернутые ($VR\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; \backslash ,\}$) волны. Использование комплексной экспоненциальной записи:

$VF\; =\; A\; exp\; exp\; (j\; \omega \; t)\; exp\; \; (+\; \gamma \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; A\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; omega\; t)\; \backslash \; exp\; (+\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; ~\; \backslash ,\}$и

$VR\; =\; B\; exp\; \; (j\; \omega \; t)\; exp\; \; (-\; \gamma \; \ell )\; \{\; \backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; =\; B\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; omega\; t)\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$

где

$exp\; \; (j\; \omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; omega\; t)\; \backslash ,\}$- это временная часть волны

$exp\; \; (\pm \; \gamma \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pm\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$- пространственная часть волны, а

$\omega \; =\; 2\; \pi \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; f\; \backslash ,\}$где

$\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash ,\}$- угловая частота в радианах на секунду (рад / с)

$f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash ,\}$- частота в герцах (Гц)

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash ,\}$- время в секундах

$A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash ,\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash ,\}$являются констант ами

$\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}$- это расстояние, измеренное вдоль линии передачи нагрузки к генератору в метрах (м)

Также

$\gamma \; =\; \alpha \; +\; j\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash \; alpha\; +\; j\; \backslash \; beta\; \backslash ,\}$- константа распространения, имеющая единицу измерения 1 / м

, где

$\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа\; \backslash ,\}$- постоянная затухания в неперс на метр (Нп / м)

$\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash ,\}$- фазовая постоянная в радианах на метр (рад / м)

Диаграмма Смита используется с одной простиранием ($\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$) за раз и только для одного момента ($t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$) за один раз, поэтому временная часть фазы ($exp\; \; (j\; \omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; omega\; t)\; \backslash ,\}$) исправлено. Все члены фактически умножаются на это, чтобы получить мгновенную фазу, но обычно и подразумевается, что ее опускают. Следовательно,

$VF\; =\; A\; exp\; \; (+\; \gamma \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; =\; A\; \backslash \; exp\; (+\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$и

$VR\; =\; B\; ехр\; \; (-\; \gamma \; \ell )\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; =\; B\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash ,\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash ,\}$- соответственно амплитуды прямого и обратного напряжения на нагрузке.

Изменение комплексного коэффициента отражения в зависимости от положения вдоль линии

показывает на нагрузку на длине $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}$линии передачи без потерь, импеданс изменяется по мере увеличения $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}$в соответствии с синим кружком. (Этот импедансенного коэффициентом отражения $V,\; отражающего\; /\; V,\; падающего\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{disabled\}\}\; /\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{инцидент\}\}\}$.) Синий круг, с центром в диаграмме Смита импеданса, иногда называется кругом КСВ (сокращение от постоянного коэффициента стоячей волны волны ).

Комплексный коэффициент отражения волны напряжения $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,\}$равен определяется как отношение отраженной волны к падающей (или прямой). Следовательно,

$\Gamma \; =\; VRVF\; =\; B\; exp\; \; (-\; \gamma \; \ell )\; A\; exp\; \; (+\; \gamma \; \ell )\; =\; C\; exp\; \; (-\; 2\; \gamma \; =)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\}\; \{V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\}\; \{A\; \backslash \; exp\; (+\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\}\}\; =\; C\; \backslash \; exp\; (-2\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$

где C также постоянная.

Для однородной линии передачи (в которой $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\}$является постоянным), комплексный коэффициент отражения стоячей волны изменяется в зависимости от положения на линии. рями ($\alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; \backslash ,\}$не равно нулю) это представлено на диаграмме Смита спиральным путем. Однако в большинстве задач диаграмм Смита потери можно считать незначительными ($\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\; \backslash ,\}$), и задача их решения значительно упрощается. Следовательно, для случая без выражения выражение для комплексного коэффициента отражения становится

$\Gamma \; =\; \Gamma \; L\; exp\; \; (-\; 2\; j\; \beta \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash \; exp\; (-\; 2j\; \backslash \; бета\; \backslash \; ell)\; \backslash ,\}$

где $\Gamma \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash ,\}$- коэффициент отражения при нагрузке, а $\ell \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash ,\}$- длина линии от нагрузки до места, где измеряется коэффициент отражения. Фазовая постоянная $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash ,\}$также может быть записана как

$\beta \; =\; 2\; \pi \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; лямбда\; \}\}\; \backslash ,\}$

где $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$- длина волны в линии передачи на тестовой частоте.

Следовательно,

$\Gamma \; =\; \Gamma \; L\; exp\; \; (-\; 4\; j\; \pi \; \lambda \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; -4j\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; ell\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

Это уравнение показывает, что для стоячей волны комплексный коэффициент отражения и импеданс повторяются на каждой длине волны вдоль линии передачи. Комплексный коэффициент отражения обычно называют просто коэффициентом отражения. Внешняя круговая шкала диаграммы Смита представляет расстояние от генератора до нагрузки, масштабируется в длинух волн, и поэтому масштабируется от нуля до 0,50.

Изменение нормализованного импеданса в зависимости от положения вдоль линии

Если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash ,\}$и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash ,\; \}$- напряжение и ток, входящий в оконечную нагрузку на конце линии передачи, соответственно, тогда

$VF\; +\; VR\; =\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; +\; V\_\; \{\backslash \; text\; \{\; R\}\}\; =\; V\; \backslash ,\}$и

$VF\; -\; VR\; =\; Z\; 0\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\; -\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; =\; Z\_\; \{\; 0\}\; I\; \backslash ,\}$.

Разделив эти уравнения и подставив оба коэффициента отражения по напряжению

$\Gamma \; =\; VRVF\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\}\; \{V\_\; \{\backslash \; text\; \{F\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

и нормализованное сопротивление оконечной нагрузки, представленное строчной буквой z, нижний индекс T

$z\; T\; =\; VZ\; 0\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{Z\_\; \{0\}\; I\}\}\; \backslash ,\}$

дает результат:

$z\; T\; =\; 1\; +\; \Gamma \; 1\; -\; \Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1+\; \backslash \; Gamma\}\; \{1-\; \backslash \; Gamma\}\}\; \backslash ,\}$.

В качестве альтернативы, с точки зрения коэффициента отражения ия

$\Gamma \; =\; Z\; T\; -\; 1\; z\; T\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; fr\; ac\; \{z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; -\; 1\}\; \{z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; +\; 1\}\; \}\; \backslash ,\}$

Это уравнения, которые используются для построения диаграмм Z Смита. С математической точки зрения $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,\}$и $z\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \backslash ,\}$связаны через Преобразование Мёбиуса.

И $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,\}$, и $z\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \backslash ,\}$выражаются в комплексных числах без каких-либо единиц. Они оба изменяются с помощью, поэтому для любого конкретного параметра частоты.

$\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash ,\}$может быть выражено в величине и стороне на полярной диаграмме. Любой фактический коэффициент отражения должен иметь меньшую или равную единицу, поэтому на испытательной частоте он может быть выражен внутри круга с радиусом единицы. Диаграмма Смита фактически построена на такой полярной диаграмме. Масштабирование диаграммы Смита спроектировано таким образом, что коэффициент отражения можно преобразовать в нормализованный импеданс или наоборот. Используя диаграмму Смита, нормализованный импеданс может быть получен с помощью заметной точки, представляющей коэффициент отражения, с использованием диаграммы Смита как полярной диаграммы и последующего ее значения непосредственно с использованием масштабной диаграммы Диаграммы Смита. Этот метод является графической альтернативой подстановке значений в уравнении.

Подставляя выражение для изменения коэффициента отражения вдоль несогласованной линии передачи без потерь

$\Gamma \; =\; B\; exp\; \; (-\; \gamma \; \ell )\; A\; exp\; \; (\gamma \; \ell )\; =\; B\; exp\; \; (-\; j\; \beta \; \ell )\; A\; ехр\; \; (J\; \beta \; \ell )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\}\; \{A\; \backslash \; exp\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; ell)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\; \backslash \; exp\; (-j\; \backslash \; beta\; \backslash \; ell)\}\; \{A\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; beta\; \backslash \; ell)\}\}\; \backslash ,\}$

для случая без потерь в уравнении для нормированного импеданса через коэффициент отражения

$z\; T\; =\; 1\; +\; \Gamma \; 1\; -\; \Gamma \; \{\; \backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; Gamma\}\; \{1-\; \backslash \; Gamma\}\}\; \backslash ,\}$.

и используя формулу Эйлера

$ехр\; \; (j\; \theta )\; =\; соз\; \; \theta \; +\; j\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (j\; \backslash \; theta)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; j\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

дает версию импеданса Уравнение линии передачи для случая без потерь:

$Z\; в\; знак\; равно\; Z\; 0\; ZL\; +\; J\; Z\; 0\; загар\; \; (\beta \; \ell )\; Z\; 0\; +\; j\; ZL\; загар\; \; (\beta \; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{in\}\}\; =\; Z\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; +\; jZ\_\; \{0\}\; \backslash \; tan\; (\backslash \; beta\; \backslash \; ell)\}\; \{Z\_\; \{0\}\; +\; jZ\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash \; tan\; (\backslash \; бета\; \backslash \; ell)\}\}\; \backslash ,\}$

где $Z\; in\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{in\}\}\; \backslash ,\}$- это импеданс, «видимый» на входе линии передачи без потерь длиной $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$, оканчивающейся импедансом $ZL\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash ,\}$

Аналогичным образом получены версии уравнения линии передачи для случая без потерь проводимости и для случаев полного сопротивления и потерь проводимости.

Графический эквивалент использования уравнений передачи на диаграмме Смита заключается в нормализации $ZL\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash ,\}$для построения результирующего точки на диаграмме Смита Z и провести через эту точку круг с центром диаграммы Смита. Путь по дуге окружности показывает, как изменяется импеданс движения при линии передачи. В этом случае необходимо использовать масштабирование по окружности (по длине волны), помня, что это длина волны в линии передачи, которая может отличаться от длины волны в свободном пространстве.

Области Z-диаграммы Смита

Если полярная диаграмма отображается в декартовой системе координат, принято измерять углы относительно положительной оси x, используя направление против часовой стрелки для положительных углов. Величина комплексного числа - это длина прямой линии, проведенной от исходной точки до представляющей ее точки. В диаграмме Смита используется то же соглашение, что в плоскости нормализованного импеданса положительная ось x проходит от центра диаграммы Смита в точке $z\; T\; =\; 1\; \pm \; j\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; 1\; \backslash \; pm\; j0\; \backslash ,\}$в точку $z\; T\; =\; \infty \; \pm \; j\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; infty\; \backslash \; pm\; j\; \backslash \; infty\; \backslash ,\}$. Область над осью x представляет собой индуктивные импедансы (положительные мнимые части), а область под осью x представляет собой емкостные импедансы (отрицательные мнимые части).

Если окончание идеально согласовано, коэффициент отражения будет равен нулю, что фактически будет представлено кружком нулевого радиуса или фактически точкой в ​​центре диаграммы Смита. Если завершение представляет собой полностью разомкнутую цепь или короткое замыкание, величина коэффициента отражения будет равна единице, вся мощность будет отражаться, и точка будет лежать в некоторой точке на окружности единичной окружности.

Круги постоянного нормированного сопротивления и постоянного нормализованного реактивного сопротивления

Диаграмма Смита для нормализованного импеданса состоит из двух семейств кругов: кругов постоянного нормализованного сопротивления и кругов постоянного нормализованного реактивного сопротивления. В плоскости комплексных коэффициентов отражения диаграмма Смита занимает круг единичного радиуса с центром в начале координат. Поэтому в декартовых координатах круг будет проходить через точки (+1,0) и (−1,0) на оси x и точки (0, + 1) и (0, −1) на оси y..

Поскольку и $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash ,\}$являются комплексными числами, в общем случае они могутзаписывается как:

$z\; =\; a\; +\; jb\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; a\; +\; jb\; \backslash ,\}$

$\Gamma \; =\; c\; +\; jd\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; c\; +\; jd\; \backslash ,\}$

с a, b, c и d действительные числа.

Подставив их в уравнение, связывающее нормированный импеданс и комплексный коэффициент отражения:

$\Gamma \; =\; z\; -\; 1\; z\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\}\}\; \backslash ,\}$

дает следующий результат:

$\Gamma \; =\; c\; +\; jd\; =\; [a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; 1\; (a\; +\; 1)\; 2\; +\; b\; 2]\; +\; j\; [2\; b\; (a\; +\; 1)\; 2\; +\; б\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; c\; +\; jd\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{(a\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; right]\; +\; j\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2b\}\; \{(a\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$.

Это уравнение приведенного, как комплексный коэффициент отражения сговоримся о взаимопонимании.

Диаграмма Смита по оси Y

Диаграмма Смита по оси Y строится аналогично диаграмме Смита по оси Z случайные диаграммы, но выраженные значения коэффициента отражения напряжения через нормированную проводимость вместо нормированного импеданса. Нормализованная проводимость y T является обратной величиной нормализованного импеданса z T, поэтому

$y\; T\; =\; 1\; z\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

Следовательно:

$y\; T\; =\; 1\; -\; \Gamma \; 1\; +\; \Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1-\; \backslash \; Gamma\}\; \{1+\; \backslash \; Gamma\}\}\; \backslash ,\}$

и

$\Gamma \; =\; 1\; -\; y\; T\; 1\; +\; y\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\; \{1\; +\; y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

Диаграмма Y Смита выглядит как нормализованный тип импеданса, но с графическим масштабированием, повернутым на 180 °, а числовое масштабирование остается неизменным.

Область над осью x представляет собой емкостные сопротивления, а область под осью x представляет собой индуктивные проводимости. Емкостные проводимости имеют положительные мнимые части, а индуктивные проводимости имеют отрицательные мнимые части.

Опять же, если окончание идеально согласовано, коэффициент отражения будет равен нулю, представленный «кругом» с нулевым радиусом или точкой в ​​центре диаграммы Смита. Если завершение было полностью разомкнутым или коротким замыканием, величина коэффициента отражения напряжения была бы вся мощность отражалась бы, и точка лежала бы в некоторой точке на окружности единичной окружности диаграммы Смита.

Практические примеры

Примеры точек, нанесенных на диаграмму Смита с нормализованным сопротивлением

Точка с величиной коэффициента отражения 0,63 и углом 60 °, представленная в полярной форме как $0,63\; \angle \; 60\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,63\; \backslash \; angle\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$, отображается как точка P 1 на диаграмме Смита. Для построения графика можно использовать шкалу углов по окружности (коэффициент отражения), чтобы найти градуировку $\angle \; 60\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; angle\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$и линейку для рисования линия, проходящая через это и центр диаграммы Смита. Длина линии будет масштабирована до P 1, если радиус диаграммы Смита равен единице. Например, если фактический радиус, измеренный от бумаги, составляющий 100 мм, длина OP 1 была бы 63 мм.

В таблице представлены некоторые аналогичные примерные точки, нанесенные на диаграмму Z Смита. Для каждого коэффициента отражения дан в полярной форме вместе с соответствующим нормированным импедансом в прямоугольной форме. Преобразование можно прочитать непосредственно из диаграммы Смита или путем подстановки в уравнение.

Некоторые примеры точек, нанесенных на диаграмму Смита нормализованного импеданса

Идентификация точки	Коэффициент отражения (полярная форма)	Нормализованный импеданс (прямоугольная форма)
P1(Индуктивный)	$0,63\; \angle \; 60\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; 0.63\; \backslash \; angle\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$	$0.80\; +\; j\; 1.40\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.80\; +\; j1.40\; \backslash ,\}$
P2(индуктивный)	$0,\; 73\; \angle \; 125\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,73\; \backslash \; angle\; 125\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$	$0,20\; +\; j\; 0,50\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,20\; +\; j0,50\; \backslash ,\}$
P3( емкостный)	$0,44\; \angle \; -\; 116\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; 0.44\; \backslash \; angle\; -116\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$	$0.50\; -\; j\; 0.50\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.50-j0.50\; \backslash ,\}$

Работа как с диаграммой Z Смита, так и с диаграммой Y Смита

В ВЧ схемах и задачах согласования иногда удобнее работать с проводимостью (представляющей проводимость и проводимость ), а иногда удобнее работать с импедансом (представляющим сопротивление и реактивное сопротивление ). Решение типичных проблем согласования часто требует нескольких изменений между обоими типами диаграмм Смита с использованием нормализованного импеданса для элементов серии и нормализованных проводимостей для параллельных элементов. Для этого можно использовать диаграмму Смита с двойным (нормализованным) импедансом и проводимостью. В качестве альтернативы можно использовать один тип и при необходимости преобразовать масштабирование в другой. Чтобы перейти от нормализованного импеданса к нормализованной проводимости или наоборот, точка, представляющая значение рассматриваемого коэффициента отражения, перемещается точно на 180 градусов с тем же радиусом. Например, точка P1 в примере, представляющий коэффициент отражения $0,63\; \angle \; 60\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; 0.63\; \backslash \; angle\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash ,\}$, имеет нормированный импеданс $z\; п\; знак\; равно\; 0,80\; +\; j\; 1,40\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{P\}\; =\; 0,80\; +\; j1,40\; \backslash ,\}$. Чтобы графически изменить это на эквивалентную нормированной проводимости, скажем Q1, линейкой проводится линия от P1 через центр диаграммы Смита к Q1, равный радиус в противоположном направлении. Это эквивалентно перемещению точки по круговой траектории ровно на 180 градусов. Чтение значений из диаграммы Смита для Q1 с учетом того, что масштабирование теперь в нормированной проводимости, дает $y\; P\; =\; 0,30\; -\; j\; 0,54\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{P\}\; =\; 0,30-j0,54\; \backslash ,\; \}$. Выполнение вычислений

$y\; T\; =\; 1\; z\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

вручную подтвердит этот.

После выполнения преобразования из импеданса в полную проводимость масштабирование изменилось на нормализованную проводимость до тех пор, пока не будет выполнено более позднее преобразование обратно в нормализованное полное сопротивление.

В таблице показаны примеры нормированных импедансов и их эквивалентных нормированных проводимостей, полученные при повороте точки на 180 °. Опять же, их можно получить либо путем расчета, либо с использованием схемы Смита, как показано, путем преобразования между плоскостями нормализованного импеданса и нормализованной проводимости.

Значения коэффициента отражения как нормализованные импедансы и эквивалентные нормализованные полные сопротивления

Плоскость нормализованного импеданса	Плоскость нормализованной полной проводимости
P1($z\; =\; 0,80\; +\; j\; 1,40\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 0,\; 80\; +\; j1,40\; \backslash ,\}$)	Q1($y\; =\; 0,30\; -\; j\; 0,54\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 0,30-j0,54\; \backslash ,\}$)
P10($z\; =\; 0,10\; +\; j\; 0,22\; \{\; \backslash \; displaystyle\; z\; =\; 0,10\; +\; j0.22\; \backslash ,\}$)	Q10($y\; =\; 1,80\; -\; j\; 3,90\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 1,80-j3.90\; \backslash ,\}$)

Значения комплексного коэффициента отражения, нанесенные на диаграмму Смита с нормализованным импедансом, и их эквиваленты на диаграмме Смита с нормализованной проводимостью

типа диаграммы Смита и тип компонента

Выбор того, использовать ли диаграмму Смита Z или диаграмму Смита Y для любого конкретного вычисления, зависит от того, что более удобно. Последовательные и параллельные импедансы складываются, в то время как импедансы связаны и проводимости обратным уравнением. Если $Z\; TS\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TS\}\}\}$- эквивалентное сопротивление последовательному импедансу, а $Z\; TP\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TP\}\}\}$- эквивалентное сопротивление параллельных полных сопротивлений, тогда

$Z\; TS\; =\; Z\; 1\; +\; Z\; 2\; +\; Z\; 3\; +...\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{TS\}\}\; =\; Z\_\; \{1\}\; +\; Z\_\; \{2\}\; +\; Z\_\; \{3\}\; +...\; \backslash ,\}$

$1\; Z\; TP\; =\; 1\; Z\; 1\; +\; 1\; Z\; 2\; +\; 1\; Z\; 3+...\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TP\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\_\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\_\; \{3\}\}\}\; +...\; \backslash ,\}$

Для допусков верно обратное, то есть

$Y\; TP\; =\; Y\; 1\; +\; Y\; 2\; +\; Y\; 3\; +...\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TP\}\}\; =\; Y\_\; \{1\}\; +\; Y\_\; \{2\}\; +\; Y\_\; \{3\}\; +...\; \backslash ,\}$

$1\; Y\; TS\; =\; 1\; Y\; 1\; +\; 1\; Y\; 2\; +\; 1\; Y\; 3+...\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Y\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TS\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Y\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Y\_\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Y\_\; \{3\}\}\}\; +...\; \backslash ,\}$

Работа с обратными, особенно в комплексных числах, требует больше времени и подвержена ошибкам, чем использование линейного сложения. Поэтому, как правила большинства инженеров RF работают в плоскости, где поддерживается линейное сложение. В следующей таблице приведены комплексные действующие выражения для импеданса (действующего и нормализованного) для каждого из трех основных элементов пассивной схемы : сопротивления, индуктивности и емкости. Используя только сопротивление сопротивление (или показательную проводимость) и испытательную частоту, можно найти эквивалентную схему и наоборот.

Выражения для импеданса и адмиттанса. Нормализовано по импедансу Z 0 или адмиттансу Y 0

Тип элемента	Импеданс (Z или z) или реактивность (X или x)		Допуск (Y или y) или Susceptance (B или b)
	Реальный ($\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$)	Нормализованный (без единицы)	Реальный (S)	Нормализованное (без единицы измерения)
Сопротивление (R)	$Z\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; R\; \backslash ,\}$	$z\; =\; RZ\; 0\; =\; RY\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{Z\_\; \{0\}\}\}\; =\; RY\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$	$Y\; =\; G\; =\; 1\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; G\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\}\}\; \backslash ,\}$	$y\; =\; g\; =\; 1\; RY\; 0\; =\; Z\; 0\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{RY\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{0\}\}\; \{R\}\}\; \backslash ,\}$
Индуктивность (L)	$Z\; =\; j\; XL\; =\; j\; \omega \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; jX\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; =\; j\; \backslash \; omega\; L\; \backslash ,\}$	$z\; =\; jx\; L\; =\; j\; \omega \; LZ\; 0\; знак\; равно\; j\; \omega \; LY\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; jx\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; =\; j\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; L\}\; \{Z\_\; \{0\}\}\}\; =\; j\; \backslash \; omega\; LY\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$	$Y\; =\; -\; j\; BL\; =\; -\; j\; \omega \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; -jB\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; L\}\}\}$	$y\; =\; -\; jb\; L\; =\; -\; j\; \omega \; LY\; 0\; =\; -\; j\; Z\; 0\; \omega \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -jb\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; LY\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-jZ\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\; L\}\}\; \backslash ,\}$
Емкость (C)	$Z\; =\; -\; j\; XC\; =\; -\; j\; \omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; -jX\; \_\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; C\}\}\; \backslash ,\}$	$z\; =\; -\; jx\; C\; =\; -\; j\; \omega \; CZ\; 0\; =\; -\; j\; Y\; 0\; \omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -jx\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; CZ\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; -jY\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\; C\}\}\; \backslash ,\}$	$Y\; =\; j\; BC\; =\; j\; \omega \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; jB\; \_\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; =\; j\; \backslash \; omega\; C\; \backslash ,\}$	$y\; =\; jb\; C\; =\; j\; \omega \; CY\; 0\; =\; j\; \omega \; CZ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; jb\; \_\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; =\; j\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; C\}\; \{Y\_\; \{0\}\}\}\; =\; j\; \backslash \; omega\; CZ\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$

Распределенное согласование становится возможным и иногда требуется, когда физический размер согласующих компонентов размером примерно 5% длины волны на рабочей системе. Здесь электрическое поведение многих компонентов становится довольно непредсказуемым. Это происходит в микроволновых цепях, и для высокой мощности требуются большие компоненты в коротковолновом диапазоне, FM- и телевизионномании,

Распределенные компоненты должны влиять на коэффициент отражения и импеданс движения вдоль линии передачи для использования внешней окружности шкала. диаграммы Смита, откалиброванная по длинам волн.

В следующем примере, как линия передачи с произвольной нагрузкой может быть согласована на одной последовательности с последовательным или параллельным реактивным компонентом, в каждом случае подключенным в определенных местах.

Построение диаграммы Смита для некоторого согласования распределенных линий передачи

Предположим, что линия передачи без потерь с разнесением по воздуху с характеристическим сопротивлением $Z\; 0\; =\; 50\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; =\; 50\; \backslash \; \backslash \; Omega\}$, работающий на частоте 800 МГц, оканчивается цепью, состоящей из резистора 17,5 $Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, включенного последовательно с 6,5 наногенри (6,5 нГн) катушка индуктивности. Как можно сопоставить линию?

Из приведенной выше таблицы реактивное сопротивление катушки индуктивности, составляющей часть оконечной нагрузки на частоте 800 МГц, составляет

$ZL\; =\; j\; \omega \; L\; =\; j\; 2\; \pi \; f\; L\; =\; j\; 32,7\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{L\}\; =\; j\; \backslash \; omega\; L\; =\; j2\; \backslash \; pi\; fL\; =\; j32.7\; \backslash \; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$

, поэтому импеданс комбинации ($ZT\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{T\}\}$) равен задается

$ZT\; =\; 17,5\; +\; j\; 32,7\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{T\}\; =\; 17,5\; +\; j32.7\; \backslash \; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$

и нормализованным импедансом ($z\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{T\; \}\}$) равно

$z\; T\; =\; ZTZ\; 0\; =\; 0,35\; +\; j\; 0,65\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{T\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{T\}\}\; \{Z\_\; \{0\}\}\}\; =\; 0,35+\; j0.65\; \backslash ,\}$

Это нанесено на диаграмму Z Смита в точке P 20. Линия OP 20 продолжается до шкалы длин волн, где она пересекает точку $L\; 1\; =\; 0,098\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\; =\; 0,098\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$. Поскольку линия передачи не имеет потерь, круг с центром в центре диаграммы Смита проведен через точку P 20, чтобы представить путь коэффициента отражения с постоянной величиной из-за завершения. В точке P 21 круг пересекается с единичным кругом постоянного нормированного сопротивления в точке

$z\; P\; 21\; =\; 1,00\; +\; j\; 1,52\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{P21\}\; =\; 1,00\; +\; j1,52\; \backslash ,\}$.

Продолжение линии OP 21 пересекает шкалу длин волн в $L\; 2\; =\; 0,177\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; =\; 0,177\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$, поэтому расстояние от конца до этой точки на линии определяется как

$L\; 2\; -\; L\; 1\; =\; 0,177\; \lambda \; -\; 0,098\; \lambda \; =\; 0,079\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; -L\_\; \{1\}\; =\; 0,177\; \backslash \; lambda\; -0.098\; \backslash \; лямбда\; =\; 0,079\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$

Так как линия передачи разнесена по воздуху, длина волны 800 МГц в линии такая же, как и в свободном пространстве, и определяется как

$\lambda \; =\; cf\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; лямбда\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{f\}\}\; \backslash ,\}$

где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash ,\}$- скорость электромагнитного излучения в свободном пространстве и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash ,\}$- частота в герцах. Результат дает $\lambda \; =\; 375\; м\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 375\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{mm\}\; \backslash ,\}$, что делает положение совпадающего компонента 29,6 мм от нагрузки.

Сопряженное соответствие для импеданса в P 21($zmatch\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{match\}\; \backslash ,\}$) равно

$zmatch\; =\; -\; j\; (1.52),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{\; match\}\; =\; -\; j\; (1.52),\; \backslash !\}$

Диаграмма Смита все еще находится в плоскости нормализованного импеданса, из таблицы выше последовательный $C\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; \backslash ,\}$требуется, где

$zmatch\; =\; -\; j\; 1.52\; =\; -\; j\; \omega \; C\; m\; Z\; 0\; =\; -\; j\; 2\; \pi \; f\; C\; m\; Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{match\}\; =\; -\; j1.52\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\; \}\; \{\backslash \; omega\; C\_\; \{m\}\; Z\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{2\; \backslash \; pi\; fC\_\; \{m\}\; Z\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$

Переставив, мы получаем

$C\; м\; знак\; равно\; 1\; (1,52)\; \omega \; Z\; 0\; знак\; равно\; 1\; (1,52)\; (2\; \pi \; е)\; Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1.52)\; \backslash \; omega\; Z\_\; \{0\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1.52)\; (2\; \backslash \; pi\; f)\; Z\_\; \{0\}\}\}\}$.

Замена известных значений дает

$C\; m\; =\; 2,6\; p\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; =\; 2.6\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{pF\}\; \backslash ,\}$

Для согласования оконечной нагрузки на частоте 800 МГц последовательный конденсатор 2,6 пФ должен быть включен последовательно с линией передачи на расстоянии 29,6 мм от оконечной нагрузки.

Альтернативное согласование шунта можно рассчитать после преобразования диаграммы Смита из нормализованного импеданса в нормализованную проводимость. Точка Q 20 эквивалентна P 20, но выражена как нормализованная проводимость. Считывая масштаб диаграммы Смита, помня, что теперь это нормализованная проводимость, получаем

$y\; Q\; 20\; =\; 0,65\; -\; j\; 1,20\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{Q20\}\; =\; 0,65-j1.20\; \backslash ,\}$

(Фактически это фактически не используется). Однако продолжение линии OQ 20 до шкалы волн дает $L\; 3\; =\; 0,152\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{3\}\; =\; 0,152\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$. Самая ранняя точка, в которой может быть введено шунтирующее сопряженное совпадение, двигаясь к генератору, будет в Q 21, той же позиции, что и предыдущий P 21, но на этот раз представляющая собой нормализованная проводимость, определяемая как

$y\; Q\; 21\; =\; 1,00\; +\; j\; 1,52\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{Q21\}\; =\; 1,00\; +\; j1.52\; \backslash ,\}$.

Расстояние вдоль линии передачи в данном случае составляет

$L\; 2\; +\; L\; 3\; =\; 0,177\; \lambda \; +\; 0,152\; \lambda \; =\; 0,329\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; +\; L\_\; \{3\}\; =\; 0,177\; \backslash \; lambda\; +0,152\; \backslash \; lambda\; =\; 0.\; 329\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$

, который преобразуется в 123 мм.

Компонент сопряженного соответствия должен иметь нормализованную проводимость ($ymatch\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{match\}\}$)

$ymatch\; =\; -\; j\; 1.52\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{match\}\; =\; -\; j1.52\; \backslash ,\}$.

Из таблицы можно увидеть, что для отрицательной полной проводимости индуктор, подключенный линии передачи. Если его значение равно $L\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m\}\; \backslash ,\}$, то

$-\; j\; 1.52\; =\; -\; j\; \omega \; L\; m\; Y\; 0\; =\; -\; j\; Z\; 0\; 2\; \pi \; f\; L\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; -j1.52\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; L\_\; \{m\}\; Y\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-jZ\_\; \{0\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; fL\_\; \{m\}\}\}\; \backslash ,\}$

Это дает результат

$L\; m\; =\; 6.5\; n\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{m\}\; =\; 6.5\; \backslash \; mathrm\; \{nH\}\; \backslash ,\}$

Следовательно, подходящим индуктивным шунтирующим согласованием будет 6.5 Индуктор nH параллельно линии, расположенной на расстоянии 123 мм от нагрузки.

Анализ компонентов определенных элементов предполагает, что длина волны на рабочей поверхности намного больше, чем размеры отдельных компонентов. Диаграмма Смита может сообщить об этом, сообщая, что переводятся (нормализованными) импедансами и проводимость компонентов при рабочей частоте. В этом случае масштабирование длины волны по окружности диаграммы Смита не используется. Следующая схема будет проанализирована с использованием схемы Смита на рабочей частоте 100 МГц. На этой частоте длина волны в свободном пространстве составляет 3 м. Сами размеры компонентов миллиметров, предположение о сосредоточенных компонентах будет справедливым. Несмотря на отсутствие линии передачи как таковой, необходимо определить полное сопротивление системы, чтобы можно было выполнять вычисления по нормализации и денормализации и $Z\; 0\; =\; 50\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; =\; 50\; \backslash \; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$- хороший выбор здесь, поскольку $R\; 1\; =\; 50\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; =\; 50\; \backslash \; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$. Если бы сопротивление были очень разными, то лучше было бы значение, близкое к ним.

Схема с установленными элементами, которая может быть проанализирована с использованием диаграммы Смита Диаграмма Смита с графическим анализом для анализа сосредоточенной схемы

Анализ начинается с диаграммы Смита Z, изучающей R 1 Только без других компонентов. $R\; 1\; =\; 50\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{1\}\; =\; 50\; \backslash \; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$совпадает с импедансом системы, он представлен точкой в ​​центре Смита диаграмма. Первое преобразование - это OP 1 вдоль линии постоянного сопротивления, в данном случае добавление нормированного реактивного сопротивления -j0,80, соответствующей последовательности конденсатору 40 пФ. Точки с суффиксом P находятся в плоскости Z, а точка с суффиксом Q - в плоскости Y. Следовательно, преобразования P 1 в Q 1 и P 3 в Q 3 представить собой преобразование из диаграмм Z Смита в диаграмму Y Смита и преобразование Q 2 в P 2 - это преобразование Y-диаграммы Смита в Z-диаграмму Смита. В следующей таблице показаны шаги, принятые для проработки возвращенных компонентов и преобразователей, возвращение в итоге обратно в центр диаграммы Смита и идеальное совпадение 50 Ом.

Этапы диаграммы Смита для анализа схемы с определенными элементами

Преобразование		Нормализованное значение x или y	Емкость / индуктивность	Формула для решения	Результат
$O\; \to \; P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; \backslash \; rightarrow\; P\_\; \{1\}\; \backslash ,\}$	$Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash ,\}$	$-\; j\; 0.80\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; j0.80\; \backslash ,\}$	Емкость (серия)	$-\; j\; 0.80\; =\; -\; j\; \omega \; C\; 1\; Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -j0.80\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; C\_\; \{1\}\; Z\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$	$C\; 1\; =\; 40\; p\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; =\; 40\; \backslash \; mathrm\; \{pF\}\; \backslash ,\}$
$Q\; 1\; \to \; Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\; \backslash \; rightarrow\; Q\_\; \{2\}\; \backslash ,\}$	$Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash ,\}$	$-\; j\; 1,49\; \{\backslash \; displaystyle\; -j1.49\; \backslash ,\}$	Индуктивность (шунт)	$-\; j\; 1,49\; =\; -\; j\; \omega \; L\; 1\; Y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -j1.49\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; L\_\; \{1\}\; Y\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$	$L\; 1\; =\; 53\; n\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\; =\; 53\; \backslash \; mathrm\; \{nH\}\; \backslash ,\}$
$P\; 2\; \to \; P\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; \backslash \; rightarrow\; P\_\; \{3\}\; \backslash ,\}$	Z	$-\; j\; 0,\; 23\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; j0.23\; \backslash ,\}$	Емкость (серия)	$-\; j\; 0,23\; =\; -\; j\; \omega \; C\; 2\; Z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -j0.23\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-j\}\; \{\backslash \; omega\; C\_\; \{2\}\; Z\_\; \{0\}\}\}\; \backslash ,\}$	$С\; 2\; =\; 138\; п\; F\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{2\}\; =\; 138\; \backslash \; mathrm\; \{pF\}\; \backslash ,\}$
$Q\; 3\; \to \; O\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{3\}\; \backslash \; rightarrow\; O\; \backslash ,\}$	Y	$+\; j\; 1.14\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; j1.14\; \backslash ,\}$	Емкость (шунт)	$+\; j\; 1.14\; =\; j\; \omega \; C\; 3\; Y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; j1.14\; =\; \{\backslash \; frac\; \{j\; \backslash \; omega\; C\_\; \{3\}\}\; \{Y\_\; \{\; 0\}\}\}\; \backslash ,\}$	$C\; 3\; =\; 36\; p\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{3\}\; =\; 36\; \backslash \; mathrm\; \{pF\}\; \backslash ,\}$

3D-диаграмма Смита графическое представление

Обобщенная трехмерная диаграмма Смита, основанная на расширенной комплексной плоскости (сфера Римана ) и инверсивной геометрии, была предложена в 2011 году. маленькие и большие кружки на поверхности единичной сферы с использованием стереографической конформной карты обобщенной плоскости коэффициента отражения. Учитывая точку на бесконечности, пространство нового графика включает в себя все возможные нагрузки. Северный полюс - идеальная точка совпадения, тогда как южный полюс - идеальная точка несовпадения.

• Для раннего представления этого графического изображения до того, как они были названы «Smith Charts», см. Кэмпбелл, Джорджия (1911). «Цизоидальные колебания». Труды Американского института инженеров-электриков. 30 (1–6): 789–824. doi : 10.1109 / PAIEE.1911.6659711., в частности, рис. 13 на стр. 810.

На Викискладе есть материалы, связанные с диаграммами Смита.

• «Математическое построение и диаграммы свойства Смита». allaboutcircuits.com. Технические статьи.
• «Учебное пособие по диаграмме Смита и согласованию импеданса с примерами». антенна-theory.com.
• "Карта Мидзухаси-Смита". www.linkclub.or.jp/~morikuni. Архивировано из оригинала 03.03.2013.
• «Диаграмма Excel Smith». excelhero.com. Август 2010 г. Некоммерческая интерактивная диаграмма Смита, которая лучше всего выглядит в Excel 2007+.
• «Инструмент 3D-диаграммы Смита». 3dsmithchart.com. (требуется java)Некоммерческий универсальный инструмент для активных и пассивных цепей.
• "SimSmith". ae6ty.com. Некоммерческое, доступно для Windows, Mac и Linux. Многие обучающие видео по диаграммам Смита. Нет ограничений по размеру схемы. Не ограничивается релейными схемами.
• "Смит v3". fritz.dellsperger.net. Архивировано из оригинального 04.03.2015. Коммерческая и бесплатная диаграмма Смита для Windows
• «QuickSmith». github.com/niyeradori.Бесплатный веб-инструмент для обучения диаграмм Смита доступен на GitHub.